贵州省黔东南州榕江县乐里中学2024-2025学年 九年级上学期期中质量监测数学试卷

榕江县乐里中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列方程一定属于一元二次方程的是（）A. B. C. D.3.平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.4.一元二次方程的根是（）A. B. C.， D.，5.二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.6.一元二次方程的根的情况是（）A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不等的实数根 D.无实数根7.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.8.某品牌手机三月份销售量为400万部，四、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率.设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（）A. B.C. D.9.如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，且，若，则的度数为（）A. B. C. D.10.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（）A B C D12.等腰三角形的一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是（）A.8 B.9 C.8或9 D.12二、填空题（每小题4分，共16分）13.二次函数的图象开口方向是________（填“向上”或“向下”）.14.已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________.15.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为________.16.如图，在中，，，，是直角边上一动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值是________.三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）用适当的方法解下列方程：（1）； （2）.18.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，已知点，.（1）画出关于原点对称的；（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的对应点的坐标.19.（本题满分10分）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论取何值，方程总有两个不等的实数根；（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值.20.（本题满分10分）如图，抛物线与直线相交于点和点.（1）求和的值；（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集.21.（本题满分10分）如图，正方形的边长为2，是正方形内一点，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点是点，点的对应点是点.（1）求旋转角的度数；（2）若，，求线段的长.22.（本题满分10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设降价元.（1）若降价后的销售量为件，则与之间的函数解析式为________________；（不要求写出自变量的取值范围）（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.（本题满分12分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形（如图①），她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面.建立如图②所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中（单位：）是水柱距喷水头的水平距离，（单位：）是水柱距地面的高度.（1）求抛物线的解析式；（2）小红站在水柱正下方且距喷水头水平距离处，身高的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离.24.（本题满分12分）已知二次函数.（1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的解析式；（2）在（1）的条件下，当时，求二次函数的最大值与最小值；（3）在（1）的条件下，若点，在二次函数的图象上，且位于对称轴的两侧，当时，求的取值范围.25.（本题满分12分）【观察猜想】（1）如图①，在和中，，，，点在线段上，连接，，则和的数量关系是________________.【探索证明】（2）如图②，将绕点顺时针旋转，点落在线段上，其他条件不变，此时的度数是________，探究线段，，的关系，写出探究过程.【拓展应用】（3）如图③，是等腰直角三角形，，为外一点，且，连接，若，，请求出线段的长.

答案：1.D2.C3.C4.B5.C6.D7.C8.D9.A10.C11.C12.B13.向上14.15.，16.217.解：（1），.（2），.18.解：（1）如图，即为所求.（2）如图，即为所求，点的坐标为.19.（1）证明：因为，所以无论取何值，方程总有两个不等的实数根.（2）解：由根与系数的关系，得，.由，得，解得.20.解：（1）因为抛物线经过点，所以，所以.因为直线经过点，所以，所以.（2）由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为.联立解得或所以点的坐标为.结合图象可知，不等式的解集为.21.解：（1）由题意，得旋转角为.四边形为正方形，旋转角为.（2）正方形的边长为2，.在中，，，..由题意可得，.22.（1）（2）解：依题意，得.整理，得.解得，.当时，，，符合题意.当时，，，不符合题意，舍去.答：当每件商品降价10元时，该商品每天销售利润为1200元.23.解：（1）由题意知，抛物线顶点为，所以抛物线的解析式为.将代入，得，解得.所以抛物线的解析式为.（2）当时，，解得，，所以小红与哥哥的水平距离为或.答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是或.24.解：（1）因为二次函数的图象经过点，所以.解得.所以二次函数的解析式为.（2）因为，，所以当时，函数有最小值.当时，函数有最大值，是，所以当时，二次函数的最大值是5，最小值是.（3）因为，所以二次函数的图象开口向上.由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线.