【吃透中考数学29个几何模型】模型07 双等腰旋转模型

专题07双等腰旋转模型

一、单选题

1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，ZBAF=ZCAG=90°,AB=AF,AC=AG.连接FG,交DA的

延长线于点E,连接BG,CF.则下列结论：®BG=CF；②BG_LCF；③NEAF二/ABC；®EF=EG,其中

正确的有（）

A.①②③B.①②④C.®®®D.①®③④

【答案】D

【分析】

由题意易得FAC^BAG,根据全等三角形的性质可进行分析排除.

【详解】

解：ZBAF=ZCAG=90°,ZBAG=ZBAC+ZGAC,NFAONFAB+NBAC,

/.ZBAG=ZFAC,AB=AF,AC=AG,/.FAC^BAG,

：.BG=FC,NAGB=NACF,故①正确；

ZAGC=ZAGB+ZBGC,NGCF=NACF+NGCA,ZGCA=ZAGC,

「•ZBGC+ZFCG=ZAGC-ZAGB+ZGCA+ZACF=90°,

BG1CF,故②正确；

ZFAE+ZBAD=90°,AD1BC,

•••NBAD+NABD=90°,AZFAE=ZABD,故③正确;

如图，设GH与FC交于H点，连接EH,由①②③易得NFHE=NEHF,所以EF=EH,

即EF=EH=EG,故④正确:

故选D.

【点睛】

本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键.

2.如图，AACD和△AE8都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=90，四边形ABC。是平行四边形,

F列结论中错误的是（）

A.△ACE以点4为旋转中心，逆时针方向旋转90后与△4）8重合

B.AACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270。后与△DAC重合

C.沿AE所在直线折叠后，与A0E重合

D.沿AO所在直线折叠后，△4）8与4）七重合

【答案】B

【分析】

本题追过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断.

【详解】

解：A.根据题意可知4c=40,/EAC=N84O=135。，△E4Cg△班D,旋转角NE48=90。，正确：

B.因为平行四边形是中心对称图形，要想使AACB和AOAC重合，AACB应该以对角线的交点为旋转中

心，顺时针旋转180。，即可与AOAC重合，错误；

C.根据题意可NE4U135。，ZEAD=360°-ZEAC-ZCAD=135°,AE=AE,AC=AD,△EAC^/^EAD,正

确;

D.根据题意可知N8AZ）=135。，ZEAD=36O°-ABAD-ZB/1E=135O,AE=AB,AD=AD,△EAD^^BAD,

正确.

故选B.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

3.如图，在等腰RA45C中，ZBAC=90°,AB=3,点。在3C上，以AO为边向右作等腰用AADE,

ZDAE=90°,连接鹿，若NE3C=30。，则8。的长为（）

A.2B.2百C.瓜D.4

【答案】c

【分析】

连接CE,根据题意可证得ABD^ACE,所以3。=CE,NACE=NABC=45。，所以NEC8=90。，

在等腰RAABC,根据AB=3,可求UIBC=3五，在R7BCE中,ZEBC=30°，所以踮=2CE：,设

CE=x,则3E=2x，根据勾股定理可得出关于x的方程，解出即可得出答案.

【详解】

解:如图，连接CE,

ABAC=ZBAD+ZDAC=90°，

NDAE=ZC4E+ZDAC=90°，

.•.NBAD=NCAE,

在△ABQ与△ACE中，

AB=AC

-ZBAD=ZCAE

AD=AE

?.ABD^ACE(SAS),

..BD=CE,2LACE=ZABC=45°,

4C8=45。，

.-.ZECB=90°；

在等腰肋AA8C,

AB=AC=3,

BC=3&

在RNBCE中,NEBC=30。

:.BE=2CE,

设CE=x,则5£=2x,

?.x2+（3>/2）2=（2x）2

解得：x=>/6，

BD=CE=>/6:

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；题中如果出现两个等腰三角形，顶角相等且重合，

则可以考虑手拉手证明全等三角形，题中如果出现等腰直角三角形或者含有30°的直角三角形，可利用这两

种特殊三角形边之间的关系，己知一边长度，即可求出其他两条边的长度.

4.在RSABC中，AC=BC,点D为AB中点.ZGDH=90°,NGDH绕点D旋转，DG,DH分别与边AC,

zy]

BC交于E,F两点.下列结论：®AE+BF=—AB；②AEZ+BF^EF2；③S四边彩CEDF=-SAABC；@ADEF

22

始终为等腰直角三角形.其中正确的是（）

C

G

ADB

A.①②④B.®@®

C.①③④D.®®®®

【答案】D

【分析】

连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADEgZiCDF,就可以得出AE=CF,进而得出CE=BF,

就有AE+BF=AC,由勾股定理就可以求出结论.

