期末测试模拟卷A卷（解析版）-2020-2021学年高二年级下册数学期末考点大串讲（人教A版）

专题13期末测试模拟卷A卷

考试范围：人教A版选修222-344；总分：150分；考试时间：120分钟

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

第I卷（选择题）

评卷人得分

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）

1.【河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末】如图，第1个图形是由正三边形“扩展”

而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来.依次类推，第〃个图形是由正（〃+2）边形"扩

展”而来，其中〃eN*，那么第8个图形共有个顶点（）

A.72B.90C.110D.132

【答案】C

第〃个顶点

13+3x3=3x4=12

24+4x4=4x5=20

35+5x5=5x6=30

46+6x6=6x7=42

57+7x7=7x8=56

68+8x8=8x9=72

79+9x9=9x10=90

810+10x10=10x11=110

故选：c

2.【浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高二上学期期末】用数学归纳法证明

2"NI》可时，第二步应假设（）

A.〃=A:N2时，2«＞尸B.〃=左23时，2"＞公

C.〃=人》4时，2"与左2D.〃=%三5时，2*N22

【答案】C

根据数学归纳法得证明步骤，可知第二步归纳假设正确写法：假设〃=人》4时，2*＞二

故选：C

3.【河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末】将曲线f一丁一1=。变换为曲线

工'2-16了2-4=0的一个伸缩变换为（）

r

xr=2x,xr=2九，Xx—_Ax,xr=X,

,1c.；

・

f1B<1D.­,1

y=-yf］、，

I2i4[y=寸[4

【答案】A

x'

x=

y=~7

设伸缩变换为4,'（2＞0,//＞0）,可知彳,，将其代入曲线x2-y2-l=0,

,,〃

丫'2v'2；2V，2

由题意可知一----7-1=0,B|Jx'2-------------A2=0

分/Z-

由曲线f一＞2—1=0经伸缩变换成曲线X，2—I6y'2—4=0,

万16A=2

7.所以•

所以《1.

储=4

x'=2x,

所以，，1.

y=^y

故选：A.

4.【河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末】下列四个命题：

（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1：

（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；

（3）在回归模型中，相关指数尺2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于］,

表示回归效果越好：

（4）在独立性检验中，随机变量K?的观测值上越小，判断“X与丫有关系”的把握程度越

大.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

（1），两个变量相关性越强则相关系数厂的绝对值就越接近于1，所以（1）错误.

（2）,两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，正确.

（3）,在回归模型中，相关指数&2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于

1，表示回归效果越好，正确.

（4）,在独立性检验中，随机变量K2的观测值上越大，判断“x与y有关系”的把握程度越

大，所以（4）错误.

故选：B

5.【河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末】九月是某集团校的学习交流活动月，来

自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习.现在学校决定把

他们分到1，2,3三个班，每个班至少分配1名同学.为了让他们能更好的融入新的班级，

规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】D

依题意不同的分配方案种数为-A；=36-6=30.

故选：D

6.若函数〃x)=d—3x在区间(2。,3-。2)上有最大值，则实数。的取值范围是()

A.(—3,1)B.(—2,1)C.3,——D.(―2,—1]

【答案】D

因为函数/(x)=丁-3x,

所以/彳x)=3/一3,

当或x>l时，/f(x)>0,当—l<x<l时，/(%)<0,

所以当％=-1时，/'(X)取得最大值，

又/(-1)=/(2)=2,且/(力在区间(2。,3—。2)上有最大值,

所以2a<-1<3-。2<2，

解得—2<aW—l,

所以实数。的取值范围是(-2,-1]

故选：D

7.任何一个复数z=a+bi都可以表示成z=r(cos6+isin。)的形式，我们把

r(cos8+isin。)叫做复数的三角形式.已知z=cosq+isin?,则下列结论正确的是(

)

2

A.z?的实部为1B.z2=z-lC.z=zD.㈤=2

【答案】B

万..乃r,,,l162(1K)1G.

3322122122

对于A,z2的实部是一；，不是1,故A错误；

2

对于B,z-l=-l+—z=z,故B正确；

22

对于C,~z=L-Bi大干,故C错误；

22

对于D,=1#2,故D错误.

