1.2 空间向量基本定理(分层练习)（解析版）

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理精选练习基础篇基础篇如图，在平行六面体ABCD−A1B

A．AB，AC，AD B．AB，AA1，C．D1A1，D1C1，D1【答案】C【分析】利用空间向量的基底定义判断.【详解】因为AB，AC，AD共面，故A错误；因为AB，AA1，因为AC1，A1因为D1A1，D1C已知空间向量a,b,A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．若a,C．若a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量pD．若a,b不共线，向量c=λa+μb（【答案】C【分析】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析.【详解】A选项，若a与b共线，b与c共线，当b为零向量时，a与c不一定共线，所以A选项错误.B选项，若a,比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误.C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.D选项，若a,b不共线，向量c=λa+μ则a,b,故选：C设a,b,c是空间的一组基底，则可与向量p=A．a B．b C．c D．a或b【答案】C【分析】根据基底向量不共面分析即可.【详解】因为a,b,而向量p=a+b，q=故p=a+b，q=a−故选：C.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．3a，a−b，a+2b B．C．a，2b，b−c D．c，【答案】C【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【详解】向量a,对于A，3a=2(a对于B，2b=(b对于D，2c=(a对于C，假定向量a,2b,b−整理得a−(2λ1+λ所以向量a,2故选：C如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1A．12a−C．−12a【答案】D【分析】根据空间向量线性运算法则得到答案.【详解】因为M为A1C1与B故BM=BB如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA，

A．23a+23C．−23a【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.【详解】因为BN=NC，即N为BC的中点，所以ON=因为OM=2MA，所以OM=23OA，MN=ON−在四面体OABC中，E为OA中点，CF=13CB，若OA=a，OB=b，A．−3 B．−2 C．2 D．3【答案】B【分析】利用空间向量线性运算的几何表示及空间向量基本定理求出x,y,z，利用对数的运算即可得出结论．【详解】

由题意，EF=EA+又EF=xa+y则x=−1所以log3故选：B.如图，在三棱锥P−ABC中，点D为棱BC上一点，且CD=2BD，点M为线段AD的中点．(1)以AB,AC,(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60∘，求【答案】(1)PM=−AP+【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．【详解】（1）∵M为线段AD的中点，∴AM=∵CD=2BD，∴BD=∴PM=PA（2）PM=−APACcos∠PAC=−6+3定义：设a1,a2,a3是空间向量的一个基底，若向量p=xa1+ya2+za3，则称实数组(x,y,z)为向量p在基底a1【答案】(2,0,2)【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可【详解】因为向量p在基底{a+b所以p=所以向量p在基底{a,b,提升篇提升篇设P−ABC是正三棱锥，G是△ABC的重心，D是PG上的一点，且PD=DG，若PD=xPA+yA．56,13,23 B．【答案】B【分析】G是等边△ABC的重心，可得AG=13AB+13AC=13(【详解】因为三棱锥P−ABC是正三棱锥，G是△ABC的重心，所以AG=因为D是PG上的一点，且PD=DG，所以因为PG=所以PD=1因为PD=xPA+yPB+zPC，所以故选：B已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a−3b，AC=a−c，A．−34 B．34 C．4【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=x【详解】由题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得AB=x即2a−3b则x=2，y=−32，λy−x=0，解得若e1,e2,e3A．83 B．52 C．−1【答案】D【分析】由题意可知，向量OA、OB、OC共面，则存在实数x、y使得OC=xOA+yOB，根据空间向量的基本定理可得出关于x、y、【详解】因为向量OA=e1+e所以OA、OB、OC共面，故存在实数x、y使得OC=x即ke因为e1,e2,半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若PA=a，PB=b，PC=

A．−12aC．a−12【答案】A【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】如下图所示PC=所以PD=−故选：A.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zA．1 B．2C．13 D．【答案】A【分析】根据向量线性运算，以AB,AC,AP为基底表示出【详解】∵EC=2PE，∴PE∴=2∴x=1，y=−23，z=2在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BA

【答案】3【分析】设AB=a，AD=b，AA1=c，以a,【详解】设AB=a，AD=b，AA因为BD⊥AN，所以BD⋅因为BD=AD−所以b−a⋅即12+λ−3故答案为：3−1把边长为22的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（

A．14 B．−14 C．−【答案】A【分析】画出图形，利用空间向量基本定理转化求解即可【详解】如图，取的中点，连接，因为AB=BC=CD=AD=22，∠BAD=∠BCD=90°，所以OA=OB=OC=OD=2,OC⊥BD,OA⊥BD，所以∠AOC为平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角，即∠AOC=60°，所以△AOC为等边三角形，所以AC=2，因为AC=所以AC2所以4=AD所以4=8+16+8+2×22即16cosAD,所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为14已知P是△ABC所在平面外一点，M是BC的中点，若AM=xPA+yA．x+y+z=0 B．x+y+z=1C．x−y−z=1 D．x−y−z=−1【答案】A【分析】推导出AM=12AB+AC，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出【详解】如下图所示：因为M为BC的中点，则AM=AB所以，AM=又因为AM=xPA+yPB+zPC，且PA、PB、故x+y+z=0，x−y−z=−2，故选：A.在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若a=AF，b=CE，c=A．13a+13b+13【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.【详解】取BC中点为M，a三个式子相加可得a+又OP==−PA故选：D（多选）在正方体ABCD−A1B1CA．AQ⊥BDB．BD1与平面QACC．当点Q在平面A1BD．当n=12时，四棱锥【答案】AC【分析】依题意点Q在四边形A1ACC1内及边界运动（不含AC,AA1）.对于A，通过证明线面垂直证得线线垂直得出结果；对于B，BD1与平面AA1CC1所成角，即为BD1与平面QAC【详解】因为在正方体ABCD−A1B所以AQ=mAB+mAD+nAA对于A，因为A1A⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以又AC⊥BD