《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计

1/12.4平面向量数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（刘季梅）一、教学目标（一）核心素养由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想、类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.（二）学习目标1.会算一个向量在另一个向量上的投影，会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数和形两个方面引导学生对向量数量积的定义进行探究.通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.（三）学习重点1.平面向量数量积的概念和几何意义.2.平面向量数量积的性质及运算律.（四）学习难点1.平面向量数量积的概念及运算律的理解.2.平面向量数量积的应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第103页至105页，填空：①已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积或（内积），记作ab，即.②|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.③；a与b同向；a与b反向.④平面向量数量积的运算律：；=；.2.预习自测（1）若，则a与b的夹角为（）A.0 B. C. D.【答案】B（2）已知，，a与b的夹角为，则a与b的数量积为（）A.3 B. C. D.【答案】C（3）已知a与b的数量积为，且，a与b的夹角为，则b的长度为（）A.2 B. C. D.【答案】D（二）课堂设计1.知识回顾（1）已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积或（内积），记作ab，即.（2)|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.（3）当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；.（4）平面向量数量积的运算律：；=；.2.问题探究探究一平面向量数量积的概念和几何意义●活动①引出并理解向量数量积的概念Fs如图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，其中是F与s的夹角，请回答以下问题：（抢答）Fs（1）力F所做的功W=.（2）公式中的F、s、W是矢量还是标量？，F、s是矢量，W是标量.这给我们一个启示，我们可以把“功”看成是F与s这两个向量的一种运算的结果.为此，我们引入向量“数量积”的概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积或（内积），记作ab，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.注：向量的数量积为数量而非向量，符号由的符号来定；ab中的“”不能用“×”代替.【设计意图】以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，感受数学的实用性，体会概念的得出过程.●活动②探究向量数量积的几何意义对于，是a与b的夹角，其中（）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.如图，.AAOBba按照投影的定义，非零向量b在a方向上的投影为，其具体情况，请借助下面的图形进行分析并填空.（举手回答）的范围=<<=<<=OOABab图形AABObaaABOABOabBAOabOAOABabb在a方向上的投影正数；正数；0；负数；负数.由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与b在a方向上的投影的乘积.填空：（抢答）由，得当为锐角时，_____0，且_____；当为钝角时，_____0，且_____；（用不等号填空）当=时，_______；当=时，_______；当=时，_______.>；≠；<；≠.；；0.【设计意图】从图形的角度引导学生对投影的概念和向量数量积的几何意义进行探究.通过数形结合，使学生明确向量的数量积的概念.探究二平面向量数量积的性质●活动①归纳总结数量积的简单性质已知a与b是两个非零向量，是a与b的夹角，请按要求填空.（集体口答）________；a与b同向________；a与b反向________.0；；.特别地：，从而有.【设计意图】结合向量数量积的概念和几何意义，引导学生总结当两个向量具有特殊位置关系时，向量数量积的特征，从而让学生掌握本节课的重点.●活动②公式变形，提炼性质由向量数量积公式易得：，当且仅当a与b共线且同向时，等号成立.那么通过数量积公式变形，可以来求哪些量？（举手回答）；.也就是可以求向量的模长和向量夹角的余弦值.【设计意图】通过对数量积公式观察和变形提炼性质，从而体会向量数量积的应用.探究三平面向量数量积的运算律●活动①探究平面向量数量积的运算律你能证明下列平面向量数量积的运算律吗？（举手回答）（1）；（2）=；（3）.证明：（1）∵，又∵，∴.（2）∵，，BOACaBOACabc∴=.（3）如图，任取一点，作，，.∵（即）在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即：.∴.∴.∴.注：指向量a与b的夹角.提示：，如当时，就不成立不一定等于，因为表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线.【设计意图】以向量数量积的概念和几何意义为基础探究向量数量积的运算律.●活动②简单应用数量积的运算律证明例1对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？ 【知识点】向量数量积的运算律的应用. 【解题过程】. 【思路点拨】按照向量数量积的分配律打开，再使用交换律化简. 【答案】成立同类训练对任意，恒有，对任意向量，是否也有成立？ 【知识点】向量数量积的运算律的应用. 【解题过程】. 【思路点拨】按照向量数量积的分配律打开，再使用交换律化简. 【答案】成立.【设计意图】简单应用向量数量积的运算律.●活动③巩固基础，检查反馈例2（1）已知，a与b的夹角，求；（2）已知，且，求a与b的夹角. 【知识点】向量数量积的定义和性质. 【解题过程】（1）；（2）∵，又∵，∴. 【思路点拨】熟悉向量数量积公式以及公式变形. 【答案】（1）；（2）a与b的夹角为.同类训练填空：（1）已知，且，则a与b的夹角为___________；（2）已知，a在b方向上的投影为，则___________. 【知识点】向量数量的性质. 【解题过程】（1）∵，又∵，∴；（2）. 【思路点拨】明确向量数量积的几何意义和性质. 【答案】（1）；（2）.【设计意图】掌握向量数量积的相关计算、投影的计算、向量数量积的性质的相关计算.●活动④强化提升，灵活应用 例3已知，a与b的夹角，求. 【知识点】向量数量积的运算律. 【解题过程】. 