故选：B

8.2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测.对全市的理科数学成绩进行统

计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96,52）.据此估计：在全市抽取6名高三学

生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）

115八115

A.—B.—C.—D.—

32326464

【答案】D

•••数学成绩近似地服从正态分布N（96,5）,.,.抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的

概率为g.

15

•••所求概率尸=

64

故选：D.

9.二项式（2x-的展开式中第四项的系数为（

A.-160B.-60

【答案】A

•••（2x-l『的展开式的通项公式为i+i=C；.（2X）6T.（-1）',

令r=3,可得7；=C；.（2x）6-3.（_iy=-20x8x3=-160x3,

故选：A

10.【湖北省重点高中（孝感一中、应城一中、安陆一中等六校）协作体2018-2019学年高

二上学期期末联考】设X〜N（H，b；）,丫〜N（〃2，E），这两个正态分布密度曲线如图所

示.下列结论中正确的是（)

y

A.P(Y>^>P[Y>p})B.P(X<a2)<P(X<aj

C.对任意正数f,P(X<t)>P(Y<0D.对任意正数f,P(X>t)>P(Y>t)

【答案】c

由正态分布密度曲线的性质可知，X〜N(M，b：),y〜N(〃2，b；)的密度曲线分别关于直

线x=〃],x=〃2对称，因此结合题中所给图象可得，必<〃2，所以

P(Y》由)<P(Y》〃J,故A错误；又X〜N(四0：)得密度曲线较丫~%(〃2，8)的

密度曲线“瘦高所以巧<%，所以P(X<q)>P(X<1),8错误；对任意正数f,

P(X<t)>P(Y<t),P{X>t)<P(Y>t),C正确，。错误

故选：C

11.【云南省丽江市2019-2020学年高二下学期期末】已知定义在R上的偶函数y=f(x)的

导函数为/(X),函数满足：当尤>0时,xf'(x)+f(x)>l,且/(1)=2020.则不

，,、,2019

等式/。)<1+丁厂的解集是)

A.(3,—1)50,1)B.(-bO)u(l,+oo)

C.(—1,0)50」)D.(^»,-l)u(L+oo)

【答案】C

当尤>0时,x-f'(x)+/(x)>1,x-f\x)+/(x)-1>0,

令F(x)=x令(x)-x=x(f(力-1),/(x)为R上的偶函数，则r(x)=x-r(x)+/(x)-l>0,

尸(x)在R上为奇函数,且单调递增,且尸⑴=/(1)-1=2019,则F(—1)=一2019

①当尤>0时,fM<1+方,gpx-/W-x<2019,F(l)=/(1)-1=2019,即F(x)<F(l),

0<x<1；

2019

②当尤<0时，八幻<1+"，x/(x)-x>-2019,F(-l)=-F(l)/(l)=-2019,

即尸(x)>尸(-1),/.-l<x<0.

2019

综上,不等式/。）＜1+下厂的解集为（T，0）口（0，1）.

故选：C.

12.【江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期期末】2020年2月，全国掀起了“停

课不停学''的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了

调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%

的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的

把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（)

n^ad-bcy

参考公式附：K2=,其中〃=〃+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

尸（片〃°）0.150.100.050.0250.0100.005

%2.0722.7063.8415.0246.6357.879

A.130B.190

C.240D.250

【答案】B

依题意，设男、女生的人数各为5x,建立2x2列联表如下所示:

喜欢网络课程不喜欢网络课程总计

男生4%X5x

女生3x2x5x

总计lx3x10x

故y=（8--3厂）JOx=10%,由题可知6.635<—<10.828,

'5x-5x-3x-7x2121

139.335<10x<227.388,只有B符合题意.

故选：B.

第n卷（非选择题）

评卷人得分

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.随机变量X的分布列如下：其中m4c成等差数列，若E(X)=L则2。+3b+4C=

3

【答案】y

由题意知：

。+〃+C=1

<2b=a+c,

1

-a+c=-

l3

解得a=L,b=—,c=—t

632

所以2a+30+4c=2XL3X'+4XLW.

6323

故答案为：?

