甘肃省兰州市兰州第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

甘肃省兰州市兰州第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题一、单选题1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2．若直线与平行，则与间的距离为（

）A． B．C． D．3．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．4．等差数列中，，则此数列的前项和等于（

）A．160 B．180 C．200 D．2205．设等比数列的前项和为，若，则等于（

）A． B． C． D．6．已知圆的半径为，且，过点的2023条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（

）A． B． C． D．7．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（

）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，128．椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足.则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为10B．面积的最大值为C．的最小值为1D．椭圆的离心率为10．已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（

）A．的方程为B．直线被截得的弦长为C．动点到直线的距离的取值范围为D．上存在三个点到直线的距离为11．圆和圆的交点为A，B，则（）A．公共弦AB所在直线的方程为B．线段AB中垂线方程为C．公共弦AB的长为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为12．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列B．数列的通项公式为C．数列为等比数列D．数列为等比数列三、填空题13．一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2023项和.15．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是.16．椭圆的左､右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，，则的面积，的值为.四、解答题17．已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长､焦点坐标.18．圆心在直线上的圆C，经过点，并且与直线相切(1)求圆C的方程；(2)圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，求直线l的方程.19．在数列中，.(1)求的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．如图，已知圆及点.(1)若点在圆上，求直线与圆的相交弦的长度；(2)若是直线上任意一点，过点作圆的切线，切点为，当切线长最小时，求点的坐标，并求出这个最小值.21．已知椭圆的左､右顶点分别为，且，离心率为为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆过椭圆的右焦点.22．已知数列{an}与{bn}满足：，若{an}是各项为正数的等比数列，且a1＝2，b3＝b2＋4.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满足cn＝(n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜1.参考答案：1．B2．B3．A4．B5．A6．B7．C8．D9．ABD10．BD11．ABD12．CD13．14．101015．16．6317．，长轴长为，焦点坐标为.【详解】因为，椭圆的焦点在轴上且，又因为，可得，解得，所以椭圆方程为，可得，则所以椭圆的长轴长为､焦点坐标为.18．(1)(2)或【详解】（1）设圆C的标准方程为，由题意得，解得，所以圆C的方程为；（2）设直线与圆C交于B､D两点，过点作，垂足为，因为圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，所以，则，即圆心C到直线l的距离为，且，因为直线l的方程为，所以，化简解得或，故所求直线l的方程为或.19．(1)a2=13,a3=33;(2)存在，-1.【详解】（1）由题意，，，.（2）假设存在实数，使得数列为等差数列，设，则，所以.此时，，而，则是首项为2，公差为1的等差数列，即存在实数，使得数列是以首项为2，公差是1的等差数列.20．(1)(2)，【详解】（1）易知圆的标准方程为，则，半径.将点代入圆的方程，得，所以，故直线的斜率.因此直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，所以.（2）因为，所以当最小时，最小，又当与直线垂直时，最小，所以，所以.由题易得过点且与直线垂直的直线方程为，联立，得，所以.21．(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意知，，得，又离心率，，则椭圆的方程为.（2）由（1）得，

设，则，即.则直线，直线，将代入上述直线方程，可得点的纵坐标，点的纵坐标，即，令椭圆的右焦点为，则，则所以，即，所以为直径的圆过点.22．（1），bn＝2n－1(n∈N*)；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，①当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，②①－②可