【详解】

连接CD,〈AC=BC,点D为AB中点，ZACB=90°,

AAD=CD=BD=—AB.ZA=ZB=ZACD=ZBCD=45°,ZADC=ZBDC=90c.

2

・•・ZADE+ZEDC=90°,

*/ZEDC+ZFDC=ZGDH=90°,

AZADE=ZCDF.

NA=NOCB

在△ADE和△CDF中，'AD=CD

ZADE=ZCDF

AAADE^ACDF(ASA),

AE=CF,DE=DF»SAADE=SACDF.

VAC=BC,

AAC-AE=BC-CF,

ACE=BF.

VAC=AE+CE,

AAC=AE+BF=—AB.

2

VDE=DF,ZGDH=90°,

・••ZXDEF始终为等腰直角三角形.

VCE^CF^EF2,

.\AE2+BF2=EF2.

■:S四次莪CEDF=SAEDC+SAEDF»

S四过形CEDF=SAEDC+SAADE=--SAABC.

2

・••正确的有①②③④.

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解题关键

是证明△ADE^ACDF.

5.如图，AB//C。，与NACO的平分线相交于点G,EG工AC于点、E，F为AC中点，GH1CD

于“，/FGC=ZFCG.下列说法正碓的是（）

①AG_LCG；②NBAG=NCGE；③SMPG=5^^；④若NEGH:NECH=2:7,则ZAFG=150°.

A.①③④B.②③C.©©③D.①②③④

【答案】C

【分析】

根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到NG4C+NGCA=900从而根据三角形的内角和定理得到

ZAGC=90%即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知NCGK=NGAC,再由角平分线的定义与

等量代换可知ZBAG=ZCGE,即可判断②正确性;通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，

即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出NEG”，NECH的度数,再求出NEG尸=50。，再由三

角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确.

【详解】

①中，VAB//CD,

・•・ZBAC+ZACD=180°,

•・•N班。与NDC4的平分线相交于点G,

・•・ZGAC+ZGCA=-NBAC+-ZACD=12x180°=90°,

22

,/NG4C+AGCA+ZAGC=180°,

・•・Z4GC=90°

・"G_LCG,

则①正确:

②中，由①得AG_LCG,

VEGVAC,4FGC=/FCG,

:.根据等角的余角相等得NCGE=NGAC,

,・，AG平分44C,

ZBAG=ZGAC,

・•・NBAG=NCGE,

则②正确；

③中，根据三角形的面积公式，•・•尸为AC中点，・・・AGC凡:AAR；与AGFC等底等高，，S^FC=S^FCf

则③正确：

④中，根据题意，得：在四边形GEC”中，XEGH+XECH=180°,

又.：乙EGH:4ECH=2:7,

27

・•・4EGH=180°x-=40°,4ECH=180°x-=140°,

99

•••CG平分NEC”，

・•・ZFCG=-ZECH=70°,

2

根据直角三角形的两个锐角互余，得NEGC=20©.

•・,/FGC=/FCG,

：.NFGC=NFCG=70°,

:.NEGF=4FGC-4ECG=50°,

VEG1AC，

・•・ZGFE=900-ZEGF=40°，

・••ZAFG=1800-Z.GFE=180°-40°=140°,则④错误.

故正确的有①②③，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角

平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算

是解决本题的关键.

二、解答题

6.如图，已知CA=C8,CF=CE,NACB=NFCE=90。,且A、RE三点共线，AE与CB交于点D.

(1)求证：A尸+4E2=AB2

(2)若AC=历，BE=3,贝iJCE=.

【答案】(1)见解析；(2)O

【分析】

(1)如图1中，欲证明A尸=8£,只要证明△ACFgZkBCE即可.

(2)如图1中，由推出NAFC=NCE3,由NCFE=NCEF=45。，推出NArC=NCEB

=135\推出NAE8=90。，由AC=8C=JF7，推出8C=拒八。=后，在RsAEB中，AE=

ylAB2-BE2=V34^9=5*推出曰^=2,由此即可解决问题•

【详解】

(1)证明：如图中，

VZACB=ZFCE=90°,

:.ZACF=NBCE,

在AACF和ABCE中，

CA=CB

•ZACF=NBCE,

CF=CE

：./\ACF^/\RCE(SAS}.

