《平面向量的实际背景及其基本概念》教学设计

8/132.1平面向量的实际背景及基本概念（名师：余枝）一、教学目标（一）核心素养向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用.通过本节课的学习，理解向量的基本概念，掌握向量的几何表示，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.（二）学习目标1.了解向量的实际背景以及向量的概念；2.掌握向量的几何表示以及零向量、单位向量、平行向量的概念；3.理解相等向量与共线（平行）向量的概念.（三）学习重点理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.（四）学习难点平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务：（1）读一读：阅读教材第74页至第76页．（2）想一想：给出下列命题：①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定在同一条直线上；③不平行的向量一定不相等；④与任意向量平行的向量是零向量；⑤平行于同一个非零向量的向量是平行向量；其中，所有正确命题的序号是③④⑤.2.预习自测：（1）在正方形中，与BD相交于点O，则与相等的向量是（）A．B．C．D．答案：D．（2）命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”（）A．恒成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立答案：C．（3）给出下列4个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b方向相反；④|a|=0或|b|=0，其中能使a∥b成立的条件是_____________答案：①③④．(二)课堂设计1．问题探究探究一结合实例，引入向量，理解向量在生活中的应用性●活动结合实例，理解向量的概念在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量.物理学中常称为标量）注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.【设计意图】通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质能力.探究二向量的几何表示以及基本概念●活动①让学生练习力的表示，进一步过渡到如何表示向量有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量的表示方法：用有向线段表示；②用字母a、b、c（印刷用黑体a，书写用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小(长度)称为向量的模，记作；⑤向量和有向线段的区别：1.向量是自由向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.2.有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.【设计意图】让学生先练习力的表示，让错误呈现，激发认知冲突.●活动②探究零向量、单位向量、平行向量的定义零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0；单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，通常记作a∥b；规定：零向量与任一向量平行.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.【设计意图】让学生掌握向量的基本概念.探究三如何理解相等向量与共线向量●活动①通过具体问题探究归纳相等向量的概念设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与、、相等的向量.总结：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记：a=b【设计意图】学生分组讨论，找到思维上的不足，层层递进总结相等向量的概念.●活动②领悟共线向量的含义思考:回顾平行向量的概念，两向量平行，那么这两向量所在的直线一定平行吗？平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.【设计意图】对数学概念的理解一定要深入，全面，把握数学概念的形成过程.●活动③快速抢答以下说法正确的是__________（1）平行向量一定方向相同；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定在同一直线上；（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量；（5）相等向量一定是共线向量.答案：（4）（5）【设计意图】通过抢答环节，让学生迅速掌握向量的基本概念.●活动④巩固基础，检查反馈例1.下列说法中正确的个数是（）（1）身高是一个向量；（2）的两条边都是向量；（3）温度含零上和零下温度，所以温度是向量；（4）物理学中的加速度是向量.A．0B．1C．2D．3【知识点】考察了向量的概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】身高只有长度，没有方向，不是向量，角的边是没有大小和方向的，温度只有数值，没有方向【思路点拨】抓住向量的两个要素：大小和方向【答案】B同类训练下列说法正确的是（）A．数轴是向量B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．单位向量的模都相等D．零向量没有方向答案：C解析：【知识点】向量、零向量、单位向量的概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】模长为1个单位的向量叫做单位向量点拨：理解向量的相关概念例2.给出下列命题：=1\*GB3①向量和向量的长度相等；②方向不相同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④向量；⑤向量大于向量.其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【知识点】向量有关概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】平行向量的方向相同或者相反；向量用有向线段表示，但两者不是同一概念；向量不能比较大小.【思路点拨】注意向量和数量的区别【答案】B同类训练.