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文档简介

17/173.2.3简单的三角恒等变换(第2课时)杨峻峰一、教学目标(一)核心素养通过本节课的学习,了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求,掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法.从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想.(二)学习目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值,化简与恒等式的证明.(三)学习重点有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用.(四)学习难点认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,有从整体上把握变换过程的能力.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务读一读:(1)化简三角函数式:化简三角函数式的要求:①能求值的应求值;②使式子次数尽量低、项数尽量少;③使三角函数的种类尽量少;④尽量使分母及被开方数不含三角函数;⑤将高级运算表为低级运算.化简三角函数式的方法:一些常规技巧:“1”的代换,切割化弦,和积互化,化非特殊角为特殊角,异角化同角,异名函数化为同名三角函数,异次化为同次,切割化弦等.(2)三角恒等式的证明:三角恒等式的证明要求:利用已知三角公式通过恒等变形,论证所给等式左、右相等.三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式.①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”;②有条件的等式常用方法有:代入法、消去法、综合法、分析法等.2.预习自测(1)化简:__________.【知识点】两角差的正、余弦公式.【解题过程】.【思路点拨】将所求式子通分后化简,再逆用两角差的正、余弦公式.【答案】.(2)若,,则__________.【知识点】两角和与差的余弦函数公式.【解题过程】,即,两边平方,得,即,解得:或,由,得,所以.【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简,右边利用同角三角函数基本关系进行变形.【答案】.(3)已知,,则的值为__________.【知识点】同角三角函数的基本关系,二倍角公式,诱导公式.【数学思想】【解题过程】因为,,所以..【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系可求,再利用二倍角公式及诱导公式对所求式子进行化简.【答案】.(二)课堂设计1.知识回顾 (1)半角公式:①;②;③(有理形式),(无理形式). (2)积化和差与和差化积公式:①积化和差公式:;;;.②和差化积公式: ;;;.②辅助角公式:,其中.2.问题探究探究一三角函数的化简●活动①例1已知为第四象限角,化简:.【知识点】三角函数的有理化.【数学思想】【解题过程】因为为第四象限角,所以原式.【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式.【答案】.同类训练已知,化简.【知识点】升幂公式.【数学思想】【解题过程】因为,所以.原式.【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式.【答案】.●活动②例2已知,化简:.【知识点】弦切互化,半角有理式的应用.【数学思想】化归思想【解题过程】因为,所以.因为,.所以原式因为,所以,所以.原式.【思路点拨】涉及半角的正切式与弦函数的积时,应考虑半角的有理式的应用.【答案】.同类训练化简.【知识点】弦切互化、诱导公式、倍角公式.【数学思想】化归思想【解题过程】原式.【思路点拨】分子提取配方,分母利用诱导公式将变形为.【答案】.探究二三角恒等式的证明●活动①例3求证:.【知识点】弦切互化,积化和差、和差化积公式.【数学思想】化归思想【解题过程】方法一:.方法二:.【思路点拨】从左往右证,可利用同角三角函数基本关系式切化弦,再利用积化和差进行转化即可.【答案】见解答过程.同类训练证明:.【知识点】弦切互化、三角函数基本关系式、倍角公式.【解题过程】.【思路点拨】左边切化弦再通分,利用基本关系式、倍角公式推导.【答案】见解答过程.●活动②例4证明:.【知识点】左右归一.【解题过程】左边右边所以左边=右边,等式成立.【思路点拨】等式两边结构都较为复杂,可左右同时化简,采用左右归一的途径.【答案】见解答过程.同类训练若,求证:.【知识点】“消元法”、两角差的正切公式、倍角公式.【数学思想】【解题过程】∵,即,∴又∵∴.【思路点拨】等式左边式子包含两个角,右边只有一个,考虑消去一个角,都用角进行表示.【答案】见解题过程.●活动③例5在△ABC中,,求证:.【知识点】降幂公式、两角和正弦函数公式.【解题过程】因为,所以.即.所以,所以.【思路点拨】由降幂公式化简已知等式,然后利用两角和的正弦函数公式.【答案】见解题过程.同类训练在△ABC中,若,求证:.【知识点】降次公式、和差化积、三角形内角和定理.【解题过程】∵sin2+sin2+sin2=cos2,∴.∴2sin2=(cosA+cosC)又∵sin=cos,∴2cos2=cos·cos,∴2cos=cos.