《等差数列》参考教案

8/92.2等差数列（第一课时）一、教学目标了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项二、教学重难点【教学重点】等差数列的概念，等差数列的通项公式【学习难点】等差数列的性质【授课类型】新授课三、教学过程（一）课题引入请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现其中的共同规律。①从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：,,,,…特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于。②较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）,,,.特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于。③定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.5,,,,,.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于。④银行单利问题，单利及不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说每一年的算利息时本金都是1000，知识利息逐年累加而已.,,,,.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于。它们共同的特点是？从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。我们把有这一特点的数列叫做等差数列。（二）新课探究1、数列的定义（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母来表示。①强调定义中的关健词有哪些.（2）等差数列定义的数学表达式：或试一试：它们是等差数列吗？①,,,,,…②,,,,…③每一项都是5的常数列④每一项都是的常数列（其中是常数）（3）等差中顶定义过渡：提问2，4，5是不是等差数列，如果不是，怎么样改才是等差数列？定义：由三个数，，组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列，那么叫做与的等差中项。且有：注：如果取等差数列中任意相邻的三项，，那么：，2、等差数列的通项公式（1）等差数列的通项公式(求法一——迭代法)如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示？呢？根据等差数列的定义可得：，，，…所以：，，，猜想：，……由此猜想:，因此等差数列的通项公式就是:，注：需要特别强调的是在求的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是，（2）等差数列的通项公式(求法二——迭加法)根据等差数列的定义可得：……个式子相加将以上个式子累加得等差数列的通项公式就是:，当时也满足上述式子，所以：等差数列的通项公式就是:，3、等差数列的判定（1）引入由课本38页的例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3的方法最常用.例3：已知数列的通项公式为，其中，为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算是不是一个与无关的常数.归纳等差数列的三种判定方法方法符号语言结论定义法是等差数列等差中项法，通项公式法（三）应用1、等差数列的通项公式的应用例1：(1)求等差数列,,…的第项分析：由已知条件可知首项和公差以及项数，直接代入等差数列通项公式即可求的.(2)等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401？分析：要判断是不是数列的项，首先假设是等差数列的项，那么就相当于已知首项和公差以及，直接代入等差数列通项公式即可求的.注：在应用等差数列的通项公式过程中,对,,,这四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程的思想，我们称作“知三求一”。例2：某市出租车的计价标准为元/，起步价为元，即最初的（不含）计费元.如果某人乘坐该市的出租出去往处的目的地且一路畅通，等候时间为，需要支付多少车费?分析：这道题需要个别注意的是“最初的（不含）”，也就是说在3.9处的计费为10元，在4.1处的计费为11.2元，在4.0处的计费也为11.2元。法一、那么在13.5处的计费应和13.5处的计费一样，为10+1.2+（13-4）*1.2=22元.在第14处的计费为10+1.2+（14-4）*1.2=23.2元.法二、如果我们从第处开始，每隔记一次费，那么所记的数组成的数列是一个首项，公差的一个等差数列，那么，当出租出行至处时，，此时所要支付的车费为元.注：在利用等差数列方法解决实际问题时，一定要分清楚首项、项数、公差、末项等关键问题.例3：已知数列为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式.（1）分析：由，根据通项公式可以列出两个有关首项和公差的二元一次方程组，最后带入通项公式即可.前三项为分析：法一，根据等差数列的定义有和，即列出关于的一元一次方程，解出就可知道首项和公差.法二，由等差中项同样可以列出关于的一元一次方程.课堂练习（1）等差数列的判定及通项的应用（课本39页的练习1、2、3)练习1有时间的话讲解一小题。练习2分析:由已知，如果每一排的座位数排成一个数列，那么所记的数组成的数列是一个首项，公差的一个等差数列，接下来代入通项公式就可求出和.练习3等差数列的首项为公差为，等差数列的首项为公差为，如果，且，求数列的通项公式.分析：题目已知数列的首项和第二项，同学们很容易想当然的认为，在这边，需要强调求等差数列的通项公式时的前提是数列必须是等差数列.所以，需要从已知的第一个条件判断是否是等差数列，这边我们需要用到定义法来判定.（四）小结1、等差数列的定义，定义的符号形式，等差数列的定义2、等差数列的通项公式:公差；3、知三求一：等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式求余下的一个量；4、等差数列的判定（五）作业

2.2等差数列（第二课时）一、教学目标：知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。二、教学重点、难点：重点：等差数列的性质及推导。难点：等差数列的性质及应用。三、新课讲解：等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：①；②；③若（），则；④。证明：①左边=，右边=左边②由可得；由可得③左边右边又因为，所以左边=右边，故得证。④左边右边=左边等差数列的其它性质：①为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。②下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。③若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。④个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。四、例题讲解：例1、已知是等差数列，，求数列的公差及通项公式。答案：d=2，=2n+1【变式】已知是等差数列，（1）已知：,求（2）已知：,求。答案：（1）=24（2）=185例2、已知是等差数列，若,求。答案：=180【变式1】在等差数列中，已知则等于（）A.40B.42C.43答案：B【变式2】等差数列中，已知为（）