:・AF=BE,

：.4CAF=4CBE,

*：ZCAE+ZEAB+ZABC=90°,

，ZEAB+ZABC+ZCBE=90°,

：.NAE8=90。，

在Rt/MEB中，BE1+AE1=AB2

：.AF^-AE2=AB2,

(2),:△ACF/4BCE,

：.NAFC=NCEB,

•；NCFE=NCEF=45。,

JNAFC=NCEB=135°,

・•・ZAEB=90°,

•:AC=BC=后,

:,AB=y[iAC=H，

在R必4EB中，AE=AB2-BE2=>/34-9=5*

•；AF=BE=3,

：.EF=2t

万

：.CE=^EF=y/2-

故答案为：、回.

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的

性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

7.如图1,已知A8C和E尸C都是等边三角形，且点E在线段AB上.

(1)过点E作EG〃8C交AC于点G,试判断△AEG的形状并说明理由；

(2)求证：BF/ZACx

(3)如图2,若点D在射线CA上，且ED=EC,求证：AB=AD+BF.

D

A

图1

【答案】（1）△AEG是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】

（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得NR4C=NA5C=4CB=60。，再根据平行线的

性质可得ZAEG=ZABC=600,然后根据等边三角形的判定即“I得:

（2）先根据等边三角形的性质可得AC=8C,CE=C£NAC8=N£b=60。，从而可得

ZACE=/BCF,再根据三角形全等的判定定理与性质可得NCB/=NC4E=60。，从而可得

ZCBF=ZACB,然后根据平行线的判定即可得证:

（3）光根据平行线的性质、三角形全等的性质可得=再根据等腰三角形的性质

可得ZD=ZACE，从而可得ZD=/BCF,然后根据三角形的内角和定理可得NBEF=/BCF=Z.D，

最后根据三角形全等的判定定理与性质可得据此根据线段的和差、等量代换即可得证.

【详解】

（1）△AEG是等边T角形，理由如下:

如图，过点E作EG//BC交AC于点G,

ABC是等边三角形,

...ZBAC=ZABC=ZACB=60°，

ZAEG=ZABC=60。，

AEG是等边三角形:

A

(2)ABC和EFC是等边三角形,

AC=BC,CE=CF,ZACB=/ECF=60°,

ZACB-/BCE=ZECF-/BCE,即ZACE=/BCF，

AC=BC

在XACE和4BCF中，•NACE=NBCF,

CE=CF

...ACE^BCF(SAS),

.1.ZCBF=ZC4E=60°,

/.NCBF=ZACB,

:.BF//AC-,

(3)由(2)知，BF//AC，ACE^BCF、

.•./DAE=/EBF，AE=BF，

ED=EC,

ND=ZACE,

由(2)已证：ZACE=/BCF,

:.ZD=ABCF,

ABC和EFC是等边三角形,

ZABC=ZEFC=60°,

在BEF中,NBEF=180。一/EBC-/CBF-/BFE=12伊一NCBF-4BFE,

在LBCF中，/BCF=180°-/EFC-NCBF-/BFE=120°-NCBF-ABFE,

:"BEF=NBCF=/D,

NDAE=NEBF

在ADE和3EF中，•ND=/BEF,

AE=BF

ADE=BEF（AAS）,

:.AD=BE,

:.AB=BE+AE=AD+BF.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质

等知识点，较难的是题（3）,正确找出两个三角形全等的条件是解题关键.

8.△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边在

AD右侧作正方形ADEF,连接CF.

（1）观察猜想：如图1,当点D在线段BC上时，AC,CD,CF之间的数量关系为；（将结论

直接写在横线上）

(2)如图2,当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成

立，请你写出正确结论，并说明理由.

【答案】(1)CD+CF=V2AC；(2)不成立，CD-CF=72AC；理由见解析.

【分析】

(1)根据正方形的性质可得NDAF=90。，AD=AF,利用同角的余角相等可得NBAD二NCAF,利用SAS可

证明△BAD^ACAF,可得CF=BD,即可得出BC=CD+CF,根据等腰直角三角形的性质可得BC=0AC,

进而可得答案；

(2)司(1)可证明△BADgZkCAF,可得BD二CF,即可得出CD=BC+CF,根据等腰直角三角形的性质可

得BC=&AC,可得CD-CF=&AC,即可得答案.

