《三角函数的图象与性质（第1课时）》教学设计

1/11.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的图像与性质(一)（赵中玲）一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性和单调性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题.（二）学习目标1.通过研究（）“周而复始”的特征，得出周期性的准确定义.2.理解周期性的定义，并能够运用该定义求周期函数的周期.3.能结合图象得出（）的单调性和单调区间，以及会运用单调性求最值和比较大小.4.在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯.（三）学习重点正弦函数、余弦函数的周期性，周期性的定义及其运用.（四）学习难点正弦函数、余弦函数的周期性.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材34——36页，填空：正弦函数的周期为，最小正周期为2л.余弦函数的周期为，最小正周期为.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫周期函数，周期为非零常数T2.预习自测（1）（）的最小正周期为【答案】（2）的最小正周期为【答案】（3）的最小正周期为【答案】(二)课堂设计1.知识回顾回顾（）的图象.2.问题探究探究一正弦函数、余弦函数的周期性，周期性定义★●活动①根据的图象得出周期性的概念由正弦函数的图象我们发现：它具有“周而复始”的变化规律.其实在由正切线向正弦函数转变的探究过程中也有感受到，而从式子上面也有准确的体现——正弦的诱导公式：，即当自变量x增加的整数倍时，函数值重复出现.数学上我们称这种规律为周期性，下面得出周期性的准确定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则称函数为周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做的最小正周期.【设计意图】通过数形结合得出周期性的准确定义，从而使三角函数的这种特征由感官的转变为数式的准确描述.●活动=2\*GB3②利用周期性的定义判断是否为周期函数，并确定其周期和最小正周期.引导学生先根据的图象直观的得出其周期性和周期以及最小正周期，再引导学生类比发现，由取不同的整数得的周期可以为、、……及、、……，其中最小的一个正数为，因此最小正周期为.如果有时间教师可以对最小正周期为进行严格证明，证明如下：假设的最小正周期为，则根据周期性定义有对每一个自变量x都有，所以当时，，则，而当时，，矛盾.【设计意图】通过对的周期性的研究，再一次体会周期性定义式子的直接运用.探究二周期性定义的理解与运用●活动①理解周期性的概念.（1）对周期性定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求，如果只是对某些x有，那么T就不是的周期，例如：当取，都有，而，所以不是对每一个自变量x都有，因此不是周期.（2）周期函数的周期不唯一，例如的周期为，从定义出发也可以发现，如果的周期为T，那么也是的周期，即.（3）周期函数并不都存在最小正周期，例如常数函数，任意一个非零常数都是常数函数的周期，但是不存在最小正周期.【设计意图】对周期性定义再次加深理解，并帮助学生从数式上更好的理解周期性.●活动=2\*GB3②周期性定义的运用求的周期.教师示范：根据定义需要需找一个T使得对任意的x都有，即，由诱导公式可知,因此的最小正周期为.求的周期.请学生先尝试，教师再做讲解.教师解答：根据定义需要找一个T，使得对任意的x都有，即，即，由诱导公式得，因此得最小正周期为.注意：此处应该强调周期性定义式中的T是加在自变量上.求的周期.请学生自己解答教师展示过程：由诱导公式，则，所以周期为，最小正周期为.【设计意图】使学生能够体会周期性的定义应该如何准确应用.●活动③反思例题，得出规律.问1：请问能从刚才活动2的解答过程中归纳一下这种函数与解析式中哪些量有关吗？解答：仅与有关，.（推导过程先请同学们借鉴教材36页探究与发现进行操作）教师展示：，所以周期，最小正周期为.问2：对于活动2的几个题目是否可以通过另外的思路来解决？解答：可以通过先通过五点作图法或图象变换等将其图形作出来再进行判断.