复数的三角表示同步练习 高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

*§3复数的三角表示A组1.复数z=sin15°+icos15°的三角形式是().A.cos195°+isin195°B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15°D.cos75°+isin75°2.复数sin50°-isin140°的辐角的主值是().A.150° B.40° C.-40° D.320°3.若复数z=(a+i)2的辐角是3π2,则实数a的值是(A.1 B.-1 C.-2 D.-34.若复数cosθ+isinθ和sinθ+icosθ相等,则θ的值为().A.π4 B.C.2kπ+π4(k∈Z) D.kπ+π4(k∈5.如果θ∈π2,π,那么复数(1+i)(cosθ-isinθ)的三角形式是(A.2[cos9π4-θB.2[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]C.2[cosπ4+θ+D.2[cos3π4+θ6.已知z=cos2π3+isin2π3,则argz27.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转π2,所得到的向量对应的复数是.8.设复数z1=1+3i,z2=3+i,则z1z2的辐角的主值是9.已知z1=12cosπ3+isinπ3,z2=6(cosπ6+B组1.设π<θ<5π4,则复数cos2θ+isin2A.2π-3θ B.3θ-2πC.3θ D.3θ-π2.复数z=tanθ+iπ2<θ<A.1cosθ(sinθ+icosB.1cosθ(cosθ+isinC.-1cosθ[cos(3π2-θ)+isin(3D.-1cosθ[cos(3π2+θ)+isin(33.(多选题)已知z1,z2是复数,则下列说法正确的是().A.若z12+z2B.若z12>-z22C.若z12+z22=0,则D.若z12+z22<0,则4.已知复数z满足z2+2z+4=0,且argz∈π2,π,则z的三角形式为5.将复数1+3i所表示的向量绕原点O按逆时针方向旋转θ角(0<θ<2π)所得的向量对应的复数为-2,则θ=.

6.设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为13+115i,求tan(α7.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上,且argz2∈(0,π),求z2答案A组1.Dz=sin15°+icos15°=cos75°+isin75°,故选D.2.Dsin50°-isin140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos320°+isin320°.3.B∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=3π∴a2-1=0,4.D因为cosθ+isinθ=sinθ+icosθ,所以cosθ=sinθ,即tanθ=1,所以θ=π4+kπ(k∈Z)5.A因为1+i=2coscosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),所以(1+i)(cosθ-isinθ)=2[cosπ4+2π-=2cos6.4π3因为argz=2π3,所以argz2=2argz=7.1-i(1+i)cos=2=2[cos(π4−π2)+isin=2[cos(-π4)+isin-=1-i.8.π6由题知,z1=2cosπ3+isinπ3,z2=2(cosπ69.解z1z2=12×6×[cosπ3+π6+isin(π3+π首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为zB组1.Bcos2θ+isin2θcosθ-isin因为π<θ<5π4,所以3π<3θ<15π4,所以π<3θ-2π<7π4,因而所求辐角的主值为3θ2.Cz=tanθ+i=sinθcosθ+i=1cosθ(sin∵π2<θ<π,∴1cosθ<0,∴z=-1cosθ(-sinθ-icosθ)=-1cosθ[cos(3π2-θ)3.BD若z12=i,z22=1-i,显然满足z12+z22>0,但是不满足z12>-z22,故A不正确.当z12>-z22成立时,显然有z12∈R,-z22∈R,故B正确.当z1=1,z2=i时,显然满足z12+z22=0,但是z4.z=2cos2π3+isin2π3由z2+2z+4=0,得z=12因为argz∈π2,π,所以z=-1所以z=-1+3i=2cos5.2π3由题意知,(1+3i)(cosθ+isinθ)即2cosπ3+isinπ3(cosθ+isinθ)=2[cos(π3+θ)所以cosπ3+θ=-1,sin又0<θ<2π,所以π3<π3+则π3+θ=π,于是θ=26.解由题意可设z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ.因为△AOB的重心G对应的复数为13所以z1+z23=13+1于是有cos所以tanα+β2=15,故tan(α7.解因为z1=2