∴.∴故.【思路点拨】因结论等式中不含B.故需设法消去已知等式中的B角,可考虑使用三角形内角和定理.【答案】见解题过程.3.课堂总结(1)化简三角函数式的要求:①能求值的应求值;②使式子次数尽量低、项数尽量少;③使三角函数的种类尽量少;④尽量使分母及被开方数不含三角函数;⑤将高级运算表为低级运算.(2)化简三角函数式的技巧:①变角:通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角,用已知角表示所求角等)、“消角”(如异角化同角,复角化单角等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异.②变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差异,借助于“切化弦”、“弦切互化”等进行函数名称的变换.③变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构形式的差异,借助于一下几种途径进行变换:1)常值代换,如将“1”代换为“”或“”;2)升降幂公式,如;3)配方与平方,如;等(3)三角恒等式的证明证明要求:利用已知三角公式通过恒等变形,论证所给等式左、右相等;三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式.①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”;②有条件的等式常用方法有:代入法、消去法、综合法、分析法等.(三)课后作业基础型自主突破 1.已知,,则() A. B. C. D. 【知识点】倍角公式. 【数学思想】 【解题过程】因为,所以.又因为,所以、同号.因为,所以,故选A. 【思路点拨】运用倍角公式,注意分析的正负. 【答案】A. 2.若,、,则() A. B. C. D. 【知识点】和差化积. 【数学思想】 【解题过程】由已知等式得,因为,所以,所以,所以. 【思路点拨】利用和差化积变形等式,算出的值. 【答案】D. 3. 若,,则的值是() A. B. C. D. 【知识点】两角差的正切函数公式. 【数学思想】 【解题过程】因为,,所以,. 【思路点拨】把变为,再利用两角差的正切函数公式. 【答案】B.4.已知,则的值为()A. B. C. D. 【知识点】积化和差公式、倍角公式. 【数学思想】 【解题过程】因为,所以. 【思路点拨】利用积化和差和倍角公式,化出. 【答案】C.5.若,且、满足关系式:则的值为()A. B. C. D. 【知识点】两角和的正切函数公式. 【数学思想】 【解题过程】由题,即,又因为,所以. 【思路点拨】由两角和的正切函数公式得,联立已知条件即得. 【答案】A. 6.化简=________. 【知识点】诱导公式、同角三角函数的平方关系. 【数学思想】 【解题过程】因为,所以. 【思路点拨】利用诱导公式,结合同角三角函数的平方关系即得. 【答案】1.能力型师生共研 7.若,则______________. 【知识点】弦切互化、倍角公式. 【数学思想】 【解题过程】由,得,解得. 【思路点拨】利用弦切互化、倍角公式转化成关于的式子. 【答案】. 8.求证:. 【知识点】降幂公式、倍角公式. 【数学思想】 【解题过程】,.所以等式成立. 【思路点拨】从右边入手,根据降幂公式,再利用倍角公式得到左式. 【答案】见解答过程.探究型多维突破 9.求证:. 【知识点】弦切互化、两角差的正弦公式、倍角公式. 【数学思想】 【解题过程】,. 【思路点拨】从左边入手,先切化弦,再利用两角差的正弦公式. 【答案】见解答过程. 10.在△ABC中,设,求证:. 【知识点】三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正切公式变形、倍角公式. 【数学思想】转化的思想. 【解题过程】由条件得而,,而cos(B+C-A)=. 【思路点拨】等式两边形式都较复杂,可考虑“左右归一”.左边利用两角和的正切公式,结合已知条件化为含的式子,右边利用弦化切化为含的式子. 【答案】见解答过程.自助餐 1.化简:的结果是() A. B. C. D. 【知识点】两角和的正切公式. 【数学思想】 【解题过程】因为,所以,即,所以. 【思路点拨】利用两角和的正切公式变形可得. 【答案】B. 2.已知,则的最大值为() A. B. C. D. 【知识点】二倍角公式,三角函数最值. 【数学思想】 【解题过程】所以当时,函数取得最大值. 【思路点拨】利用二倍角公式与和差化积进行转化,再带入已知条件化简函数. 【答案】B. 3.若,则可化简为() A. B. C. D. 【知识点】倍角公式. 【数学思想】 【解题过程】,由,得,所以,. 【思路点拨】利用倍角公式,结合的范围. 【答案】D. 4.已知,则______________. 【知识点】两角和正弦公式、倍角公式、弦切互化、特殊角的三角函数值. 【数学思想】 【解题过程】,. 【思路点拨】所求式子的分子一、三项结合,利用倍角公式化简,分母用两角和的正弦公式及特殊角的三角函数值化简,最后同时除以. 【答案】. 5.求证:. 【知识点】切化弦、半角公式、倍角公式逆用. 【数学思想】 【解题过程】. 【思路点拨】利用半角公式变化分母,通分,逆用倍角公式即得. 【答案】见解答过程. 6.在△ABC中,、、成等差数列,求证:. 【知识点】和差化积、积化和差. 【数学思想】 【解题过程】由条件:2sinB=sin

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