《§2 排序不等式》学历案

《§2排序不等式》学历案姓名：学生姓名班级：具体班级学号：学生学号一、主题与课时北师大版高中选修45第二章“几个重要的不等式”中的§2排序不等式，预计2课时。二、课标要求1、理解排序不等式的基本概念和原理。2、能够运用排序不等式解决简单的数学问题，提升数学推理和运算能力。3、在探究排序不等式的过程中，体会数学思维的严谨性和逻辑性，培养逻辑推理等数学核心素养。三、学习目标1、我能说出排序不等式的内容，就像能说出自己喜欢的明星的名字一样熟练。2、我可以识别在不同的数集和问题情境中，什么时候可以使用排序不等式，就像能在一堆钥匙里找到开门的那把一样准确。3、我能够运用排序不等式来解决一些简单的不等式证明和求最值问题，就像能轻松解开一个小谜题一样。4、我要学会通过对排序不等式的探究，培养自己的逻辑思维能力，就像锻炼自己的小脑袋瓜变得更聪明一样。四、评价任务1、通过完成课堂上的问答和小组讨论，检测我是否能达到目标1。2、做一些专门设计的练习题，如果我能准确判断出是否使用排序不等式，就说明我达到了目标2。3、解决一些有难度梯度的不等式证明和求最值的题目，如果大部分都能做对，那我就达到了目标3。4、在整个学习过程中，观察我逻辑思维能力有没有提高，比如看我解题的思路是不是更清晰有条理了，这就能检测我是否达到目标4。五、学习过程（一）情境导入咱们来想象一个有趣的场景。学校要举办一场趣味运动会，有三个班级A、B、C，每个班级都有三名同学参加跳绳比赛。这三名同学的跳绳水平不一样，咱们用数字来表示他们每分钟跳绳的个数。A班的三名同学跳绳个数分别是100、80、60；B班的是90、70、50；C班的是85、75、65。现在要进行团体比赛，怎么安排比赛顺序能让每个班的总成绩最好呢？这其实就和我们今天要学的排序不等式有点关系哦。（二）任务一：排序不等式是什么1、先来看一些简单的数字排列。假设有两个数组：＄a＝＼｛1,2,3\｝＄和$b=＼｛3,2,1\｝＄。我们来计算一下$a_1b_1＋a_2b_2+a_3b_3$和$a_1b_3＋a_2b_2+a_3b_1$的值。先算$a_1b_1＋a_2b_2+a_3b_3$，就是$1\times3+2\times2＋3\times1$＄＝3＋4+3$＄＝10$。再算$a_1b_3＋a_2b_2+a_3b_1$，也就是$1\times1+2\times2+3\times3$＄＝1＋4＋9$＄＝14$。我们发现不同的顺序相乘再相加，结果是不一样的。2、那我们来正式学习排序不等式的定义。设$a_1\leqslanta_2\leqslant\cdots\leqslanta_n$，＄b_1\leqslantb_2\leqslant\cdots\leqslantb_n$为两组实数，＄c_1,c_2,＼cdots,c_n$是$b_1,b_2,＼cdots,b_n$的任一排列，那么就有$a_1b_n＋a_2b_{n1}＋＼cdots+a_nb_1\leqslanta_1c_1＋a_2c_2+＼cdots+a_nc_n\leqslanta_1b_1＋a_2b_2+＼cdots+a_nb_n$。这就像是给一群小伙伴排队，不同的排队顺序会有不同的“效果”。3、大家一起讨论一下，这个定义里每个部分都代表什么意思呢？就像我们刚刚讨论趣味运动会的比赛顺序一样，这里的数组就像是不同班级的同学，排列就像是不同的比赛顺序安排。（三）任务二：什么时候用排序不等式1、我们再来看一些例子。比如说，已知$x,y,z\inR^＋＄，且$x＋y+z＝1$，求证：＄＼frac{1}｛x}＋＼frac{1}｛y}＋＼frac{1}｛z}＼geqslant9$。我们可以设$a=＼｛x,y,z\｝＄，＄b=＼｛＼frac{1}｛x}，＼frac{1}｛y}，＼frac{1}｛z}＼｝＄。按照排序不等式的规则，我们可以发现当$x＝y＝z=＼frac{1}｛3}＄时，能得到最小值。