3

14.【河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末】2021年7月1日是中国共产党成立1

00周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，

作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课.现将标有数字2,

0,2，1，7,1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成_____个不同的六位

数.

【答案】150

依题意可组成不同的六位数有今彳一一善左=180-30=150.

6WAM;

故答案为：150

］ny

15.若对任意的实数xNl,不等式e*-一^20恒成立，则正数上的取值范围是

k

【答案】［―,+°。)

e

x>l,k>0,ekx>0<=>kekx>Inxo(kx)ekx>xlnxo(kx)ekx>(Inx)elnx,

k

令/(x)=&x,x20,/7x)=(x+l>A>0,即/(x)在［0,+8)上单调递增，

则Vx>0«f(kx)>/(Inx)^kx>\nxok>—,

kx

4*g(x)=—,x>Lg，(%)=ll<%ve时g'(%)>0,x>e时g'(x)<0,

XX

g(x)在(l,e)上递增，在®+00)上递减，％=e时g(x)max=L即

ee

正数Z的取值范围是［L+8).

e

故答案为：［―,+°°)

e

16.【江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二下学期期末】为贯彻教育部关于全

面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足

球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求：

甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；

丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.

己知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是.

【答案】丙

在如下图中，用《表示该门课程被选择，用x表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，

太极拳足球击剑游泳

甲XX7

乙X〈②X

丙X4X

丁4①

从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，

丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙,

由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑.故答案为丙.

评卷人得分

三、解答题（共6小题，其中第1大题10分，其余题目每题12分，共70分）

17.【江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二上学期期末】已知复数

4=2+（/一3＞，Z2=2+（3a+l）i（aeR,i是虚数单位）.

（1）若复数马一Z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数。的取值范围

（2）若虚数4是实系数一元二次方程/一6了+m=0的根，求实数加的值.

【答案】（1）一2＜。＜一1；（2）13.

解：（1）由条件得，zi~z2=^-2]+（/-3a-4）i

r3

因为Z1一Z2在复平面上对应点落在第一象限，故有彳a+2,

a2-3a-4＞0

。〉4或。＜一1。＞4或。＜一1

解得—2<a<-1.

（2）因为虚数4是实系数一元二次方程一一6%+m=0的根,

所以4也是实系数一元二次方程X2一6%+/〃=0的根，

所以Z1+%=—^―=6,即a=-1,

a+2

把a=T代入，则/=3-2/,%=3+2i,

所以加=4吃=3?+（-2）2=13.

18.【广西钦州市2018-2019学年高二下学期期末教学质量监测［（1）用分析法证明：

百+近<25

（2）用数学归纳法证明：1X4+2X7+L+〃（3〃+l）=〃（〃+l）2（〃eN,）

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

（1）要证明J5+J7<2后成立，只需证明（6+Sy<仅逐丫成立，

即证明10+2亚<20成立，只需证明"'<5成立，即证明21<25成立，

因为21<25显然成立，所以原不等式成立，即月+5<2有；

（2）①当”=1时，3〃+1=4,等式左边=1x4=4，/边=1x22=4，等式成立；

②设当〃=k时，等式成立，即lx4+2x7+L+女（3左+1）=女（女+1『，

则当〃=%+1时,

1X4+2X7+3X10+L+左（3斤+1）+（左+1）（3%+4）=4（^+1）?+（々+1）（3左+4）

=（攵+1乂左2+4+3%+4）=（4+1）（4+1+1）2,

即〃=2+1成立，

综上所述，1X4+2X7+...+”（3〃+1）=”（"+1）2.

19.【河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末】红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产

卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据,

制成图1所示的散点图现用两种模型①y=（a>0,。>0）,②y=c/+d分别进

行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.根据收

集到的数据，计算得到如下值：

8.

XzF£(七-4^(z,.-z)(x,.-x)t(y-刃(4-T)

/=1/=1/=l/=1

252.8964616842268848.4870308

1818

-

z-=-Zzz--Z

88E

/=1

质2*

14030

1200

1002

8010

600

40

20To

o

-2To

”向2322242628303234温度

图1产卵数散点图

（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于*的回归方程（计算过程中四舍五人保留两位

小数），并求温度为35c时，产卵数y的预报值.