【设计意图】通过再次对周期性定义的审查可以更好的巩固周期性的定义，以及突出周期性与函数图象之间的密切联系.●活动④发散思维，重新认识.已知函数对任意的x都满足，证明函数为周期函数.证明：，又，所以，所以周期为.已知函数对任意的x都满足，证明函数为周期函数.证明：因为，所以周期为.注：此处可以用文字语言来描述周期性，即当自变量x相差a个单位的时候，函数值互为相反数（或者其它关系），如果是这样子的式子就可以和周期性扯上一定关系；其实反应的是半周期的性质，在解题或者画图的时候会派上用场.【设计意图】通过对抽象函数的研究再次巩固周期性的定义.探究三探究正弦函数、余弦函数的单调性和最值.●活动①利用周期性探究的单调性、单调区间.因为具有周期性，图象以周期的形式反复出现，因此在研究的单调性的时候可以先研究一个周期，再利用周期性进行拓展即可.请同学们观察图象，取出一个方便研究的周期研究单调性.此处需要分析在研究的单调性一般不选取，因为该周期内单增区间被分成了两段，不方便书写和拓展.因此我们通常选择这个周期.由图象可得单调递增区间为，单调递减区间为再根据周期性可知其它周期的单调区间就将，左右平移个单位，因此的单调递增区间为，单调递减区间为根据图象和单调性我们可以发现函数值的变化情况；在都为单增，函数值当时取值为，当上的取值为1，即函数值在单增区间从增大到1.在都为单减，函数值当时取值为，当时的取值为-1，即函数值在单减区间从1减小到-1.【设计意图】通过数形结合，得出的单调性和单调区间.●活动②探究的单调区间请学生类比的单调区间的研究方法写出的单调区间.根据的图象可以选取的一个周期为，单增区间为，单减区间为，因此的单增区间为，单调递减区间为根据图象和单调性我们可以发现函数值的变化情况；在都为单增，函数值当时取值为，当时的取值为1，即函数值在单增区间从增大到1.在都为单减，函数值当时取值为，当时的取值为-1，即函数值在单减区间从1减小到-1.【设计意图】通过数形结合，得出的单调性和单调区间.活动③利用单调性解题.例1求下列函数的最值，并写出最大值、最小值时x的集合.(1)（2）【知识点】三角函数的单调性和最值.【数学思想】数形结合.【解题过程】（1）使取得最大值即函数取得最大值，根据图象可知当x的取值集合为时，取得最大值为1，所以取得最大值为2；使取得最小值即函数取得最小值，根据图象可知当x的取值集合为时，取得最小值为，所以取得最小值为0.（2）使取得最大值即取最小值；（求最值的方法可以采取五点画图法或者图象变换画出图象再来求最值和最值点，但不是长久之计，因此我们需要研究一下此类函数求最值和最值点的更方便的方法.）为复合函数，所以我们采取复合函数求最值的方法求最值.令，则，当时，取最小值，取最大值3，而此时，即x的取值集合为.同理令，则，当时，取最大值1，取最小值，而此时，即x的取值集合为.【思路点拨】关于求的最值点方法总结：采取复合函数求最值点的方式求解，如求最大值则令，然后反解出x，【答案】（1）x取时取得最大值为2；x取时，取得最小值为0.（2）最大值时x的取值集合；最小值时x的取值集合.同类训练求的最值和取最值的自变量x的取值集合.【知识点】复合函数求最值、三角函数的最值.【解题过程】要使取最大值，则令，即x的取值集合为.要使取最小值，则令，即x的取值集合为.【思路点拨】采用复合函数求最值，再用整体法带入换算出取最值时的x取值集合【答案】x取值为时y取最大值；x取值为y取最小值.例2利用三角函数的单调性，比较下列各数的大小.（1）和；（2）和【知识点】三角函数的单调性.【数学思想】数形结合.【解题过程】（1）由，结合图象和单调性可知，在上单增，所以.（2）由于和太大，不太好操作，可以先利用诱导公式将和转移到更小的区间上来，，，由，在上单调递减，所以.【思路点拨】利用函数单调性比较大小.【答案】(1);(2).同类训练比较的大小.【知识点】三角函数的单调性、诱导公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】，，在单调递减，所以【思路点拨】利用函数单调性比较大小.【答案】.【设计意图】通过对例题的研究，巩固正弦函数、余弦函数的单调性、单调区间和最值.3.课堂总结知识梳理(1)通过对正弦函数、余弦函数的周期性研究得出了准确的周期性概念，因此判断一个函数是否为周期函数或者计算周期函数的周期，都可以利用函数图象或者准确的周期性概念进行解题；(2)利用图象和周期性我们得出了正弦函数、余弦函数的单调性以及最值.