再看一个例子，已知$a,b,c\inR^＋＄，求证：＄a^3＋b^3＋c^3\geqslanta^2b＋b^2c＋c^2a$。这里我们设$a_1＝a,a_2＝b,a_3＝c$，＄b_1＝a^2,b_2＝b^2,b_3＝c^2$。然后根据排序不等式的性质来进行证明。2、小组讨论：在这些例子里，怎么发现可以用排序不等式的呢？就像在一堆数学问题里，怎么找到那些适合用排序不等式这个“工具”的问题呢？大家可以分享一下自己的想法，就像分享自己的小秘密一样。（四）任务三：用排序不等式解决问题1、基础练习已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a＋b＋c＝1$，利用排序不等式证明：＄a^2＋b^2＋c^2\geqslant\frac{1}｛3}＄。首先我们设$a_1＝a,a_2＝b,a_3＝c$，＄b_1＝a,b_2＝b,b_3＝c$。然后按照排序不等式的公式进行计算和推导。2、提升练习设$a,b,c\inR^＋＄，求$y=＼frac{a}｛b＋c}＋＼frac{b}｛a＋c}＋＼frac{c}｛a＋b}＄的最小值。这时候我们要巧妙地设数组，然后运用排序不等式进行求解。大家先自己尝试做一下，就像独自挑战一个小怪兽一样，如果遇到困难可以和小组同学一起讨论，就像组成一个小战队共同战斗。（五）拓展学习1、我们可以自己找一些更复杂的不等式问题，看看能不能用排序不等式来解决。2、研究一下排序不等式在其他学科或者实际生活中的应用，比如在物理中的能量分配问题，或者在资源分配中的应用。这就像探索一个神秘的宝藏，看看排序不等式这个“宝藏工具”还能在哪些地方发光发热。六、作业与检测（一）基础作业1、已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a\geqslantb\geqslantc$，求证：＄＼frac{a^5}｛b^3c^3}＋＼frac{b^5}｛a^3c^3}＋＼frac{c^5}｛a^3b^3}＼geqslant\frac{1}｛a}＋＼frac{1}｛b}＋＼frac{1}｛c}＄。2、设$a,b,c\inR^＋＄，＄a＋b＋c＝1$，利用排序不等式证明：＄ab＋bc＋ca\leqslant\frac{1}｛3}＄。（二）拓展作业1、探究排序不等式在经济学中的资源优化配置模型中的应用，写一篇小短文介绍自己的发现。2、自己构造一个可以用排序不等式解决的不等式问题，然后详细写出解题过程。（三）检测1、进行一次小测验，包括选择题、填空题和证明题。选择题：下面哪个问题不适合直接用排序不等式解决（）A.已知$x,y,z\inR^＋＄，且$x＋y＋z＝1$，求$＼frac{1}｛x}＋＼frac{1}｛y}＋＼frac{1}｛z}＄的最小值。B.已知$a,b,c\inR^＋＄，求$a^2＋b^2＋c^2$的最大值，没有其他条件限制。C.已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a＋b＋c＝1$，求证：＄a^3＋b^3＋c^3\geqslanta^2b＋b^2c＋c^2a$。填空题：已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a\geqslantb\geqslantc$，设$a_1＝a,a_2＝b,a_3＝c$，＄b_1＝a^2,b_2＝b^2,b_3＝c^2$，根据排序不等式，＄a_1b_3＋a_2b_2+a_3b_1$＿_____$a_1b_1＋a_2b_2+a_3b_3$（填“＄＼leqslant$”或“＄＼geqslant$”）。证明题：已知$a,b,c\inR^＋＄，且$a＋b＋c＝1$，利用排序不等式证明：＄＼frac{a}｛1a}＋＼frac{b}｛1b}＋＼frac{c}｛1c}＼geqslant\frac{3}｛2}＄。七、课后反思1、在学习排序不等式的