【详解】

(1):四边形ADEF是正方形，

AZDAF=90°,AD=AF,

/.ZCAF+ZDAC=90°,

VZBAC=90°,

:.ZBAD+ZDAC=90°,

AZBAD=ZCAF,

AB=AC

在ABAD和ACAF中，=

AD=AF

AABAD^ACAF,

，CF=BD,

，CD+CF=CD+BD=BC,

VZBAC=90°,AB=AC,

ABC=V2AC,

•••CD+CF二&AC.

故答案为：CD+CF=V2AC

（2）不成立，CD-CF=72AC.理由如下：

同（1）可证ABADgACAF,

/.CF=BD,

/.CD=BC+BD=BC+CF,

VBC=V2AC,

JCD-CF二五AC.

【点睛】

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定

理是解题关键.

9.（1）问题发现：

如图①，A6c与ADE是等边三角形,且点4,D，E在同一直线上，连接CE,求NBEC的度数,

并确定线段BD与CE的数量关系.

（2）拓展探究：

如图②，A6C与ADE都是等腰直角三角形，NB4C=ND4E=90。，且点8,D，E在同一直线上,

A尸于点/，连接CE，求N8EC的度数，并确定线段A/，BF，CE之间的数量关系.

【答案】（1）/BEC的度数为60。，线段8力与CO之间的数量关系是8O=CE；（2）BF=CE+AF.

【分析】

（1）首先根据A6C和ADE均为等边三角形，可得A3=AC，AD=AE^ABAC=ZDAE=60°

ZADE=ZAED=600^据此判断出4AD=NC4E.然后根据全等三角形的判定方法,判断出△A5D

名△ACE,即可判断出B3=CE，ZDBA=ZCEA.进而判断出N8EC的度数为60。即可；

（2）首先根据ABC和AOE均为等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE^

ZBAC=ZDAE=9Q°,ZADE=ZAED=450^据此判断出NB4£）=NC4E.然后根据全等三角形

的判定方法，判断出/\ABD2/XACE,即可判断出BD=CE,ZADB=ZAEC.进而判断出NBEC的度

数为90。即可；最后根据NZME=90。，AD=AE>AF1QE，得到p=£F于是得到结论.

【详解】

解：（1）因为A8C和A0E均为等边三角形，

所以AB=AC,AD=AE^NBAC=NZME=60。，ZADE=ZAED=60°

所以ZBAC—ZDAC=NZM£—NDAC，

即NBAO=NC4E.

AB=AC

在AARD和△ACE中，</BAO=/CAE，

AD=AE

所以△ABOgZXACE，

所以BZ)=C石，/DBA=ZCEA.

因为点8，。，E在同一直线上,

所以ZAD6=180°-60°=120。，

所以NAEC=120。，

所以NBEC=ZAEC-ZAED=120°-60°=60°.

综上可得，N8EC的度数为60。，线段5。与CO之间的数量关系是BO=C石.

（2）因为A6C和AT近均为等腰直角三角形，

所以AB=AC，AD=AE^NBA。=ZDAE=90。，ZADE=ZAED=^5°，

所以ZBAC-ZDAC=NDAE-N£HC，

即NBW=NC4E.

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

所以△AB。g△ACE，

所以BO=CE,ZADB=ZAEC.

因为点3，D，E在同一直线上，

所以4。8=180。-45。=135。，

所以NAEC=135。，

所以NBEC=ZAEC—ZAED=135。-45。=90。.

因为小1£=90。，AD=AE^4尸IDE，

易证"=。尸=所，所以/=CE+A/<

10.如图，已知AM=CN,8在MN的垂直平分线上，/AMB=/CNB,/MBN=90。.证明：△ABC为等

腰直角三角形.

【答案】见解析

【分析】

由题意先证明△ABMg/XCBNISAS)的长AB=CB,ZABM=ZCBN,则NCBN+NABN=NABM+NABN

=ZMBN=90°,即NABC=90。，即可得出结论.

【详解】

证明：•・•点B在MN的垂直平分线上，

・・・BM=BN,

AM=CN

在^ABM和aCBN中，=

BM=BN

AAABM^ACBN(SAS),

/.AB=CB,ZABM=ZCBN,

ZCBN+ZABN=ZABM+ZABN=ZMBN=90°,

即NABC=90°,

/.△ABC为等腰直角三角形.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定以及线段垂直平分线的性质，由题意先证明三

角形全等是解题的关键.

11.如图，A6C是等腰直角三角形，NACB=90。,分别以4氏AC为直角边向外作等腰直角△A3。和

等腰直角VACE,G为3。的中点，连接CG,BE,CD,BE与CD交于点F.