重难点归纳（1）正余弦函数的周期性、单调性为重点，其中对周期性概念的理解和运用、函数的单调区间和最值求法都为难点.（2）对于其中所涉及的数形结合思想、整体法的运用都属于重难点.（三）课后作业基础型自主突破1.求函数的周期.【知识点】周期性.【数学思想】【解题过程】由周期性定义，，所以，所以.也可由前面推出的结果直接写答案：【思路点拨】根据周期性的定义解答，或者根据总结的规律直接得出答案【答案】2.解不等式.【知识点】余弦函数的图象和周期性.【数学思想】数形结合【解题过程】由题，在上满足的区间为，再根据周期性得【思路点拨】直接画图会比较复杂，所以应先将式子变形为最简洁的三角不等式，画出余弦函数图象，找到那些点，根据图象选择一个周期最为合适，该周期上满足的区间为，再根据周期性得【答案】.3.求函数的最大值以及取得最大值时x的取值集合.【知识点】同角三角函数的基本关系，复合函数求最值，的值域.【数学思想】数形结合【解题过程】由，，当，时取最大值.【思路点拨】先将三角函数名称和角度统一，然后发现时复合型函数，利用复合函数求最值的方法求解即可.【答案】最大值,4.比较下列各组中两个三角函数值的大小（1）；（2）【知识点】正余弦函数单调性和图象.【数学思想】数形结合【解题过程】（1）因为，又当时，单调递减，所以；（2）由余弦函数的诱导公式可得，，，又当时，单调递减，所以【思路点拨】先将比较的角度放在一个单调区间上，如果不在则通过诱导公式或者图象将其进行转移到一个单调区间上，再根据单调性进行比较.【答案】(1);(2).5.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值是什么.（1）；（2）.【知识点】正余弦函数的最值.【数学思想】整体代换【解题过程】（1）若取最大值，则取最小值，此时，则取最大值时，x的取值集合为；若取最小值，则取最大值1，此时，则取最小值时，x的取值集合为.（2）当，即x的取值集合为时，取最大值为3；当，即x的取值集合为时，取最小值为-3；【思路点拨】利用正余弦函数最值点的取值结合整体思想求解.【答案】(1)x的取值集合为时y取最小值；x的取值集合为时y取最大值.（2）x的取值集合为时y取最大值为3;x的取值集合为时y取最小值为-3.6.求函数的单调区间.【知识点】复合函数单调区间.【数学思想】数形结合【解题过程】内函数为，外函数为，外函数为单调递减，若复合以后为单增，则需要单调递减区间，即，所以的单增区间为，同理单减区间为.【思路点拨】利用复合函数求单调区间的方式转换为求的单调区间.【答案】单增区间为，单减区间为.能力型师生共研7.当时，函数取得最小值，则函数的一个单调递增区间是（）A.B.C.D.【知识点】正弦函数的最值，正弦函数的单调区间.【数学思想】数形结合【解题过程】由题由，则，所以，，则.A选项中时，单调递增，所以单调递减；B选项同A；C选项中时，单调递减，所以单调递增.【思路点拨】先根据最值点求出，然后求出，再求出的解析式，根据复合函数单调性求出单调区间.【答案】C8.若函数，又，且的最小值为，则正数的值是.【知识点】正弦函数的图象和周期.【数学思想】【解题过程】因为，所以为最小值点的横坐标，为与x轴交点的横坐标，的最小值为相邻的和之差，而它们之差又为，所以周期，又，所以.【思路点拨】要求则需要寻找函数的周期，根据题目给的特殊点再结合图象的特征就可以得出周期.【答案】探究型多维突破9.设函数是以2为最小正周期的周期函数，且时，（1）求的值；（2）当时，求的解析式【知识点】函数周期性的定义.【数学思想】数形结合【解题过程】（1）由周期性定义可知，所以，.（2）当，则，则，又根据周期性有【思路点拨】充分利用周期函数定义的运用，对不在已知定义域的x利用周期性进行转化.【答案】(1),;(2)10.已知函数的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数的图象；（3）你能写出函数的解析式吗？【知识点】图象与周期性的关系.【数学思想】数形结合.【解题过程】（1）由图可得T=2.（2）的图象如下；（3）先求一个周期内的解析式，再根据函数的周期性可知，其它周期中的函数即有左右平移个单位，所以.【思路点拨】根据图像得出周期，先求出一个周期内的解析式，根据周期性和图象变换求出R上的解析式.【答案】（1）T=2；（2）.自助餐1.求函数的周期.【知识点】函数的周期性.【数学思想】【解题过程】.【思路点拨】周期性的结论.【答案】.2.已知角的终边经过点，函数的任意x都满足，则.【知识点】周期性定义的运用.【数学思