【思路点拨】借助向量数量积运算律. 【答案】.同类训练设已知m与n是两个单位向量，其夹角，求的模长. 【知识点】向量数量积的性质和运算律. 【解题过程】. 【思路点拨】借助向量数量积的性质和运算律. 【答案】7.【设计意图】掌握并熟悉向量数量积的运算律所涉及的相关应用.例4已知，且a与b不共线.为何值时，向量与互相垂直. 【知识点】向量数量积的性质和运算律 【解题过程】∵向量与互相垂直，∴，即：，，∴，解得：. 【思路点拨】两向量垂直其数量积为. 【答案】时，向量与互相垂直.同类训练已知，，且，则向量a与b的夹角为多少？ 【知识点】向量数量积的性质和运算律. 【解题过程】∵，∴，又∵，∴，解得：.又∵，∴. 【思路点拨】两向量垂直其数量积为. 【答案】.【设计意图】向量垂直的相关应用.3.课堂总结 知识梳理（1）已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|叫做a与b的数量积或（内积），记作ab，即.（2)|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.（3）当a与b同向时，；当当a与b反向时，；；；；.（4）平面向量数量积的运算律：；=；. 重难点归纳（1）掌握数量积的定义、重要性质及运算律；（2）能应用数量积的重要性质及运算律解决问题；（3）了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题.（三）课后作业基础型自主突破 1.已知a，b满足，，且，则a与b的夹角为（） A. B. C. D. 【知识点】向量数量积的性质. 【解题过程】∵，又∵，∴. 【思路点拨】根据数量积公式的变形求向量夹角. 【答案】C.2.若，则为（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 【知识点】向量数量积的运算律和性质. 【解题过程】∵，∴，故为直角三角形. 【思路点拨】数量积分配律的逆运算和数量积的性质. 【答案】D.3.已知，a在b方向上的投影为，则（） A. B. C. D. 【知识点】向量数量积的几何意义. 【解题过程】∵a在b方向上的投影为，∴，∴. 【思路点拨】投影的定义和数量积的几何意义. 【答案】B.4.若非零向量a与b的夹角为，，则向量的长度为（） A. B. C. D. 【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念. 【解题过程】由已知，，∴.解得：或（舍）. 【思路点拨】向量数量积的运算律. 【答案】A.5.已知向量a与b满足，，且，则与夹角的余弦值为（） A. B. C. D. 【知识点】向量数量积的性质. 【解题过程】. 【思路点拨】向量数量积公式变形求向量的夹角. 【答案】C.6.若向量a与b满足，，，则（） A.1 B. C. D. 【知识点】向量数量积的性质和运算律. 【解题过程】∵，∴又∵，∴. 【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律. 【答案】D.能力型师生共研7.若向量a与b满足，，，则（） A.1 B. C. D. 【知识点】向量数量积的性质和运算律. 数学思想：方程消元的思想 【解题过程】由已知：，∴，即，又，∴. 【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组. 【答案】B.8.已知，，a与b的夹角是，，，问实数取何值时，. 【知识点】向量数量积的性质和运算律. 数学思想：方程的思想 【解题过程】由已知：，即，即，解得：. 【思路点拨】根据垂直向量的数量积为0和消元解方程组. 【答案】.探究型多维突破9.已知，，a与b的夹角是，计算向量在向量方向上的投影. 【知识点】投影的概念和表示，数量积的运算律. 数学思想：方程的思想 【解题过程】∵，，∴所求投影为：. 【思路点拨】表示出投影进而求值. 【答案】.10.平面内有四点，记若且试判断△ABC的形状，并求其面积. 【知识点】数量积的运算律，三角形的面积. 数学思想：方程的思想，数形结合 【解题过程】∵a+b+c=0，∴a(a+b+c)=0，∴｜a｜2+a·b+a·c=0又∵a·b=a·c=-1，∴|a|2=2，同理|b|2=|c|2，又，∴，∴同理，，∴△ABC为等边三角形. 【思路点拨】观察联想从而对式子进行合理处理. 【答案】△ABC为等边三角形，.自助餐1.设向量a与b满足，则（） A.1 B. C. D. 【知识点】向量数量积的性质和运算律. 数学思想：方程组消元的思想. 【解题过程】由，得：，，解得：. 【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律. 【答案】A.2.已知两个非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为（）A. B. C. D. 【知识点】向量数量积的性质.【解题过程】因为a⊥(2a＋b)，所以a(2a＋b)＝0，得到ab＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，则＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2|a|2,4|a|2)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝. 【思路点拨】根据数量积公式的变形表示向量的夹角. 【答案】C.3.设a，b是向量.则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条件. 【知识点】向量数量积的性质和运算律，充分条件与必要条件.【解题过程】|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔ab＝0，∴|a＋b|＝|a－b||a|＝|b|；|a|＝|b|ab＝0，从而得不到|a＋b|＝|a－b|，因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件. 【思路点拨】明确|a＋b|＝|a－b|的等价变形. 【答案】既不充分也不必要.4.已知，，且与的夹角，则________. 【知识点】向量数量积的运算律和数量积的概念. 【解题过程】由已知，，∴. 【思路点拨】向量数量积的运算律. 【答案】.5.已知中，，，，求. 【知识点】向量数量积的概念. 【解题过程】由已知，. 【思路点拨】找准向量的夹角. 【答案】.6.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，（1）求a与b的夹角θ；（2）求|a＋b|；（3）若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积. 【知识点】向量数量积的性质、运算律，解三角形.【解题过程】（1）∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6，∴＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又，∴.（2）|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