（1）证明：四边形ACG£）是平行四边形；

（2）线段破和线段C。有什么数量关系，请说明理由;

（3）已知BC=J5,求EF的长度（结果用含根号的式子表示）.

【答案】（1）见解析；（2）BE二CD,理由见解析；（3）EF=

【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC,因为G为BD的中点，可得BG=BC,由NCGB=45。，

NADB=45得AD〃CG,由/CBD+NACB=180。，得AC〃BD,得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得ADAC丝ZXBAE,由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE

为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE94CAD,易得NCBE=NACD,由NACB=90。，易

得NCFB=90。，得出结论.

（3）先证明△DBF是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案.

【详解】

解：（1）••.△ABC和△A8D都是等腰直隹三角形

ZCAB=ZABD=45°,BD=拒AB=&•应BC=2BC=2AC

：.AC//BD

又・・・G为8。的中点，

：・BD=2DG,

：.AC=DG,AC//DG

・•・四边形ACGD为平行四边形；

(2)BE-CD,理由如下

•••△4£。和4A3。都是等腰直角三角形AE=AC,AB=AD

ZEAB=ZEAC+ZC4fi=900+45°=135°,

ZCAD=ZDAB+ZBAC=90°+45°=135°,

：.ZEAB=ZCAD,

在4。4。与4BAE中,

AD=AB

<NCAD=NEAB,

AC=AE

.)△DAdBAE,

：.BE=CD；

(3)VADAC^ABAE

AZAEB=ZACD

XVZEAC=90°

AZEFC=ZDFB=90°

・•・ADBF是直角三角形

VBC=y/2，

：.BD=2y/2，

根据勾股定理得。

：.-CD-BF=-BC-BD

22

，7XMB吟x>/2，2亚

.,.BF=-|V10

23

：.EF=BE-BF=CD-BF=J10一一VlO=一W.

55

【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理

是解答此题的关键.

12.如图，班是。O的直径，弦AC交BE于点、D,连接A5，AE，若NB4C=45。，求证：

AB+AE=>f2AC-

C

【答案】见解析

【分析】

根据题意，连接OC，BC,CE,过点C作4。的垂线交AE的延长线于点G,通过圆周角，圆心角，

弧，弦之间的关系求证ABC^GEC,进而得到ACG为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的性

质即可得解.

【详解】

证明：如图，连接OC，BC,CE,过点C作4c的垂线交AE的延长线于点G,

♦：NBOC=2/BAC,/班。=45。，

J4OC=90"，

•：BE是。的直径，

/.ZCOE=90°，/BCE=90。,

C=&，

・•・BC=CE,

ZBCA+ZACE=90°，NECG+4CE=90。，

・•・ZRCA=/ECG,

在ABC和GEOF,

ZBCA=/ECG

<BC=CE,

/ABC=NGEC

・•・ABC学GEC(ASA),

：.AB=EG,NG=NB4C=45。，

・•・NC4G=NG=45。，

・••ACG为等腰直角三角形,

•*-AG=&C，

•*-AB+AE=GE+AE=AG=>/2AC

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的

性质等，熟练掌握圆与三角形的综合求证方法是解决本题的关键.

13.已知Rl/kOAB和RtAOCD的直角顶点0重合，ZAOB=ZCOD=90°,且OA=OB,OC=OD.

(1)如图1,当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是ACBD(填“>”，"v”或“=")AC

与BD的位置关系是ACBD(填“〃”或“_L")；

(2)将RSOCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2,连接AC,BD,求证：AC=BD；

(3)现将RSOCD绕点O顺时针继续旋转，如图3,连接AC,BD,猜想AC与BD的数量关系和位置关

系，并给出证明.

BD00CB

【答案】(1)=；±(2)见解析(3)AC=BDfiAC±BD；证明见解析

【分析】

(1)根据等式的性质可得AC与BD的数量关系，根据NAOB=NCOD=90。，可证AC与BD的位置关系;

(2)证明△OCAg△ODB,即可得到AC=BD；

(3)证明△OCAg/\ODB,可得AC=BD,ZBDO=ZACO,进而可证/DEF=90°.

【详解】

解：⑴VOA=OB,OC=OD

.\OAOC=OB-OD,

AAC=BD.

VZAOB=ZCOD=90°,

AAOIBO,

VC.D分别在OA、OB±,

AAC1BD；

(2)在aOCA和aODB中，

OC=OD

,ZCOA=BOD=90,

AO=BO

/.△OCA^AODB,

.\AC=BD；

(3)AC=BD,AC1BD.

