烟台市2023年高一上学期期中数学试题含答案及解析

2023~2024学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学一、单项选择题1.若集合，且，则m的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣12.命题“”的否定为（）A. B.C. D.3.已知，且，则（）A. B. C. D.4.某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（）每户每年用气量单价不超过的部分超过但不超过的部分超过的部分A. B. C. D.5.在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.6.若函数的图象恒在图象的上方，则（）A. B. C. D.7.若在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知是定义在上奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（）A. B.C. D.二、多项选择题9.以下各组函数中，表示同一函数的有（）A.， B.，C.， D.，10.给定集合，定义且，若，，则（）A. B.C. D.11.已知，，则（）A.的最大值为 B.的最小值为6C.的最大值为0 D.的最小值为12.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（）A.在上单调递增 B.的图象关于点对称C.当时， D.当时，三、填空题13.已知为奇函数，则实数a的值为______．14.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．15.已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．16.设，，用表示，中较小者，记为，则______；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为______.四、解答题17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．18.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）根据函数单调性定义，证明在区间上单调递减．19.某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少?20.已知幂函数的图象经过点．（1）求的解析式；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围．21.已知函数满足：，．令．（1）求值，并证明为偶函数；（2）当时，．(i)判断在上的单调性，并说明理由；(ii)若，求不等式的解集．22.已知函数，，（1）解关于x的不等式；（2）从①，②]这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并给出问题的解答．问题：是否存在正数t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

2023~2024学年度第一学期期中学业水平诊断高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，且，则m的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1【答案】B【解析】【分析】根据集合的元素不重复可解得.【详解】因为，所以或，解得，或或，当时，，又集合中不能有相同的元素，所以故选：B2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可判断．【详解】根据全称命题的否定是特称命题，命题“”的否定为“”.故选：A.3.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特值法及作差法判断.【详解】对于A，取，则，此时，故A错误；对于B，取，则，此时，故B错误；对于C，取，则，此时，故C错误；对于D，∵，且，∴，且，则，即，故D正确.故选：D.4.某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（）每户每年用气量单价不超过的部分超过但不超过的部分超过的部分A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分段讨论列方程求解.【详解】该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元，当时，，令，解得，不合题意；当时，，令，解得，符合题意；当时，，令，解得，不合题意，综上，.故选：C.5.在同一坐标系内，函数和的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断.【详解】对于A，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；对于B，由函数的图象可知，由的图象可知且，相符，故B正确；对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.故选：B.6.若函数的图象恒在图象的上方，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，可转化为恒成立问题来求解.【详解】函数的图象恒在图象的上方，则恒成立，即恒成立，因为，所以，解得，故选：A.7.若在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数是减函数，则由每一段是减函数，且左侧的函数值不小于右侧函数值求解.【详解】由题意得在上单调递减，当时，的开口向上，对称轴，当时，，得，所以得：，解得：，故D项正确.故选：D.8.已知是定义在上奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题中条件结合函数奇偶性与单调性的性质，判断出的值的正负情况，所求不等式等价变形为或，求解即可.【详解】是定义在上的奇函数，则，又在上单调递增，，则在上单调递增，，，所以，当时，；当时，，可化为，可得或，即或，解得.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下各组函数中，表示同一函数的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可.【详解】与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故A正确；由解得，则的定义域为，由解得或，则的定义域为或则与的定义域不同，不是同一函数，故B错误；与的定义域，对应关系均相同，是同一函数，故C正确；的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：AC.10.