《正余弦定理应用举例》教学设计

14/14第一章解三角形1.2正余弦定理应用举例（名师：王历权）一、教学目标1.核心素养通过学习正余弦定理应用举例,初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力.2.学习目标应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题.3.学习重点综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题.4.学习难点正余弦定理与三角函数知识的综合运用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务阅读教材P11－P16.思考:正余弦定理的内容是什么?利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他条件?2.预习自测1.在△ABC中,若∠A＝60°,∠B＝45°,BC＝3eq\r(2),则AC＝()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)答案:B.2.已知中,a、b、c分别为A,B,C的对边,,则等于（）A.B.或C.D.或答案:D.3.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为,∠,∠后,就可以计算出A、B两点的距离为()A.B.C.D.答案:A.（二）课堂设计1.知识回顾（1）正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容______________________（为△外接圆半径）______________________;______________________;______________________.变形形式①________,________,________;②____,______,_____;③___________________;④.______________________;______________________;______________________;解决的问题①已知两角和任一边,求另一角和其它两条边;②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其它两角.①已知三边,求各角;②已知两角和它们的夹角,求第三边和其它两个角.（2）在中,已知a、b和角A时,角的情况如下:CA为锐角CA为钝角或直角图形ACABACABbabaabaaBACbBACbaCbaCba关系式解的个数2.问题探究问题探究一正弦定理与余弦定理●活动一回顾正弦定理任意三角形中,都有＝＝.●活动二回顾正弦定理能解决的问题类型一般地,我们把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?（1）已知三角形的两个角（也就知道了第三个角）与一边,求解三角形;（2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求解三角形.●活动三余弦定理及其所能求解的问题类型利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题:（1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.问题探究二掌握以下几个常用概念坡度:坡度沿坡向上的方向与水平方向的夹角.仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角).方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角.问题探究三利用正余弦定理解决实际问题重点、难点知识★▲●活动一初步运用正余弦定理测量建筑物高度例1:AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:选择基线HG,使H、G、B三点共线,欲求AB,先求AE,在中,可测得角,只需求出AC就可得到AE,在中,可测得角,线段DC,又有,故可求得AC.●活动二设计求解有一个不可到达或两点都不可到达的点之间的距离例2:如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,.求A、B两点的距离.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:在三角形ABC中,,由正弦定理可知.例3:如图,A、B两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A、B两点间距离的方法.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:这是例2的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形,所以需要确定C、D两点.在所在的河岸边选定点C、D,测出四个角的大小和C、D间的距离,根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离.3.课堂总结【知识梳理】(1)正弦定理:在△ABC中,（R为△ABC的外接圆直径）.(2)余弦定理:对于任意的一个三角形,都有,,.公式还可以变形为:,,.（3）几个测量中常用概念坡度:坡度沿坡向上的方向与水平方向的夹角.仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角).方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角.【重难点突破】(1)运用正余弦定理时,要厘清定理能解决的问题类型,要理清题目条件,合理选择定理求解问题.(2)常见实际问题中的一组已知条件,常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案,在这种情境与条件限制下,别的方案中的量可能无法测量出来,因而不能实施别的测量方案.4.随堂检测1.在中,内角的对边分别为,若且,则（）A.B.C.D.【知识点:正弦定理、解的个数的判断;数学思想:数形结合】解:A2.在锐角中,角所对的边长分别为.若（）A. B.C.D.【知识点:正弦定理】解:D3.在△中,则（）

A. B. C. D.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.如图在中,已知点D在BC边上,ADAC,,,,则的长为________.【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】解:5.设△中角A,B,C所对的边分别为,,,若,则△的形状为（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理】解:B6.在中,若,且,则是()A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形【知识点:余弦定理】解:A（三）课后作业基础型自主突破1.如图,某人为了测量某建筑物两侧A.B间的距离(在A,B处相互看不到对方),选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量,你认为测量时应测量的数据是________.【知识点:实际问题,解三角形】解:a,b,γ.2.如图,一根长为2米的木棒斜靠在墙AC上,,若滑动至位置,且米,问木棒中点O所经过的路程为米.【知识点:正余弦定理】解:.3.在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于点,一分钟后,其位置在点,且,再过两分钟后,该物体位于点,且,则的值为_________.【知识点:正余弦定理】解:.4.在中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:正余弦定理,解三角形】解:三边长为4,5,6.5.甲船在岛A的正南B处,以每小时4千米的速度向正北航行,AB＝10千米,同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为.