理由:

VZAOB=ZCOD=90°,

/.ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

.\ZAOC=ZBOD,

在^(^人和^ODB中，

OC=OD

•ZCOA=BOD,

AO=BO

•・•△OCAg△ODB,

.*.AC=BD./BDO=/ACO.

VZACO+ZCFO=90°,ZCFO=ZDFE

:.ZBDO+ZDFE=90°,

工ZDEF=180°-90°=90°,

AAC1BD.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判

定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相

等）是解题的关键.

14.如图，。是小钻。的外接圆，AC是。的直径，点8是半圆A8C的中点，点。是AOC上一动

点(不与点A、C重合)，连接30交AC于点G.

图I图2

(1)如图1,过点B作3/〃AC,交QA延长线于点尸，求证：BF与。相切；

(2)若AC=10,AD=6,求CG的长；

(3)如图2,把△麻沿直线BC翻折得到AEBC,连接AE，当点。在ADC运动时，探究线段AE、BD、

CO之间的数量关系，并说明理由.

4()

【答案】(1)详见解析；(2)y：(3)AE2=2DB2+CD2详见解析.

【分析】

(1)连接08,求出QB_LAC，根据5/〃AC得到N咫0=90°,问题得证；

(2)作G”JLC0交广点X，证明DH=GH,求出CD=8,根据tan44c£)=g,

4

3224

在RfACGH中,设G4=3a,则。"=3a,CH=4a,求出"=亍，G”=亍,根据勾股定理即可

求出CG；

(3)作BM工BE，使得BM=BE，连接EM，CM.证明八43七生△C8M，得到AE=CM,证明

NCEW=90。，得到。“=而2+2。2,根据数量关系进行代换即可得到入序=2032+⑺?

【详解】

证明：（1）连接08,

0是A3c的外接圆，AC是。的直径，点6是半圆48C的中点，

.•./BAC=/ACB=45。,OBA.AC

ZAB。=45。

BF//AC

ZABF=45°

:.ZFBO=90°

..BF与。相切；

解：（2）作GH±CD交CD于点H，

点B是半圆周A8C的中点，

:.ZADB=/CDB

AC是。的直径

/.ZAPC=90°

:.NCDB=45。

DH=GH

在R/AACD中，AC=10，AD=6,

...CQ=8

tanZ.ACD=—

4

在R/ACG”中，设G”=3a,则O"=3a,CH=4a

r，c8

」.3a+46f=8,a=一,

7

在R/ACG”中，设G"=3〃，则。”=3a,CH=4a

3224

・・

•，CH=—fGH=—

(3)结论：AE2=2DB2+CD2

作8M_LBE，使得3M=BE，连接七“，CM.

ZABC=NEBM=90。,

;.ZABE=NCBM,

BA=BC，BE=BM,

/.Z^ABE三ACBM(SAS),

AE=CM,

ZBEC=ZBDC=4BEM=45°

...NCEM=900,

:.CM2=EM2+EC2^

:.EM2=2BE2=2BD2^EC=CD，

AEr=2DB2-^-CD2

.U

【点睛】

本题为圆的综合题目，考查了圆的性质，切线的判定，利用三角函数求线段的长，勾股定理等知识，综合

性较强.解第（2）步关键是添加适当辅囱线GH,构造了等腰直角三角形DHG和三边比为3:4:5的直角三角

形CGH；解（3）步关键是构造旋转全等，将三条线段转化在同一直角三角形CEM中，得出数量关系后再

进行线段的代换.

15.在RtAABC中,AB=AC,D为BC边上一点（不与点B,C重合），将线段AD绕点A逆时计旋转90。得到AE.

（1）连接EC,如图①，试探索线段BC,CD,CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（2）连接DE,如图②，求证：BD2+CD2=2AD2

（3）如图③，在四边形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若BD=而，CD=1,则AD的长为（直

接写出答案）

【答案】（1）BC=DC+EC,理由见解析；（2）见解析；（3）任

【分析】

（1）根据本题中的条件证出ABADgZXCAE（SAS）,得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.

（2）由（1）中的条件可得NDCE=NACE+NACB=90。，所以CE?+CD2=ED?,可推出BD?+CD2=瓦炉,再根据

勾股定理可得出结果.

（3）作AE_LAD,使AE=AD,连接CE,DE,可推出△BADgZ\CAE（SAS）,所以BD=CE=,再根据勾股

定理求得DE.

