《正切函数的图象与性质》教学设计

1/11.4.3正切函数的性质与图象一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，了解研究正切函数图象的方法，掌握正切函数的图象特征与性质，并运用性质解决一定的实际问题．（二）学习目标学生已经有了研究正弦函数余弦函数的图象与性质的经验，正切函数在研究方法与研究内容上与前者类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题．本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1．知识目标：1）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．2）熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质．3）掌握利用数形结合思想分析问题解决问题的技能．2．能力目标：1）通过类比，联系正弦函数图象的作法．2）能学以致用，结合图象分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质．（三）学习重点正切函数的图象及其主要性质（包括周期性单调性奇偶性值域）；深化研究函数性质的思想方法．（四）学习难点正切函数图象与性质的应用二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第48页至第51页，填空．正切函数的周期是__，是增函数，在开区间内都是增函数，它的值域是__R__．2．预习自测（1）画出下列各角的正切线：【知识点】正切线【数学思想】数形结合【思路点拨】注意第二、三象限正切线的变化，投影到第四、一象限做正切线.【解题过程】【答案】略（2）复习相关诱导公式tan(x+π)=；tan(-x)=．【知识点】任意角三角函数诱导公式【数学思想】转化思想【思路点拨】“奇变偶不变，符号看象限”【解题过程】tan(x+π)中，根据，系数为偶数2，三角函数名不变．假定x为锐角，为第三象限角，其正切为正，∴．同理，．【答案】tan(x+π)=；tan(-x)=．（二）课堂设计1．知识回顾（1）任意角α的终边与单位圆交于点()，则α的正切=．（2）下图1中，有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．图1．三角函数线（3）正弦函数的图象如图2，其最小正周期为，是奇函数，在每一个闭区间上都是增函数，其值从-1到1；在每一个闭区间都是减函数，其值从1到-1；余弦函数的图象如图3，它是偶函数，在每一个闭区间上都是增函数．图2．正弦函数图象图3．余弦函数图象2．问题探究探究一：正切函数有哪些性质？（1）定义域：回顾正切的定义，其中角是任意角吗？由正切函数定义，若角x的终边过点，则知，当，即时，无意义，故正切函数的定义域为．（2）周期性结合周期函数的定义，由诱导公式，能得出什么样的结论？根据，可得出正切函数的一个周期为，且由单位圆中正切线的变化情况可知，为该函数的最小正周期．（3）奇偶性结合奇偶函数的定义，由诱导公式，能得出什么样的结论？正切函数为奇函数，函数图象关于原点对称．（4）单调性由正切线的变化规律，正切函数具有怎样的单调性？正切函数在内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间()内都是增函数．（5）值域由正切线的变化规律，分析正切函数的值域是多少．由图1(Ⅰ)可知，当x大于且无限接近于时，正切线AT向y轴的负方向无限延伸；由图1(Ⅱ)可知，当x小于且无限接近于时，正切线AT向y轴的正方向无限延伸．故，在内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是．探究二：由正切函数的性质和单位圆中正切线如何得出正切函数图象？（1）类比已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质，应该按照怎样的步骤研究正切函数？正切函数的是最小正周期为的周期函数，所以只需画出它在一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象，可先选择区间；而正切函数又是奇函数，所以只需要画出在上的图象即可．研究正切函数图象的步骤如下：【设计意图】理清思路，学习分析问题的方法．（2）类别正弦函数、余弦函数，应该怎样画正切函数的图象？根据正切函数的定义域、周期性和奇偶性，选择先在区间上作出它的图象：①作平面直角坐标系，并在直角坐标系中轴左侧作单位圆；②把单位圆第一象限分成4等份，分别在单位圆中作出正切线；③描点（横坐标是半周期4等分点对应的值，纵坐标是相应的正切线的终点对应的值）；④连线．再根据奇函数图象关于原点对称，画出范围内的图象．（如图4）图4．由正弦线画正切函数在范围内图象图5．正切函数图象最后由正切函数的周期性，只要把图4中的图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数（）的图象，称之为正切曲线（如图5所示）．【设计意图】实际操作，锻炼动手能力．（3）观察正切曲线，分析正切函数的性质①定义域：函数在处无定义，符合先前分析的定义域为．②单调性：对于每一个，在开区间内，正切函数图象从左往右升高，正切函数单调递增．③值域：靠近时，函数图象向下无限逼近直线，靠近时，函数图象向上无限逼近直线，能够取到R上任意实数，值域为R．④渐近线：正切曲线不限逼近的直线称之为正切曲线各支的渐近线．正切曲线是由被渐近线隔开的无穷多支曲线组成的，且在渐近线处无取值，即函数无定义．⑤对称性：正切曲线关于每一段图象与x轴的交点对称，且关于渐近线与x轴交点对称，但正切曲线不关于任何直线对称．即，正切曲线不是轴对称图形，而是中心对称图形，其对称中心为．【设计意图】前后呼应，扩展延伸，加深对正切函数性质的理解．探究三：应用例1．