《-弧度制》教学设计

10/16《弧度制》教学设计一、教学目标：（一）核心素养通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解弧度制的定义，熟练角度制与弧度制的换算，掌握并运用弧度制的弧长公式和扇形的面积公式；在类比和数学运算过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应的关系.（二）教学目标1.“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；2.“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；3.“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；4.“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式求解有关问题（三）学习重点1．理解弧度“是什么”；2．熟练弧度和角度之间“如何化”；3．掌握弧度制来计算弧长和扇形面积“怎么用”；（四）学习难点1．理解弧度“是什么”；2．理解角的集合与实数之间一一对应的关系二、教学过程（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第6页至第11页．（2）想一想：弧度制是如何定义的？弧度制和角度制之间是如何让转化的？如何将弧度制应用于弧长公式和扇形的面积公式中？2．预习自测（1）已知圆O的半径为2，弧AB的长为2，则=____________【答案】1rad．（2）2πrad=（）A．180°B．200°C．270°D．360°【答案】D．（3）把50°化为弧度制（）A．50B．C．D．【答案】B．（4）扇形的圆心角为72°，半径为5，则它的弧长为______，面积为________【答案】；(二)课堂设计1．知识回顾 （1）角的概念的推广； （2）终边相同的角的表示2．问题探究探究一结合实例，引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；●活动结合实例，引入弧度制有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约270.4公里，但也有人回答约169英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制弧度制.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．探究二弧度是什么，理解弧度的定义●活动①回顾角度制的定义1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.【设计意图】从1角度过度到1弧度，更加的自然.●活动②探究弧度制的定义弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).【设计意图】让学生掌握弧度制的定义探究三探究如何进行弧度与角度的转化●活动①通过具体的数据，探究弧度制和角度制之间的关系如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格.弧AB的长OB旋转的方向的弧度数的度数πr逆时针方向2πr逆时针方向r12r-2-π0180°360°【答案】弧的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向逆时针方向顺时针方向顺时针方向不旋转逆时针方向逆时针方向我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.【设计意图】一方面可以让学生加深对弧度制的理解，也为接下来推导弧度制和角度制的转化公式做准备.●活动②在掌握了弧度制定义的基础上推导弧长，半径，和圆心角（弧度制）之间的关系思考：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径.【设计意图】既是对弧度制定义的巩固强化，加深学生对于弧长，半径以及圆心角（弧度数）三者关系的理解.●活动③通过活动①中表格的数据，推导出弧度制和角度制的转化公式.【设计意图】通过已有的数据推出角度制和弧度制相互转化的公式更容易被学生理解和接受.●活动④快速抢答抢答特殊角的度数与弧度数的对应表:度弧度【答案】度弧度0【设计意图】通过抢答环节，让学生迅速掌握弧度制和角度制的相互转换，也让学生熟悉特殊角对应的角度制和弧度制.探究四探究弧度制下的弧长与扇形面积公式求解有关问题.●活动①回顾初中已学的用角度制表示的弧长公式和扇形的面积公式.已知扇形的圆心角为n°，半径为R则弧长，扇形的面积公式为【设计意图】通过对已有知识的回顾，对接下来推出弧度制下的弧长与扇形面积公式做准备.●活动②利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1);(2);(3).其中R是半径,l是弧长,为圆心角,S是扇形的面积.【设计意图】以证明题的形式将弧度制应用于弧长和扇形的面积公式，有了推导过程，学生更容易理解和记忆.●活动③利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小.【设计意图】弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.●活动④巩固基础，检查反馈例1下列说法不正确的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是圆周角的，1弧度的角是圆周角的C． 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大【知识点】考察了弧度制和角度制的相互转换，弧度制的定义，以及弧度制和角度制都是度量角的两种方式【数学思想】转换的思想【解题过程】当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关【思路点拨】通过弧度制的定义去判断【答案】D同类训练若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则（）A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C． 