给定集合，定义且，若，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式求得集合，根据新定义进行求解判断即可.【详解】∵，∴，∴，当且仅当时取等号，则，故A正确；∵，，由新定义可知，，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD.11.已知，，则（）A.的最大值为 B.的最小值为6C.的最大值为0 D.的最小值为【答案】AC【解析】【分析】根据均值不等式和不等式的性质判断AB，消元思想和函数性质的应用判断CD即可.【详解】对于A：，当且仅当时取到等号，A正确；对于B：，当且仅当时取到等号，B错误；对于C：，所以，所以，因为，所以，当且仅当取到等号，C正确；对于D：，由函数性质易知在单调递增，所以，所以，故D错误，故选：AC12.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献．某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（）A.在上单调递增 B.的图象关于点对称C.当时， D.当时，【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法，求得，由单调性定义可判断A；由③得，利用对称性性质可判断B；求得，，进而得，可判断C；求得，进而得，即，即可判断D.【详解】由②得，即，得，而，得，∴，故A错误；由③可知，，即，则的图象关于点对称，故B正确；由②得，则，由③得，即，由，得，故C正确；由，得，则，∵任意，，∴当时，，即，∴，即，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为奇函数，则实数a的值为______．【答案】1【解析】【分析】由列等式求解即可.【详解】因为为奇函数，所以，得，得，得.故答案为：114.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，以及充分不必要条件的定义即可得到结论.【详解】不等式的解集记为，不等式，解得或，解集记为或，若“”是“”的充分不必要条件，则，所以.故答案：.15.已知命题，为真命题，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围【详解】由题意得：当时，，不符题意；当时，的对称轴为，所以，只需，解得：，当时，显然满足题意，综上，的取值范围为，故答案为：16.设，，用表示，中较小者，记为，则______；若方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为______.【答案】①.2②.【解析】【分析】计算与，比较大小可得；结合解不等式，得出的解析式，作出图象，将方程恰有三个不同的实数解，转化为直线与函数的图象有三个交点，数形结合可得答案.【详解】，，则；由，解得，由，解得或，则，作出图象，如图，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，此时方程恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为.故答案为：2；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】17.18.【解析】【分析】（1）当时，，然后利用集合的并集运算求解；（2）先求出，然后利用并集运算，求出的取值范围.【小问1详解】当时，，所以.【小问2详解】因为，，所以，解得：.故的取值范围为：.18.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）根据函数单调性定义，证明在区间上单调递减．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性的定义进行证明即可.【小问1详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，当时，．当时，，又为奇函数，所以，即．综上，，，【小问2详解】任取，且，，因为，且所以，，且，所以，即，所以，函数在区间上单调递减．19.某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少?【答案】当池底的长和宽均为10米时，其容积最大，最大容积为立方米【解析】【分析】设池底的长为x米，宽为y米，则水池的容积为，由题意得，结合基本不等式进行转化整理，解不等式即可得出结果．【详解】设池底长为x米，宽为y米，则水池的容积为，由题意得，因为，当且仅当时取“＝”，所以，即，解得，即．所以，当，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大．此时，最大容积为立方米.20.已知幂函数的图象经过点．（1）求的解析式；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，由条件可得，得到的值即可；（2）令，由条件得，且．令，，由题意可得，利用二次函数的性质求解即可.【小问1详解】设的解析式为，则，解得，因此．【小问2详解】因为，所以．令，则，且．令，，因为在单调递增，在单调递减，所以．因为存在，使得，所以．所以．又因为，所以的取值范围为.21.已知函数满足：，．令．（1）求值，并证明为偶函数；（2）当时，．(i)判断在上的单调性，并说明理由；(ii)若，求不等式的解集．【答案】（1），证明见解析；（2）(i)在上单调递增，理由见解析；(ii)或【解析】【分析】（1）利用赋值法，根据函数的奇偶性的定义证明即可；（2）（i）根据函数的单调性的定义证明即可；(ii)根据函数单调性和奇偶性的性质得到关于的不等式，解出即可．【小问1详解】因为，所以定义域为，因为，令，则，所以．令，则，所以．令，则，所以，，所以为偶函数.【小问2详解】(i)因为，两边同除以得，即．任取，且，则，，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增．(ii)因为，所以，所以原不等式可化为．又为偶函数，且在上单调递增，所以，解得或，所以原不等式的解集为或．22.已知函数，，（1）解关于x的不等式；（2）从①，②]这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并给出问题的解答．问题：是否存在正数t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先代入，再进行因式分解，最后根据参数的取值不同分别得到解集即可；（2）先将题目意思理解为定义域和值域问题，然后对二次函数对称轴的分布分类讨论，根据不同情况分别求出和的值，再逐一验证是否符合要求即可.【小问1详解】由，则，即，①当时，不等式的解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式的解集为，综上，当