求函数的定义域、周期和单调区间．【知识点】正切函数的定义域、周期和单调性．【数学思想】换元思想，整体思想．【思路点拨】把看作整体，利用正切函数的定义域、周期和单调性知识求解．【解题过程】令，得，所以函数的定义域．周期．令，得，所以函数的单调增区间为．【答案】定义域：；周期T=2；单调递增区间．例2．求函数的定义域．（1）；（2）．【知识点】函数的定义域，解不等式，正切函数的性质．【数学思想】换元思想、整体思想．【思路点拨】先求不等式在内的解集，再根据正切函数的周期性求解出所有范围．【解题过程】（1）由题意，，在内，，∴，又因为y=tanx是周期为π的周期函数，所以函数的定义域为．（2）因为tanx≥1所以，因为y=tanx在上单调递增，所以在上，tanx≥1的解集为．又因为y=tanx是周期为π的周期函数，所以tanx≥1的解集为，k∈Z，此即为函数的的定义域．【答案】（1）；（2）．例3．比较与的大小【知识点】正切函数的周期性，单调性【数学思想】函数思想【思路点拨】先将利用周期性转化为，再根据y=tanx在上单调性，比较的大小【解题过程】因为，又，且y=tanx在上单调递增，所以，即．【答案】3．课堂总结（1）正切函数的图象；（2）正切函数的性质．【设计意图】由学生自己小结，提高课堂的有效教学，让学生养成好的学习习惯，问自己今天学到什么内容．（三）课后作业基础型自主突破1．函数y=tan3πx的最小正周期是()A．13B．23C．6π【知识点】正切函数的最小正周期．【数学思想】换元、代换思想．【思路点拨】由周期求解．【解题过程】．【答案】A2．函数y=tan(π4-x)的定义域是(A．{x|x∈R且x≠-π4}B．{x|x∈R且x≠3π4C．{x|x∈R且x≠kπ-π4，k∈Z}D．{x|x∈R且x≠kπ-3π4，k∈【知识点】正切函数的定义域．【数学思想】换元、代换思想．【思路点拨】根据正切函数的定义域换元求解．【解题过程】由，解得（），即（）．【答案】C3．下列不等式中正确的是()A．tan47π>tan37πB．tan25π<C．tan(-137π)>tan(-158π)D．tan(-134π)<tan(【知识点】正切函数的单调性应用．【数学思想】函数思想、数形结合．【思路点拨】利用函数单调性、正切函数图象比较大小．【解题过程】因为，，所以，A错．同理，B错．，又，且，由正切函数在单调递增，可得，即．同理，D错．【答案】C4．在下列函数中，同时满足：①在(0，π2)上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(A．y=tanxB．y=cosxC．y=tanxx2D．【知识点】正切函数、余弦函数图象与性质、函数图象的伸缩变换【数学思想】【思路点拨】联系正切函数，余弦函数图象与性质求解．【解题过程】A不满足②，B不满足①，C满足所有条件，D不满足①②．【答案】C能力型师生共研5．不等式的解集是___________________．【知识点】正切函数图象与性质【数学思想】先求不等式在内的解集，再根据正切函数的周期性求解出所有范围．【思路点拨】联系正切函数图象与性质，先求出内范围，再根据周期性求出全部解集．【解题过程】由题意，，又内，正切函数单调递增，所以，结合周期性，所求解集为．【答案】．6．求函数的单调区间．【知识点】正切函数的单调性．【数学思想】整体思想，换元思想．【思路点拨】由复合函数单调性性质，函数为递减函数，再根据正切函数的单调区间求出单调区间．【解题过程】令（），解得．【答案】单调递减区间为．探究型多维突破7．画出y=|tanx|的图象，并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间．【知识点】正切函数的图象，与图象关系．【数学思想】数形结合．【思路点拨】图象x轴下方的部分，翻折到x轴上方，得到图象．【解题过程】先画出的图象，再将x轴下方的图象，翻折到x轴上方．【答案】定义域：{x|x≠π2+kπ，k∈Z}；值域：[0，+∞)；最小正周期：π；单调增区间：[kπ，π2+kπ)，k∈Z，单调减区间：(-π2+kπ，kπ]，k8．用函数单调性的定义探究：正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？【知识点】正切函数的单调性．【思路点拨】联系单调函数的定义，探讨在整个定义域内，正切函数是否符合定义域内任意两个实数，若，都有．【解题过程】（1）不是，因为在单调区间之间并不单调，所以单调区间是一个个独立的区间，而不存在并集的问题．如果正切函数在整个定义域内是增函数，按照定义，对于定义域内任意两个实数，若，都有．举反例，，但．故正切函数不是在整个定义域内的增函数．但正切函数，在每个区间范围内，满足单调递增函数的定义，是增函数．这也解释了，我们在描述在不同区间内分别单调的函数的单调区间时，不能用并集符号连接各区间，只能用“和”或者逗号．【答案】不能．自助餐1．关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下说法：(1)对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数；(3)存在φ，使f(x)是奇函数；(4)对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中不正确的说法的序号是.因为当φ=时，该说法的结论不成立．【知识点】正切函数的奇偶性.【思路点拨】为奇函数，所以当f(x)=tan(x+φ)能化为时，为奇函数.【解题过程】对于(1),显然当φ=kπ或kπ+,k∈Z时,f(x)是奇函数,故(1)错,(3)正确;既是奇函数又是偶函数的函数为f(x)=0,显然对于任意的φ,f(x)都不可能恒为0,从而(2)正确;(4)显然正确.【答案】（1）kπ或kπ+,k∈Z.2．比较与的大小.【知识点】正切函数的单调性应用．【数学思想】函数思想、数形结合．【思路点拨】利用函数单调性、