第3章 函数的概念与性质-综合检测3（拔尖卷）（解析版）

第3章函数的概念与性质本卷满分150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为A． B．C． D．【试题来源】四川省峨眉第二中学校2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】C【分析】由题可得，即求．【解析】由的定义域为，可知，，即，的定义域为．故选C．2．若方程在区间有解，则函数图象可能是A． B．C． D．【试题来源】宁夏海原第一中学2022届高三上学期第一次月考（理）【答案】D【分析】由题意可得在区间上，能够成立，结合所给的选项，得出结论【解析】方程在区间上有解，在区间上，能够成立，结合所给的选项，只有D选项符合．故选D．3．如果函数满足对任意，都有成立，那么实数的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】河南省焦作市普通高中2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】D【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，列出不等式求解．【解析】对任意，都有成立，是上的减函数，，解得，实数的取值范围是．故选D4．下列说法正确的是A．幂函数始终经过点和B．若函数，则对于任意的，都有C．若函数图象经过点，则其解析式为D．若函数，则函数是偶函数且在上单调递增【试题来源】河南省新郑市2021-2022学年高一上学期第一次阶段性检测【答案】C【分析】利用幂函数的图象和性质判断．【解析】当时，幂函数始终经过点和；当时，例如：在处没有定义，故错误；任意的，，要证，即，即，当时，不满足上式，故不正确；函数图象经过点，所以，所以，解析式为，故正确；因为函数，其中，所以函数是偶函数且在上单调递减，故不正确．故选．5．设，若是的最小值，则的取值范围是A． B．C． D．【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考【答案】D【分析】当a<0时，显然f(0)不是f(x)的最小值，当a≥0时，解不等式：即可求解．【解析】当a<0时，显然f(0)不是f(x)的最小值，当a≥0时，f(0)=a2，由题意得恒成立，而时，，当且仅当时等号成立，所以只需，解得，又a≥0，所以．故选D．6．若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为A． B．C． D．【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考【答案】C【分析】根据为奇函数可把化为，分类讨论后可得不等式的解集．【解析】因为为奇函数，所以，所以即．当时，等价于也即是，因为在内是增函数，故可得．因为在内是增函数且为奇函数，故在内是增函数，又．当时，等价于也即是，故可得．综上，的解集为．故选C．7．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是A．480 B．120C．441 D．141【试题来源】2021-2022高一上学期数学新教材配套提升训练（人教A版2019必修第一册）【答案】C【分析】分别考虑当的情况，利用旅游人数乘以人均消费计算出旅游日收益：当时，利用基本不等式求解出旅游日收益的最小值，当时，直接根据函数的单调性分析出旅游日收益的最小值，由此求得最终结果．【解析】记旅游日收益为，当时，，，所以，所以所以，取等号时；当时，，，所以，显然在上单调递减，所以，由上可知旅游日收益的最小值为万元，故选C．【名师点睛】本题属于分段函数的实际应用问题，解答本题的关键在于对的合理分类，并通过函数的单调性以及基本不等式等方法完成函数最值的分析；解答函数的实际应用问题时，一定要注意分析定义域．8．已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为A． B．C． D．【试题来源】河南省平顶山市2021-2022学年高三上学期阶段性检测（文）【答案】C【分析】由已知不等式确定新函数是增函数，利用单调性把不等式进行化简，转化为关于的一次不等式恒成立，利用一次函数性质得不等关系，从而得结论．【解析】因为，因此由得，即，所以函数是上的增函数，不等式化为，即，所以对恒成立，对恒成立，所以，解得或．故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是A． B．C． D．【试题来源】广西桂林市第十八中学2021-2022学年高一上学期开学考试【答案】AC【分析】本题可结合函数图象得出结果．【解析】结合图象易知，函数在区间、、上单调递增，故选AC．10．已知函数，，则下列结论正确的是A． B．C．在上单调递增 D．的值域为【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高一上学期第二次定时训练【答案】CD【分析】根据分段函数和函数周期性的相关知识，对每个选项逐一分析即可．【解析】对于A选项，，故错误；对于B选项，，故错误；对于C选项，由=可知是周期为1的周期函数，判断在上的单调性可转化为在上的单调性即可，当时，单调递增，故正确；对于D选项，当时，，当时，时，，因为当时，=，它是周期为1的周期函数，所以当时，，综上可得的值域为，故正确．故选CD．11．函数s=f（t）的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）B．函数s=f（t）的值域为（0，5]C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应D．当时，【试题来源】广东省佛山市南海区桂城中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】BD【分析】由函数的定义域值域与单调性结合图象逐一判断即可求解【解析】对于A：由图象可知函数s=f（t）在没有图象，故定义城不是[-3，+∞），故A错误；对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，又当时，，则在上单调递增，故D正确；故选BD.