《等差数列的前n项和（第1课时）》

必修52.3等差数列的前n项和第1课时（帅亚军）一、教学目标1．核心素养等差数列的前项和，初步形成基本的数学抽象和直观想象能力．2．学习目标（1）掌握等差数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程.（2）能用等差数列求和公式进行有关的计算，会运用公式解决有关的实际问题.3．学习重点等差数列的通项公式与前项和．4．学习难点等差数列前项和公式的理解、推导及应用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务:阅读教材P42－P45.思考：等差数列前n项和所使用的方法是什么？同时完成相应的课后练习题.（二）课堂设计1．知识回顾（1）等差数列的概念．（2）等差数列的通项公式．（3）等差数列的性质．2．问题探究问题探究一了解等差数列前n项和的概念与推导方法●活动一如图1堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层，这堆钢管共有多少根？图1图2方法：在这堆钢管旁，再堆放同样数量的钢管，如图2这时每层都有钢管（4＋11）根，因此这堆钢管的总数是（4＋11）×8÷2=eq\f(4＋11,2)×8=60（根）.问题：第n层，有多少根呢？这就变成了等差数列求前n项和了.提示：等差数列的性质：●活动二公式推导：推导思路：（倒序相加法）重点、难点知识★▲①再把项的顺序反过来，Sn又可写成②把①②两边分别相加，得2，由此得到，求等差数列前n项和公式.若将代入得等差数列前n项和的又一公式.公式：=.问题探究二倒序相加法的应用重点、难点知识★▲在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和．【知识点：等差数列的概念与性质】详解在小于100的正整数集合中，以下各数是7的倍数7，7×2，7×3，…，7×14．即7，14，28，…，98．显然，这是一个等差数列．其中，项数为不大于eq\f(100,7)的最大整数值，即n=14，．因此即在小于100的正整数的集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735点拨：等差数列的概念与性质的应用，等差数列前n项和公式的使用，特别要注意计算.在等差数列-5，-1，3，7，…中．前多少项的和是345？【知识点：等差数列的概念与性质】解:这里．根据等差数列的前n项和公式得345=，整理得2n2－7n－345=0，解得n1=15，n2=-eq\f(23,2)(不合题意，舍去)．所以n=15．即这个数列的前15项的和是345例3：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.【知识点：等差数列的概念与性质】分析：等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.详解：由题意知，等差数列的公差为，所以=于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.点拨：取最值时需特别注意取整问题，因为项数不能为负数与分数.3．课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳)【知识梳理】（1）等差数列的前n项和公式的推导公式——倒序相加求法；（2）等差数列的前n项和公式：=.中“知三求二”.（3）掌握求等差数列的前n项和最值问题的方法.思维导图等差数列的定义等差数列的定义倒序相加等差数列等差数列的前项和公式等差中项等差数列的性质4．随堂检测一、解答题1．根据下列各题中的条件,求相应等差数列的前n项和:（1）=6,d=3,n=10；（2）=2,=6,n=8；（3）=10,=－2,n=12；答案:（1）195；（2）72；（3）60.解析:【知识点:等差数列的概念与性质】2．计算1＋3＋5＋…＋（2n＋3）. 答案:3．求等差数列63,60,…,－12的各项的和.答案:663解析:【知识点:等差数列的概念与性质】4．在2位正整数中,有多少个除以3余1的数？求它们的和.答案:9455．等差数列4,3,2,1,…前多少项的和是－18？答案:12解析:【知识点:等差数列的概念与性质】6．求集合{m|m=7n,n∈N＋,且m＜100}的元素个数,并求这些元素的和.答案:735.解析:【知识点:等差数列的概念与性质】7．等差数列14,11,8,…前多少项的和最大？为什么？答案:,∵,∴前5项的和最大.解析:【知识点:等差数列的概念与性质,不等式】8．数列中,已知,求的通项公式.答案:.解析:【知识点:等差数列的概念与性质,前n项和与通项公式之间的关系】（三）课后作业基础型自主突破1.（1）求等差数列8，5，2…的第20项.（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项？如果是，是第几项？【知识点：等差数列的概念与性质】解：⑴由，得.⑵.2.在等差数列中，已知，，求，，.【知识点：等差数列的概念与性质】解：∵，，则∴，.3.在等差数列中，若+=9，=7，求.【知识点：等差数列的概念与性质】解：,.4.等差数列中，++=－12，且··=80.求通项.【知识点：等差数列的概念与性质，通项公式】解：或.5.已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？解：当时,（取数列中的任意相邻两项与（））为常数∴{}是等差数列，首项，公差为.能力型师生共研6.在等差数列中若，，求.解：1307.在等差数列中，为公差，若且.求证：(1)；(2)．8.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．解：设四个数为,则：得,,∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．探究型多维突破9.将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第项和第项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论．解：通过计算发现的值恒等于公差.10.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（C）A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意,均有,则数列是递增数列11.已知数列是等差数列，是其前项和，求证：（1），-，-成等差数列.（2）求证（）成等比数列.证明：设首项是，公差为,则,∵是以36d为公差的等差数列同理可得是以d为公差的等差数列.12.数列满足,()，求=____________.解：由,两边平方得：，又,作差可得：由得.又由递推式易得知数列是单调递增数列,则,所以，数列是以为首项，为公差的等差数列.,故,故.自助餐1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：（1）=4×4－1=15,=4×10－1=39.（2）=－2×20+12=－28.（3）100是这个数列的第15项.2.在等差数列中，（1）已知=10,=19,求与;（2）已知,,求.解：（1）.（2）,∴.3.在等差数列中，若,求.解：.4.在等差数列中，若求．解：.5.等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：96.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和解：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.7．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（D）A．B．C．D．8.设为等差数列的前项和。已知,则等于（B）A．B．C．D．9.已知函数,等差数列的公差为.若,则-6．10.

已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于（C）A.1 B. C. D.11.等差数列中，，，求使的最