参考数据：e5-61»273，e5-70«299，e579®327.

【答案】（1）应该选择模型①；答案见解析；（2）y=e°29i.36；327个.

解：（1）应该选择模型①.

理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状

宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型①比较

合适.

（2）由（1）知，选用模型①，y=a-b',用两边取对数，得lny=（lnb）x+lna,

令z=lny,z与温度x可以用线性回归方程来拟合，

则z=(lnb)x+lna,

48.48

ln/?=—~------------a0.29

ZU-^)2168

i=l

Ina=彳一无lnb=2.89-0.29x25BT.36,

于是有Iny=0.29x—4.36,

所以产卵数y关于温度X的回归方程为y=e°29x-4.36.

当x=35时，y=e°29x35T36=e5.797327(个),

所以，在气温在35c时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个.

20.【广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末】某市教育部门计划从该市的中学生中

选出6人作为该市代表去参加省里的中华古诗词大赛，该市经过初赛选拔最后决定从甲、乙

两所中学的学生中进行最后的筛选.甲中学推荐了3名男生，3名女生，乙中学推荐了3名

男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后所有学生的水平相当，该市决

定从参加集训的两校男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成该市的代表队.

(1)求甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率；

(2)在省赛某场比赛前，从该市代表队的6名学生中随机抽取3人参赛，设X表示参赛队

员中的女生人数，求X的分布列和数学期望.

1743

【答案】(1)—；(2)分布列见解析，

1752

(1)依题意知来自甲、乙两所中学参加集训的学生中共有男生6名，女生7名，

C3c31

则入选代表队的学生全部来自乙中学的概率为尤隽=市

1174

故甲中学至少有6名学生入选该市代表队的概率为p=1--=—.

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,

c；c；1

P(X=0)=

-CT=20

GC；=9

P(X=I)

晨20

C2C'9

P(X=2)=-m=Z_

c：20

r31

P(X=3)=方

20

X0123

1991

p

20202020

19913

E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—

202020202

21.【广东省梅州市2020-2021学年高二上学期期末】万为圆周率，e=2.71828…为自然

对数的底数.

]n丫

(1)求函数/(%)=—的单调区间；

X

(2)求/,3Se"，兀"3"，乃3这6个数中的最大数与最小数：

(3)将e',3S/，兀"3"，/这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

【答案】(1)单调递增区间为(0,e)；单调递减区间为(e,M)；(2)最大的数是3"，最小

的数是3,；(3)从小到大排序为：3"万"，e"万3,3",证明见解析.

(1)函数“X)的定义域为(0,+8),

因为/(8)=雪，所以/'(力=匕詈，

当/'(x)>0,即0<x<e时，函数“X)单调递增；

当了'(x)<0,即x>e时，函数/(%)单调递减,

故/(x)的单调递增区间为(0,e)；单调递减区间为(e,+s).

(2)因为e<3<4,所以eln3<eln；r,乃lne<;rln3,

即ln3'<lnk，lne"<ln3"，

于是根据函数y=lnx,y=e*,)，="在定义域上单调递增，

可得30〈/</，03<屋<3",

故这6个数中最大数在13与y之中，最小数在3•1与e?之中.

由0<3<万及(1)的结论，得了(乃)</(3)</(e),即叱<也〈止，

713e

,In7iIn3.RR

由---<一丁，Winre'<ln3»所以3>后,

713

,ln3Ine,.0

由--<---,得In3evIn",所以3。v/,

3e

综上，6个数中最大的数是3",最小的数是3".

(3)山(2)知，3‘<才3"<e3；又由(2)知，—,得万，</，

冗e

故只需比较/与炉和屋与万3的大小，

由(1)知，当0<九ve时，/(X)</(e)=-,即电二<，,

exe

222

在上式中，&x=J又J<e,则］nJ<g,

71717171

从而2—In乃<—,即得In〃>2----①，

7171

由①得，eln乃>e(2—上］>2.7x［2>2.7x(2-0.88)=3.024>3,

即eln〃>3,所以e3<»',

又由①得