《§5 从力做的功到向量的数量积》讲义

《§5从力做的功到向量的数量积》讲义同学们好，今天咱们要一起学习高中北师大版必修4第二章平面向量里的§5从力做的功到向量的数量积。在开始学习这个有点神秘的向量的数量积之前呢，我先给大家讲个我自己的小经历。有一次我去搬东西，那是一个大箱子，我想把它从房间的这头搬到那头。我用力去推这个箱子，这个力的大小呀，方向呀，还有箱子移动的距离都很重要。这就有点像咱们今天要学的向量相关的知识啦。一、力做的功咱们先来说说力做的功。大家在生活中都知道，如果要把一个东西移动一段距离，就得用力。比如说我刚刚搬箱子，我使了劲，箱子动了，这就有力做了功。那功怎么计算呢？功等于力乘以在力的方向上移动的距离。如果用字母来表示的话，假如力是F，在力的方向上移动的距离是s，那功W就等于F乘以s，也就是W＝Fs。这里要注意哦，力和距离得是在同一个方向上的。就像在体育课上，老师让大家推铅球。你用力去推铅球，铅球飞出去了一段距离。你用的力越大，铅球飞得越远，做的功就越多。但是这个功可不是随便乱算的，得是力沿着铅球飞出去这个方向的作用效果。如果你的力用偏了，铅球就飞不远，做的功也就没那么多。这就像咱们做数学题一样，每个条件都得用对地方。二、向量的引入那这和向量有啥关系呢？向量呀，是既有大小又有方向的量。就像刚刚我推箱子的力，它有大小，就是我用了多大力气，还有方向，是朝着箱子要去的那个方向推的。这就是一个向量。那在平面里，向量可以用有向线段来表示。比如说，我们画一个箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头指的方向就是向量的方向。我再给大家举个例子。咱们在操场上，有个同学从操场这头跑到那头。他跑的这个过程就可以看成是一个向量。他跑的速度有快慢，这就是向量的大小，他跑的方向是朝着操场那头的，这就是向量的方向。三、向量的夹角现在咱们要说说向量之间的夹角。就像两个人站在操场上，他们站的方向不一样，这两个人之间就有个夹角。向量也是这样的。假设有两个向量a和b，它们之间的夹角我们用θ（theta）来表示。这个夹角θ的范围是0度到180度。比如说，在我们的教室里，黑板的一条边可以看成一个向量，教室的墙的一条边也可以看成一个向量，这两个向量之间就有个夹角。这个夹角会影响到很多和向量有关的计算呢。四、向量的数量积的定义那什么是向量的数量积呢？我们根据力做的功来理解这个概念就容易多了。向量a和向量b的数量积，我们写成a·b（这里的“·”就是数量积的符号哦），它等于向量a的模（也就是向量a的大小，我们用|a|表示）乘以向量b的模再乘以它们夹角的余弦值，也就是a·b＝｜a|｜b|cosθ。咱们再回到我搬箱子的那个例子。如果把我推箱子的力看成向量a，箱子移动的方向看成向量b，那这个力做的功就有点像向量a和向量b的数量积。力的大小就像向量a的模，箱子移动方向的长度（可以想象成如果这个方向是个向量的话的模）就像向量b的模，而力和箱子移动方向之间的夹角的余弦值就把它们联系起来了。五、向量的数量积的性质1、a·a＝｜a|²。这就好比一个向量自己和自己做数量积，就等于它自己模的平方。就像一个人自己跟自己比力气，这个力气的大小（向量的模）的平方就是这个特殊的数量积的结果。2、如果两个向量a和b垂直，也就是它们的夹角θ等于90度，那么cosθ就等于0，所以a·b就等于0。这就像在十字路口，两条垂直的路，它们在向量的意义上就有点像垂直的向量，它们之间的这种“联系”（数量积）就是0。3、如果a·b＝0，而且a和b都不是零向量，那么就可以推出a和b垂直。这就像我们发现两个人之间没有那种特殊的“关联”（数量积为0），那他们的方向就是垂直的。六、向量的数量积的运算律1、交换律：a·b＝b·a。这就像两个人互相握手，不管谁先伸手，这个握手的“效果”（数量积）是一样的。2、分配律：a·（b＋c)＝a·b＋a·c。咱们可以想象成有一堆东西要分，不管是先把b和c加起来再分给a，还是分别分给a然后再加起来，结果是一样的。3、数乘结合律：（λa)·b＝λ(a·b)＝a·（λb)，这里的λ是一个实数。这就好比给一个人的力气（向量a）放大或者缩小（乘以λ），然后再和别人（向量b）“互动”（做数量积），和先“互动”再放大或者缩小结果是一样的。七、向量数量积的坐标表示如果向量a＝（x₁,y₁)，向量b＝（x₂,y₂)，那么a·b＝x₁x₂＋y₁y₂。这就把向量的数量积用坐标的形式表示出来了。这就像我们给向量穿上了坐标的“衣服”，然后用一种新的方式来计算它们之间的关系。比如说，有一个向量表示从点(1,2)到点(3,4)，另一个向量表示从点(2,3)到点(4,5)。我们可以先算出这两个向量的坐标形式，然后用这个坐标表示的方法来计算它们的数量积。八、向量数量积的应用1、求向量的模我们知道a·a＝｜a|²，那如果要求向量a的模，就可以先算出a·a，然后再开方。比如说向量a＝（3,4)，那么a·a＝3×3＋4×4＝25，所以|a|＝5。这就像我们知道了一个人的力量和自己比的一个数值，然后就能算出他真正的“力量大小”（模）。2、求向量的夹角根据a·b＝｜a|｜b|cosθ，我们可以推出cosθ＝（a·b)／（｜a|｜b|）。这样如果我们知道两个向量的坐标或者其他表示形式，算出它们的数量积和模，就能求出它们之间的夹角了。就像在一个游戏里，有两个角色的行动方向可以看成向量，我们想知道这两个角色行动方向之间的夹角，就可以用这个方法来计算。3、判断三角形的形状如果在一个三角形里，我们把三角形的三条边看成向量。如果两条边对应的向量的数量积为0，那就说明这两条边垂直，这个三角形就是直角三角形。如果所有边对应的向量两两之间的数量积都大于0，那这个三角形就是锐角三角形；如果有一个数量积小于0，那这个三角形就是钝角三角形。比如说有一个三角形，三条边对应的向量分别是a＝（1,2)，b＝（2,1)，c＝（1,2)。我们可以计算a·b、a·c、b·c来判断这个三角形的形状。同学们，向量的数量积这个知识很有用，它在物理、工程、计算机图形学等很多领域都有应用。就像在物理里，很多力的分析都要用