3.2.1 双曲线及其标准方程(分层练习)（解析版）

第三章圆锥曲线的方程3.2.1双曲线及其标准方程精选练习基础篇基础篇已知双曲线的下、上焦点分别为F10,−3，F20,3，P是双曲线上一点且A．x24−C．y24−【答案】C【分析】结合题意依次求得c,a,b，从而得到双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为F10,−3，所以设双曲线的方程为y2a2又因为P是双曲线上一点且PF所以2a=4，即a=2，则b2所以双曲线的标准方程为y2在相距1400m的A，B两哨所，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线【答案】B【分析】根据双曲线的定义可得答案.【详解】设点M是炮弹爆炸点所在的曲线上任意一点则MA−故选：B设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线A．x216−C．x29−【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线中a,b,c的关系，结合双曲线定义可解.【详解】在椭圆C1中，由题知2a=26ca所以椭圆C1的焦点为F1−5,0因为曲线C2上的点到F1，F2所以曲线C2是以F1，所以曲线C2的虚半轴长为5故C2的标准方程为：x故选：A.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0)的右焦点为F，点AA．x212−C．x23−【答案】C【分析】由题可得可得c=2，b【详解】双曲线x2a2−y2b可得c=2，ba＝解得a=3，b=1，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：故选C．已知F1，F2分别是双曲线C:x2−y22=1A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】利用双曲线的定义求出F1F2=23【详解】由题意可得F1由双曲线的定义得MF1−解得MF1=4由余弦定理得cos∠MF1F2如图，椭圆x26+y22=1和双曲线x23−yA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由椭圆和双曲线的定义可列出AF1，【详解】因为A是椭圆x26+所以由椭圆的定义可得AF1由双曲线的定义可得AF2解得AF1=6所以AF故选：A若椭圆x2m+y2t=1m>t>0与双曲线x2A．t2 B．t C．2t 【答案】B【分析】设PF1=p，PF2=q，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得【详解】设PF1=p，P则p+q=2m⋯①，p−q=2n可得①2+②2：p2+①2−②2：（多选）设θ是三角形的一个内角，对于方程x2sinθ＋yA．当0＜θ＜π2B．当θ＝π2C．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在D．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y【答案】BC【分析】利用椭圆、双曲线方程的标准形式逐一判断即可.【详解】当0＜θ＜π2但当θ＝π4当θ＝π2当π2＜θ＜π时，sinθ＞0，cosθ＜0，所以不论π2＜θ＜3π4方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，故选：BC.（多选）已知双曲线C：x2−y24=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P双曲线A．若θ=60°，则S＝4B．若S=4，则PC．若△PF1D．若△PF1F2的重心为G，随着点P【答案】ACD【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式求解，对于B，由焦点三角形的面积公式求出θ=90∘，再由以双曲线的定义和勾股定理列方程组可求得结果，对于C，当【详解】由x2−y2焦点三角形PF1F2的面积公式S=b当S＝4时，θ=90∘，由PF当∠F1PF2=90∘时，S＝4，当设G(x,y),Px0,y0x0>1，则故选：ACD已知圆O1：x+52+y2=1的圆心为O1，圆O2：x−52+y2=9(1)求C的方程；(2)若P是C上一点，且O1P⊥O【答案】(1)x2−【分析】（1）根据已知条件结合双曲线的定义即可求解；（2）设O1P=x，则O2P=2+x，由【详解】（1）设动圆M的半径为r，因为圆M与圆O1和圆O所以MO1=r+1，M根据双曲线的定义可知，M的轨迹是以O1，O设方程为x2由O1O2=10=2c⇒c=5，又所以C的方程为x2（2）设O1P=x因为O1P⊥O2P.所以O1P故△O1O提升篇提升篇设F1，F2是双曲线x24−y2=1的左、右焦点，P是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点F【答案】2【分析】延长F1M交PF2于点Q，由△PMF1≌△PMQ，得到PF1【详解】如图所示，延长F1M交PF2由PM为∠F1PF2的平分线及PM⊥根据双曲线的定义，可得PF1−PF在△F1QF2中，由O和M故答案为：2.