扇形的面积扩大到原来的2倍D．扇形的圆心角扩大到原来的2倍【知识点】扇形的圆心角，弧长，半径三者之间的关系【数学思想】【解题过程】由公式，因此圆心角应该不变【思路点拨】所对的弧长与半径的比值是一定值，则圆心角就不变【答案】B例2：（1）将下列各角化为弧度：=1\*GB3①；=2\*GB3②（2）将下列各弧度化为角度：=1\*GB3①；=2\*GB3②【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用【数学思想】【解题过程】【思路点拨】公式的应用【答案】，，，同类训练将下列各角度与弧度互化【知识点】弧度制和角度制换算公式的应用【数学思想】【解题过程】【思路点拨】公式的应用【答案】；；；例3半径为1cm，圆心角为的弧长为（）A．B．C． D．【知识点】弧度制在弧长公式的应用【数学思想】【解题过程】【思路点拨】公式的应用【答案】D同类训练若的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是（）A．B．C． D．【知识点】圆中垂径定理的应用和三角函数以及弧度在扇形面积公式中的应用【数学思想】【解题过程】半径，【思路点拨】公式的应用【答案】C●活动5强化提升、灵活应用例4与1°角终边相同的角的集合为（）A．B．C． D．【知识点】终边相同角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用【数学思想】【解题过程】，，【思路点拨】将角度制转换为弧度制:【答案】C同类训练第四象限角的集合可写为（）A．B．C．D．【知识点】第四象限角的表示，同一个式子中角度制和弧度制不能混用【数学思想】【解题过程】【思路点拨】将角度制转换为弧度制:【答案】D3.课堂总结知识梳理（1）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写).（2）弧度制和角度制之间的转换公式为：（3）弧度制在扇形相关公式中的应用为：；；.重难点归纳（1）生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．（2）当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取圆的半径大小无关.（3）同一个式子中角度制和弧度制不能混用.（4）在选择弧长和扇形的面积公式时，一定要理清楚题目所给圆心角是弧度制还是角度制.（三）课后作业基础型自主突破1．在半径不相等的两个圆内，1弧度的圆心角（）A．所对的弧长相等B．所对的弦长相等C．所对的弦长等于各自的半径D．所对的弧长等于各自的半径【知识点】弧长的定义【解题过程】长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角【思路点拨】1弧度的圆心角所对的弧长始终等于半径【答案】D2．把化为弧度是（）A．B．C．D．【知识点】角度制和弧度制的相互换算【解题过程】【思路点拨】先将角度的单位化为“°”【答案】D3．若，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【知识点】了解每个象限角对应的范围【数学思想】数形结合【解题过程】【思路点拨】【答案】B4．若角与的终边互相垂直，则与的关系是（）A．B．C．D．【知识点】对于角的表示【数学思想】【解题过程】B选项忽略了终边相同应该加上圆周角的整数倍【思路点拨】角与的终边互相垂直的本质是将角的终边绕着原点顺时针或者逆时针旋转90°，即，但要注意终于边相同要加圆周角的整数倍【答案】D5．已知一扇形的圆心角，扇形所在圆的半径，则这个扇形的弧长为____________，该扇形对应的弓形的面积为_________．【知识点】弧度制在弧长公式中的应用【数学思想】转化的思想，将弓形的面积转化为扇形的面积—三角形的面积【解题过程】【思路点拨】弓形的面积=扇形的面积—三角形的面积【答案】；6．在单位圆上有两个动点，它们同时从出发沿圆周运动，已知点按逆时针方向每秒转，点按顺时针方向每秒转，试求它们从出发后到第五次相遇时各自走过的弧长．【知识点】行程问题中的相遇问题【数学思想】数形结合【解题过程】【思路点拨】第五次相遇即两点的路程和恰好是圆周的5倍【答案】能力型师生共研7．已知扇形的周长为6cm，面积为则扇形的圆心角的弧度数为（）A．1B．4C．1或4D．2或4【知识点】【数学思想】【解题过程】【思路点拨】一定要考虑最终求出的圆心角的弧度数不能超过【答案】A8．集合，则（）A．B．C．D．【知识点】交集的定义【数学思想】【解题过程】集合中的分别取或，或分别和取公共部分【思路点拨】要找出，集合中的只能取和【答案】B探究型多维突破9．圆弧长等于其圆内接正方形的边长，则其所对的圆心角的弧度数为______【知识点】的应用【数学思想】数形结合【解题过程】【思路点拨】有图有真相【答案】自助餐1．弧度化为角度是（）A．110°B．160°C．108°D．218°【知识点】弧度制化为角度制的应用【数学思想】【解题过程】【思路点拨】【答案】C2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（）A．B．C．D．【知识点】分针每走一分钟，走过的弧度数为【解题过程】【思路点拨】分针走60分钟走过的弧度数为【答案】B3．角的集合与集合之间的关系为_____________【知识点】根据集合看角的终边所处的位置【解题过程】，集合表示的都是终边在轴上的角【思路点拨】注意“”和“”的区别【答案】4．若角的终边与角的终边关于直线对称，且，则_______【知识点】轴对称的特征以及终边相等的角的特征【数学思想】数形结合【解题过程】在中与角的终边关于直线对称的是在中与角终边相同的角是在中与角终边相同的角是在中与角终边相同