1.4 空间向量的应用(分层练习)（解析版）

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用精选练习基础篇基础篇若直线l的方向向量为μ=1,−2,3，平面α的法向量为n=A．l//α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交【答案】B【分析】判断μ与n的位置关系，进而可得出结论.【详解】∵μ=1,−2,3∴由已知可得n=−2μ，则n//μ，因此，已知平面α的法向量n=(−1,2,0)，且点A∈α，AP=(12,1,−4)，则点P到平面α的距离为（A．5 B．25 C．24 【答案】B【分析】由向量法求点面距离.【详解】由题意得，点P到平面α的距离为AP⋅nn若直线l的方向向量为μ=1,−2,3，平面α的法向量为n=A．l//α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交【答案】B【分析】判断μ与n的位置关系，进而可得出结论.【详解】∵μ=1,−2,3，n=−2,4,−6，∴由已知可得n=−2μ，则已知直线l的方向向量为e=−1,2,12，平面α的法向量为n=−3,x,2，且A．1 B．2 C．−2 D．−1【答案】C【分析】由线面平行的向量表示可得e⊥【详解】因为l//α，所以e⊥n，所以e⋅n=0已如点A1,1,0，B−1,0,2，C0,2,0者在平面α内，则平面αA．1,1,−32 B．1,−1,12 C．【答案】C【分析】设出法向量n=x,y,z，利用向量垂直得到方程组，取x=2求出n=【详解】由A1,1,0，B−1,0,2，C0,2,0，得AB设n=x,y,z是平面α的一个法向量，则n⋅取x=2，则y=2,z=3，故n=2,2,3，则与经验证，只有C正确.故选：C．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BC、【答案】49【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，A1A1异面直线A1F与D1E如图，是正四棱柱ABCD−A1B1C1D1被平面EFGH所截得的几何体，若AB=2，BF=DH=2，CG=3A．66 B．C．33 D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，平面EFGH的法向量为n1=1,−1,2，平面ABCD【详解】如图所示：以DA,DC,DH为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则F2,2,2，G0,2,3，H0,0,2，设平面EFGH则n1⋅HF=2x+2y=0n平面ABCD的一个法向量为n2=0,0,1故截面EFGH与底面ABCD所成锐二面角的余弦值是63如图，二面角α−l−β等于120∘，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，则CD的长等于（

）A．23 B．13 C．4 【答案】C【分析】由二面角的平面角的定义可得<BD,AC【详解】由二面角的平面角的定义知<BDBD⋅由AC⊥l，BD⊥l，得AC⋅BA=0DC=DC=2所以DC=4，即CD=4故选：C．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，(1)求证：AC∥平面BA(2)若AB⊥BC，求：①AA1与平面②直线AC与平面BA【答案】(1)证明见解析；(2)①33；②3【分析】（1）根据线面平行的判定定理，主要证明AC∥A1C(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面BA1C1，解：因为BB1⊥平面ABC，AB,BC⊂平面ABC，所以BB1⊥又AB⊥BC，所以AB,BC,BB1两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系则A(1,0,0),B所以BA1=(1,1,0)，BC1=(0,1,1)，则{n⋅BA1=0n⋅BC1=0①设直线AA1与平面BA1C所以AA1与平面BA②因为AC∥面BA1C1，所以直线AC与平面BA设A到面BA1C1如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】建立空间坐标系，计算AA1坐标，计算平面【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以BB可得A1,0,0，A11,0B1−1,0,3,m⋅ABcos<m故AA1与平面AB如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4,PD=455,E是PA的中点，FB=2PF，则点A．3105 B．2105 C．【答案】B【分析】如图，以D为坐标原点，DA,DC,【详解】如图，以D为坐标原点，DA,DC,则D0,0,0因为E是PA的中点，FB=2PF所以E1,0,所以DE=1,0,2设n=x,y,z是平面则n⋅DE=x+25故点C到平面DEF的距离为DC⋅提升篇提升篇已知正三棱柱ABC−A'B'C'的所有棱长均相等，D、E在BB'上，且A．720 B．33020 C．3【答案】C【解析】设AD=3，取BC的中点O，以点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】如下图所示，设AD=3，取BC的中点O，B'C'的中点M，连接OA在正三棱柱ABC−A'B'C则四边形BB'C'C由于O、M分别为BC、B'C'的中点，则OB所以，四边形OBB'M为平行四边形，则OM∵BB'⊥平面ABC，则OM⊥∵△ABC为等边三角形，且O为BC的中点，则OA⊥BC，以点O为坐标原点，OA、OB、OM所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A332,0,0、D0,32,1、Ecos<sin<因此，异面直线AD与EC'所成角的正弦值为339如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1BA．66 B．C．63 D．【答案】A【分析】以点D1为坐标原点，D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x【详解】以点D1为坐标原点，D1A1、D1C1、D则点A1,0,1、C0,1,1、C10,1,0、C1E=1,−12,0因为C1E⊂平面AC1E，CF⊄平面A设平面AC1E的法向量为n=x,y,z则n⋅C1E=x−C1C=0,0,1，所以，直线FC到平面AEC如图，已知菱形ABCD中，边长为2,∠ABC=60∘，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则二面角B−CD−A的余弦值为【答案】5【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可.【详解】设菱形ABCD的边长为2，取AC的中点O，连接BO，DO，所以BO⊥AC，因为平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC=AC，BO⊂平面BAC，所以BO⊥平面DAC，又因为OD⊂平面DAC，所以BO⊥OD.