已知F1，F2为双曲线C:x24−y22A．16 B．18 C．8+42 D．【答案】A【分析】利用双曲线的定义表示PF【详解】因为F1，F2为双曲线所以PF所以P=PF2+16因为c=a2+b2=6，所以c−a=已知F1，F2分别为双曲线x25−y24=1A．37+4 B．37−4 C．37−2【答案】C【分析】利用双曲线的定义可得，求AP+AF2的最小值相当于求【详解】因为AP+AF只需求AP+A如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0AP+AF故AP+AF故选：C已知F1、F2分别是双曲线C:x24−y23=1的左、右焦点，A．13 B．12 C．35【答案】A【分析】设点P在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及PF1、PF【详解】

在双曲线中，a=2，b=3，则c=根据对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，则PF因为F1所PF1=t+4在△PF1F28=t在△PF1F2中，O是F1所以40=t所以t2+4t=940=2t∴cos∠F已知F1，F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过F1的直线A．63 B．6+63 C．6+2【答案】D【解析】结合条件根据双曲线的定义求解出AF1的长度，在△AF1F2【详解】由双曲线定义知BF1−BF由双曲线定义知AF2−A在△AF1F由余弦定理得2c2=2a∴b∴b2+1a故选：D.已知F1、F2是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点P，使得点PF1=2A．x236+y235=1 B．【答案】C【分析】利用椭圆定义和题给条件求得PF1,PF2的值，再利用【详解】对于A选项，x236+y235=1所以a+c=7，a−c=5，P到焦点距离的最小值为5，最大值为7，假设存在点P，满足PF1=2解得PF对于B选项，x216+y215=1所以a+c=5，a−c=3，P到焦点距离的最小值为3，最大值为5，假设存在点P，满足PF1=2解得PF对于C选项，双曲线的方程为x2则双曲线的两个焦点为，F1−2,0、F22,0若双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1、F2的距离之比为由PF所以C选项中的双曲线存在“阿圆点”；对于D选项，双曲线的标准方程为x2则a=14，c=1，F1−1,0、F21,0，所以a+c=5若双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1、F2的距离之比为则PF1=2故选：C．（多选）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右两个顶点分别是A．PB．直线PA1，PC．使得△PF1FD．若PA1【答案】BD【分析】由双曲线的定义，可判定A错误；由kPA1⋅kPA【详解】由题意，点P是双曲线上异于A1,A对于A中，由双曲线的定义知，PA对于B中，由A1(−a,0)，A2又由x02a2−对于C中，若P在第一象限，则当PF1=2c时，PF2=2c−2a，△PF1F2为等腰三角形；当PF对于D中，由PA1⋅从而PF故选：BD．在△ABC中，点A为动点，两定点B,C的坐标分别为−2,0，2,0，且满足sinC−sinB=【答案】x【分析】根据条件，利用正弦定理进行角转边，得到c−b=12a=2，从而得出点A【详解】设动点A(x,y)，由题知，BC=a=4，又sinC−sinB=12sinA所以点A在以B,C为焦点，即2c=4，实轴长为2，即2a=2的双曲线的右支上，所以b2又A,B,C构成三角形，故点A与BC不共线，即点A不能在x轴上，所以动点A的轨迹方程为x2如图，在△ABC中，已知AB=42，且三内角A，B，C满足2sinA+sin

【答案】x【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得AC−【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A−22,0由正弦定理，得sinA=BC2R，sinB=AC2R，sinC=∵2sinA+sinC=2sinB，∴2BC+AB由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.由题意，设所求轨迹方程为x2∵a=2，c=22，∴故所求轨迹方程为x2故答案为：x双曲线C的渐近线方程为y=±233x，一个焦点为F(0,−7)