【详解】

解：（1）结论：BC=DC+EC

理由：如图①中，

ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAD二NCAE,

在^BAD和△CAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

AABAD^ACAE（SAS）;

ABD=CE,

/.BC=BD+CD=EC+CD,

即：BC=DC+EC.

（2）BD2+CD2=2AD2,

理由如下：连接CE,

图②

由（1）得，△BAD^ACAE,

ABD=CE,ZACE=ZB,

，ZDCE=ZACE+ZACB=90°,

/.CE^CD^ED2,

即：BD2+CD2=ED2:

在RtAADE中,AD2+AE2=ED1又AD=AE,

AED2=2AD2-

.*.BD2+CD2=2AD2;

（3）AD的长为（学生直接写出答案）.

作AEJ_AD,使AE=AD,连接CE,DE,

•IZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

BPZBAD=ZCAE,

在^BAD^ACAE中，

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE.

/.△BAD^ACAE(SAS),

.*.BD=CE=V13，

•・•ZADC=45°,ZEDA=45°,

JZEDC=90°,

ADE2=CE2-CD2=(713)产=12,

・・・DE=2技

ZDAE=90°,AD2+AE2=DE2

AD=a.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定

理等知识，解题的关犍是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.

16.如图，尸为等腰直角三角形，点8为直角顶点，四边形A5CO是正方形.

（1）求证：△ABEgACBF；

⑵C尸与AE有什么特殊的位置关系？请记明你的结论.

【答案】（1）见解析；（2）CFJ_AE,理由见解析

【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得出BE=BF,/EBF=90。,再根据正方形的性质得出AB=BC,ZABC=90°,

根据余角的性质得到NEBA=NCBF,最后根据SAS证明结果：

（2）延长CF,交AE于点G,根据补角的性质得出NAEB+NBFG=180。，再根据四边形内角和得出

ZEGF+ZEBF=180°,从而可得NEGF=90。，即可得到结果.

【详解】

解：（1）尸为等腰直角三角形，

ABE=BF,ZEBF=90°,

贝|JNEBA+NFBA=9O。，

•・•四边形ABCD为正方形，

/.AB=BC,ZABC=90°,则NABF+NCBF=90°,

AZEBA=ZCBF,

又・.・BE=BF,AB=BC,

/.△ABE^ACBF(SAS)；

(2)延长CF,交AE于点G,

由(1)得：NCFB=NAEB,

VZCFB+ZBFG=180°,

/.ZAEB+ZBFG=180°,

.\ZEGF+ZEBF=180°,

VZEBF=90°,

AZEGF=90°,

ACF1AE.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，四边形内角和,解题的关键是根据题意证明

△ABE/4CBF.

17.如图，△AOB和△COO均为等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,点C、。分别在边。4、0B上的

点.连接4D,BC,点”为8c中点，连接0”.

(1)如图1,求证：OH」AD,OHA.AD；

2

(2)将△CO。绕点0旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立,

请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析

【分析】

(1)只要证明△AODgZXBOC(SAS),即可解决问题；

(2)如图2中，结论：0H=—AD,OH1AD.延长OH至ljE,使得HE=OH,连接BE,证明△BEH丝△CHO

2

(SAS),可得OE=2OH,ZEBC=ZBCO,证明△BEOgZXODA(SAS)即可解决问题；

【详解】

(1)•••△0A8与△OCQ为等腰直角三角形，NAOB=NCOD=900.

：,OC=OD,OA=OB

在△40。与480C中

OA=OB

<NAOD=ZBOC

OD=OC

/.AAOD^ABOC(SAS)

：.4AD0=NBC0,NOAD=/OBC,BC=AD

•・•点，是3C的中点，ZAOB=900

：.OH=HB=-BC

2

AZOBH=ZHOB=ZOAD,OH=-AD

2

•・・NOAO+NAOO=90。

/.NADO+NBOH=90。

：.OHLAD

(2)U)中结论成立；如图，延长。，到E,使得“七=。〃，连接BE,CE

*：CH=BH

・•・四边形80CE是平行四边形

,BE=OC,EB//OC,0H=—OE

2

・・・NEBO+NCOB=180°

•・・NC08+N800=90。，ZBOD+Z1=90°

・・・N1=NCO8

VZAOD+Z1=180°

:.NAOD=NEBO

・••△BEO/AODA

：.ZEOB=ZDAO,OE=AD

：.OH=­AD

2

/.ZDAO+NAOH=NEOB+ZAOH=9C°

：.OHLAD

【点晴】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形

三边美系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.