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是A．函数的最大值为1；B．函数的最小值为0C．函数的图象与直线有无数个交点D．函数是增函数【试题来源】山东省济宁市育才中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】BC【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解．【解析】由题意，对于A：函数，故A错误；对于B：函数的最小值为0，故B正确；对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；对于D：函数不是上的增函数，故D错误；故选BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为___________．【试题来源】吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第一次调研测试（理）【答案】【分析】利用函数为偶函数，可得，在上单调递减，可得，求解即可【解析】由题意，函数为偶函数，故，又在上单调递减，，故，，故答案为.14．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________．【试题来源】江西省新余市重点高中2022届高三上学期第二次月考（理）【答案】【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解．【解析】因函数是幂函数，则，解得或，当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，不等式化为，即，解得，所以实数a的取值范围为．故答案为15．已知函数，若对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考【答案】【分析】依题意可得函数在定义域上单调递增，则函数在各段均单调递增且在断点处函数值需满足不等关系，即可得到不等式组，解得即可；【解析】因为对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立，所以在定义域上单调递增，又，所以，解得，即；故答案为16．已知定义在R上的单调函数，其值域也是R，并且对任意，都有，则等于___________．【试题来源】黑龙江省漠河市高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考【答案】2021【解析】因对任意，都有，则取，有，取，有，于是得，又函数在R上的单调，则，因函数的值域也是R，令，则有，因此，，即，则有，所以．故答案为2021四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）画出函数（）的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当时，比较与的大小；（2）是否存在，使得？【答案】（1）＜；（2）不存在．【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解；（2）根据函数的最小值判断得解．【解析】（1）函数的图象如图所示，当时，由于函数单调递增，所以＜；（2）由图得当时，函数取到最小值，所以不存在，使得．18．（12分）已知函数，.（1）判断并用定义证明的单调性；（2）求的值域．【试题来源】湖北省武汉市第三中学2021-2022学年高一上学期10月月考【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）．【分析】（1）定义法证明函数单调性步骤：取点、作差、判号；（2）结合第一问求得的函数的单调性求解函数的值域．【解析】（1）为增函数，证明如下：，，，因为，，，可得，所以在上为增函数．（2）由第一问可知该函数在上为增函数，则当，有最小值，当，有最大值．因为，，所以函数值域为．19．（12分）已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．【试题来源】河南省焦作市普通高中2021-2022学年高一上学期期中考试【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2．【分析】（1）由幂函数可知，在结合幂函数为偶函数进行取舍；（2）根据二次函数的性质判断出函数在上的最大值为，代入求参数即可．【解析】（1）由幂函数可知，解得或当时，，函数为偶函数，符合题意；当时，，不符合题意；故求的解析式为；（2）由（1）得，函数的对称轴为，开口朝上，，，由题意得在区间上，解得，所以实数的值为2．20．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数的解析式；（2）函数，当时，求函数的最小值．【试题来源】天津市杨村第一中学等七校2020-2021学年高一上学期期中联考【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）根据函数的奇偶性来求得的解析式．（2）先求得的解析式，对进行分类讨论，由此求得的最小值．【解析】（1）函数是定义在R上的奇函数，当时，此时，，又当时，，，，函数的解析式为．（2）函数，二次函数对称轴为，当时，即时，，当时，即时，，当时，即时，，综上，当时，，当时，，当时，．21．（12分）已知函数的定义域为，且对任意的，都有成立．若当时，．（1）试判断的奇偶性；（2）试判断的单调性；（3）解不等式．【试题来源】河南省南阳市六校2021-2022学年高一上学期第一次联考【答案】（1）奇函数；（2）在上为减函数；（3）．【分析】（1）用赋值法先求出，再令，即可得证；（2）对已知等式赋值，令，结合函数单调性定义，即可证明结论；（3）利用单调性和奇偶性，转化为自变量的不等量关系，即可解出不等式．【解析】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称．令，则，令，则，，是奇函数（2）任取，且，由题意得，，，，又，在上为减函数．（3）由（2）得，，即，解得，．不等式的解集为．22．（12分）已知二次函数．（1）设，，函