下列命题：①向量可以比较大小；②向量的模可以比较大小；③若，则一定有||=||，且与方向相同；④对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的.其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：【知识点】向量及其基本概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】向量不能比较大小点拨：数量可以比较大小，向量不能比较大小；理解向量的含义●活动⑤强化提升、灵活应用例3.给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||=||，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有=；⑤若，，则；⑥若，,则.其中不正确的命题个数是（）A．2B．3C．4D．5答案：C解析：【知识点】向量的有关概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】由相等向量的概念可判断①不正确；②模相等但方向不同的向量也不是相等向量，故错误；③，A、B、C、D四点可能在同一直线上，故错误；⑥如果是零向量则错误点拨：切勿混淆向量的有关概念同类训练下列说法中错误的是（）A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的答案：A解析：【知识点】零向量的概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】长度为0的向量叫做零向量点拨：理解零向量的概念2.课堂总结知识梳理我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）；零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0；单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，通常记作a∥b；规定：零向量与任一向量平行.重难点归纳通过生活中的实例，了解数量和向量的区别．掌握向量的表示方法以及和有向线段的区别.理解零向量、单位向量、共线向量（平行向量）的概念.相等向量一定是共线向量，共线向量不一定是相等向量.（三）课后作业基础型自主突破1．正n边形有n条边，他们对应的向量依次为，则这n个向量（）A．都相等B．都共线C．都不共线D．模都相等答案：D解析：【知识点】共线向量、相等向量的概念【数学思想】数形结合思想【解题过程】这n个向量大小相同，方向不同点拨：理清向量的基本概念2．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一段圆弧C．圆上一群孤立点D．一个单位圆答案：D解析：【知识点】单位向量的概念【数学思想】数形结合思想【解题过程】长度为一个单位的向量叫做单位向量点拨：根据单位向量的定义判断3．如图，在四边形ABCD中，,则必有（）A．B．C．D．答案：D解析：【知识点】相等向量的概念【数学思想】数形结合思想【解题过程】长度相等，方向相同的向量叫做相等向量点拨：向量具有大小和方向4．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A．与共线B．与共线C．与相等D．与相等答案：B解析：【知识点】共线向量和相等向量的概念【数学思想】数形结合思想【解题过程】共线向量的方向相同或相反；相等向量的方向和模长相等点拨：对概念的理解要全面5．下列命题正确的是（）A．向量与是两平行向量B．若a、b都是单位向量,则a=bC．若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同答案：A解析：【知识点】向量的有关概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】与大小相同，方向相反点拨：不能混淆向量的有关概念能力型师生共研6.已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与向量是共线向量，则m=_________答案：0.解析：【知识点】向量的有关概念【数学思想】隐含条件思想【解题过程】零向量与任何向量平行点拨：抓住题目中A、B、C是不共线的三点这一条件7.下列命题正确的是（）A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【知识点】向量的有关概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确.点拨：对向量的有关概念要重点理解答案：C.探究型多维突破8.设数轴上有四个点A、B、C、D，其中A、C对应的实数分别是1和，且,为单位向量，则点B对应的实数为________；点D对应的实数为__________；.答案：；或；4.解析：【知识点】向量的有关概念【数学思想】数形结合思想【解题过程】在数轴上按照相等向量和单位向量的概念确定B、D两点点拨：画数轴，使得解题更加直观自助餐1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力答案：A解析：【知识点】向量的概念【数学思想】建模思想【解题过程】质量只有大小，没有方向，不是向量点拨：注意数学在生活中的运用2．在下列说法中，正确的是（）A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一非零向量平行C．向量就是有向线段D．若，则答案：B解析：【知识点】向量的有关概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】共线向量的方向相同或者相反，A不正确向量用有向线段表示，两者不能混为一谈，C不正确相等向量的方向相同，D不正确点拨：零向量与任何向量平行3．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）两个非零向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行A．2个B．3个C．4个D．5个答案：A解析：【知识点】向量的基本概念【数学思想】归纳推理思想【解题过程】终点相同并不能说明向量共线，共线的充要条件是方向相同或相反，由于向量可以平移，平行向量和共线向量是同一概念，故（3）（5）不正确点拨：认真理解向量的基本概念4．中，D、、分别为、、的中点，在以、B、C、D、E、F为端点的有向线段所表示的向量中，与共线的向量有（）A．2个B．3个C．6个D．7个答案：D解析：【知识点】共线向量的概念【数学思想】数形结合思想【解题过程】与共线的向量有点拨：共线向量的概念5．已知||=1,||=2,若∠BAC=60°,则||=_______.答案：解析：【知识点】向量模长的概念以及余弦定理【