18.如图1,在等腰直角三角形A6C中，动点。在直线A3(点A与点8重合除外)上时，以CO为一

腰在CO上方作等腰百角三角形ECD,ZECD=90°,连接A£

(1)判断4E与8。的数量关系和位置关系；并说明理由.

(2)如图2,若B£)=4,P,。两点在直线AB上且EP=EQ=5,试求PQ的长.

(3)在第(2)小题的条件下，当点。在线段的延长线(或反向延长线)上时，判断PQ的长是否为定

值.分别画出图形，若是请直接写出P。的长；若不是请简单说明理由.

【答案】(1)AE二BD且AE_LBD；(2)6；(3)PQ为定值6,图形见解析

【分析】

(1)由“SAS”可证△ACE且ABCD,可得AE=BD,ZEAC=ZDBC=45°,可得AE_LBD；

(2)由等腰三角形的性质可得PA二AQ,由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；

(3)分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE^^BCD,可得AE=BD,ZEAC=ZDBC,可得AE_LBD,由

等腰三角形的性质可得PA=AQ,由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长.

【详解】

解：⑴AE=BD,AE±BD,

理由如下：;△ABC,ZiECD都是等腰直角三角形，

AAC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90c,ZABC=ZCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC=BC,CE=CD,

AAACE^ABCD(SAS)

・・・AE=BD,ZEAC=ZDBC=45°,

.•.ZEAC+ZCAB=90°,

AAE1BD；

(2)VPE=EQ,AE1BD,

APA=AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

・•・AQ=yjE^-AE2=725-16=3，

APQ=2AQ=6；

(3)如图3,若点D在AB的延长线上，

VAABC,△ECD都是等腰直角三角形,

/.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90c,ZABC=ZCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC二BC.CE=CD.

/.△ACE^ABCD(SAS)

AAE=BD,ZCBD=ZCAE=135°,且NCAB=45。,

:.ZEAB=90°,

VPE=EQ,AE±BD,

APA=AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

，AQ=ylEQ2-AE2=j25-\6=3，

APQ=2AQ=6；

•••△ABC,△ECD都是等腰直角三角形，

AAC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90c,ZABC=ZCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC=BC,CE=CD,

AAACE^ABCD(SAS)

/.AE=BD,ZCBD=ZCAE=45°,且NCAB=45。，

/.ZEAB=90°,

VPE=EQ,AE_LBD,

・・・PA;AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

・•・AQ={EQ?-AE2425-16=3，

APQ=2AQ=6.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE1BD

是本题的关键.

19.如图，已知RNABC中，AB=AC=2,点。为直线8c上的动点（不与3、C重合），以4为直角顶点作

等腰直角三角形4OE（点A,D,E按逆时针顺序排列），连结CE.

（1）当点。在线段BC上运动时，

①求证：BD二CE；

②请探讨四边形AOCE的面积是否有变化；

（2）当点。在直线上运动时，直接写出CD,CB与CE之间的数量关系.

EA

凡-

BDC■用图

【答案】（1）①见解析：②四边形AOCE的面积不变；（2）当点D在线段BC上时，CB=CE+CD；当点D

在点C右侧时，CB=CE-CD：当点D在点B左侧时，CB=CD-CE

【分析】

（1）①根据等腰直角三角形的性质可得AB二AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,从而得出NBAD二NCAE,

然后利用SAS即可证出^BAD^ACAE,从而得出BD=CE：

②根据直角三角形的面积公式即可求出SAABC，然后根据全等三角形的性质可得SABAD=SACAE，然后根据S

四边形ADCE=SACAE+SAADC和等量代换即可得出结论；

（2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据（1）①中证全等的方法和全等三角形的性质

即可推出结论.

【详解】

解：（1）①•••△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

AAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90>

・•.ZBAD+ZDAC=90°,ZCAE+ZDAC=90°

•••/BAD二NCAE

在ABADfilACAE中

AB=AC

<^BAD=ZCAE

AD=AE

AABAD^ACAE

ABD=CE；

②：已知RIAABC中，AB=AC=2t

1

••SAABC二一AB,AC=2

2

VABAD^ACAE

：•SABAD=SACAE

:.S四边形ADCE=SACAE+SAADC=SABAD+SAADC=SAABC=2

:.四边形ADCE的面积不变；

（2）当点D在线段BC上时，如下图所示

由（1）①的结论知BD=CE

.*.CB=BD+CD=CE+CD；

当点D在点C右侧时，如下图所示

VAABC和^ADE都是等腰直角三角形

AAB=AC