如图，建立空间直角坐标系，则C1,0,0，B0,0,3，D0,3设平面BCD的一个法向量为n=x,y,z，则令z=1，则n=易知，平面CDA的一个法向量为m=所以cosm设二面角B−CD−A为θ，由图可知二面角B−CD−A为锐角，即0＜所以cosθ=cosm,n=如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，Pπ2，π3 B．π2C．π3，π4 D．π【答案】D【分析】设正方体的棱长为1，AD1与BP所成的角为θ，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，【详解】设正方体的棱长为1，AD1与BP所成的角为以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，A1所以CA1=1,−1,1，设CP=λCA所以AD1⋅BP=1所以cosθ=因为0≤λ≤1，所以23≤3λ又θ∈0,π2，所以π6≤θ≤π3，故A在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面A．332 B．322 C．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，设Pa,2,c，0≤a≤2，0≤c≤2，则A1P=a−2,2,c−2【详解】解：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z建立空间直角坐标系，A2,0,0，E1,2,0，F0,2,1所以AE=设平面AEF的法向量n=则n⋅AE=0n⋅设Pa,2,c，0≤a≤2，0≤c≤2，则A因为A1P平行于平面所以A1P⋅∴线段A1P长度当且仅当a=c=32时，线段A1P长度取最小值在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若MP//平面A1BC1，则异面直线MP与A．0,π3 B．π6,π3【答案】C【分析】取AD中点E，DC中点F，连接ME，MF，EF，取EF中点O，连接MO，推导出平面A1BC1//平面EFM，从而P【详解】解：取AD中点E，DC中点F，连接ME，MF，EF，取EF中点O，连接MO，∵在正方体ABCD−A1B1C∴ME//BC1，MF//A∵ME∩MF=M，BC∴平面A1BC∵P是底面ABCD内（包括边界）的一个动点，MP//平面A1∴P的轨迹是线段EF，如图，以D为原点，DA,DC,DD1为设正方体棱长为2，则A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,0,0)由于P在线段EF上，设EP=λEF所以EP=λ(−1,1,0)=(−λ,λ,0)则MP=ME+所以cos由于λ∈[0,1]，所以1−所以异面直线MP与A1C1所成角的取值范围如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段A．1 B．2 C．55 D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC【详解】以D为原点，DA,DC,DD1分别为则E1,2,0，D10,0,2，所以ED1=(−1,因点P在线段D1E上，则λ∈[0,1]CP=所以向量CP在向量CC1上投影长为而CP=则点Р到直线CC1的距离ℎ=所以点Р到直线CC1的距离的最小值为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱A．15 B．14 C．12【答案】A【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算，求解法向量即可由DP⋅n=0，解得λ【详解】方法1：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD−A可得D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，设D1PD可得D1P=λD1B=(2λ,2λ,−2λ)，可得P(2λ,2λ,2−2λ)B1设平面B1MN法向量为n=(x，y，z)，可得B1M⋅n由于DP//平面B1MN，则DP⋅解得λ=15，即方法2：连接BD,交MN于点H,则BH=14BD,连接B1H,延长DP交B由于DP//平面B1MN，DP⊂平面DBB1D1,且平面DB设正方体的棱长为1，则BH=14BD=24,故直角三角形BHB1由DH//GB1,DG//B1H,所以四边形故选：A（多选）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为π4，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2,AD=2,PA=BC=1，点E为棱PD上一点，满足PEA．平面PAC⊥平面PCD；B．点P到直线CD的距离3；C．若二面角E−AC−D的平面角的余弦值为33，则λ=D．点A到平面PCD的距离为52【答案】D【分析】A选项，作出辅助线，证明出AC⊥BC，结合PA⊥平面ABCD可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选项，过点A作AH⊥PC于点H，证明AH的长即为点A到平面PCD的距离，求出AH的长.【详解】A选项，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，故∠PBA即为PB与底面ABCD所成的角，∠PBA=π4因为∠ABC=∠BAD=π2，所以PA=因为AD=2,PA=BC=1，取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因为AP∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因为CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD，A正确；由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以CD⊥PC，故点P到直线CD的距离即为PC的长度，其中PA=AB=BC=1，由勾股定理得：AC=2以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A0,0,0，C1,1,0，P0,0,1其中平面ACD的法向量为m=0,0,1，设平面ACE的法向量为则n⋅AE=2λy+1−λz=0n⋅设二面角E−AC−D的平面角为θ，显然cosθ=33其中cosm,n=0,0,1因为0≤λ≤1，所以λ=1过点A作AH⊥PC于点H，由于CD⊥平面APC，AH⊂平面APC，所以AH⊥CD，因为PC∩CD=C，所以AH⊥平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PA⊥AC，所以AH=AP⋅AC故选：D如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2，点P在底面ABCD内的投影恰为AC中点，且BM=MC.(1)若2PC=3DC，求证：PM⊥面(2)若平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为π3，求直线PM与平面PCD【答案】(1)见详解；(2)3【