【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:eq\f(150,7)分钟.6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1km).【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:6.6.能力型师生共研7.在中,证明下列各式:（1）.(2).【知识点:正弦定理,解三角形】证明:(1)左边＝故原命题得证故原命题得证.8.已知圆的半径为,它的内接中,成立,求三角形面积的最大值.【知识点:正弦定理,三角形面积】解:.9.在中,,sinC.(1)求证:为等腰三角形;(2)设为外接圆的直径与的交点,且,求的值.【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略;（2）.10.中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.（1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:正余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:（1）.（2）设夹角的两边为,,,当时.探究型多维突破11.求的值.【知识点:正余弦定理,三角函数】解:.12.如图,已知的半径为1,点在直径的延长线上,,点是上半圆上的一个动点,以为边作正三角形,且点与圆心分别在两侧.（1）若,试将四边形的面积表示成的函数;（2）求四边形面积的最大值.【知识点:正余弦定理,函数】解:当时,四边形的面积最大.自助餐1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是()A.α>βB.α＝βC.α＋β＝90°D.α＋β＝180°【知识点:正弦定理、余弦定理】解:B.2.已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC＝120°,则A、C两地的距离为()A.10kmB.eq\r(3)kmC.10eq\r(5)kmD.10eq\r(7)km【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:DAC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝eq\r(102＋202＋2×10×20×\f(1,2))＝10eq\r(7)(km).3.某人在山外一点测得山顶的仰角为42°,沿水平面退后30米,又测得山顶的仰角为39°,则山高为(sin42°≈0.6691,sin39°≈0.6293,sin3°≈0.0523)()A.180米B.214米C.242米D.266米【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】解:C∵∠BCA＝42°,∠BDA＝39°,∴∠DBC＝3°.在△BDC中,DC＝30,eq\f(DC,sin3°)＝eq\f(BC,sin39°),∴BC＝eq\f(30·sin39°,sin3°).在Rt△ABC中,AB＝BC·sin42°＝eq\f(30·sin39°·sin42°,sin3°)＝242.4.在200m高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为()A.eq\f(400,3)mB.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)mD.eq\f(200,3)m【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:A在Rt△BAC中,∠ABC＝30°,AB＝200,∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3).∵∠EBD＝30°,∠EBC＝60°,∴∠DBC＝30°,∠BDC＝120°.在△BDC中,eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°).∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m).5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1>d2B.d1＝d2C.d1<d2D.不能确定大小【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.6.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为()A.1千米B.2sin10°千米C.2cos10°千米D.cos20°千米【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.7.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°处,A、B两船间的距离为3km,则B船到灯塔C的距离为________km.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:eq\r(6)－1.8.如图所示,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:50eq\r(7)连接OC,在△OCD中,OD＝100,CD＝150,∠CDO＝60°,由余弦定理,得OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:0.6在△BCD中,∠BDC＝45°,∠CBD＝30°,CD＝10eq\r(6),由正弦定理,得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3).在Rt△ABC中,AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米).所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(米/秒).10.甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处,此时两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍,则甲船以什么方向前进才能追赶上乙船?此时乙船行驶了多少海里【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a海里如图所示,AC为甲船的航行路线,BC为乙船的航行路线,设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船,在C点处追上,若乙船行驶的速度是v,则甲船行驶的速度是eq\r(3)v,由于甲、乙两船到达C点的时间相等,都为t,则BC＝vt,AC＝eq\r(3)vt.∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°,即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝eq\f(a,v),t2＝－eq\f(a,2v)(舍去).所以BC＝a,∠CAB＝30°,θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a海里.11.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船,设缉私船用th在D处追上走私船,则有CD＝10eq\r(3)t,BD＝10t,在△ABC中,∵AB＝eq\r(3)－1,AC＝2,∠BAC＝120°,∴由余弦定理,得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝eq\r(6).且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·