2024高考数学考点专项突破平面向量含解析

平面对量单选题1、若，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设与的夹角为，则，即.故选：A.2、（2025届山东省枣庄市高三上学期统考）向量，若，则的值是()A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】B【解析】，故选B.3、已知平面对量a,b的夹角为60°,aA．2B．7C．27D．【答案】D【解析】|a4、（2024年高考全国II卷理数）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．−3 B．−2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．5、（2024年高考北京卷理数）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.6、设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.7、（2025届山东省泰安市高三上期末）已知向量，，．若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以,选C.8、（2024年高考全国I卷理数）已知非零向量a，b满意，且b，则a与b的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．9、（2025届山东省德州市高三上期末）已知向量，满意，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，得，则，，.故选：C.10、（2024年高考全国III卷理数）已知向量a，b满意，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D．11、（2025届山东省潍坊市高三上期中）如图，已知，，，，若，（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】建立如图所以坐标系，依据条件不妨设，，，则，所以，解得，，所以，故选：C．12、（2024·河南高三期末（文））如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，，，所以，所以.因为，所以.故选：D13、（2024年新高考全国Ⅰ卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，的模为2，依据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．14、在中，点满意，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示：，即，，，，，，，、、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.15、已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（）A． B．C．6 D．【答案】D【解析】由题意，则，，得，由定义知，故选:D.16、（2025届浙江省之江教化评价联盟高三其次次联考）已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，∴，∴，设，则，即的最大值是2.故选：A.17、（2025届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）定义平面对量之间的一种运算“”如下：对随意的，，令.下面说法错误的是A．若共线，则B．C．对随意的D．【答案】B【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误；因为，，所以选项C正确；，所以选项D正确.故选B．二、多选题18、（2024年扬州期末）中，，，，在下列命题中，是真命题的有A．若，则为锐角三角形 B．若．则为直角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为直角三角形【答案】【解析】：中，，，①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；②若，则，为直角三角形，正确；③若，，，，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，④若，则，即，即，由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，综合①②③④可得：真命题的有，故选：．19、（2024年南通期末）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是（）A． B． C． D．【答案】【解析】：中，，，①当时，，即，解得；②当时，，且；即，解得；③当时，，即，整理得，解得或；综上知，的取值为或或．故选：．20、（2025届山东试验中学高三上期中）关于平面对量，下列说法中不正确的是（）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．【答案】ACD【解析】对于，若，因为与随意向量平行，所以不肯定与平行，故错；对于，向量数量积满意安排律，故对；对于，向量数量积不满意消去率，故错；对于，是以为方向的向量，是以为方向的相量，故错．故选：．21、（2025届山东省九校高三上学期联考）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影为【答案】BCD【解析】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，设，∥，所以，解得：，即O是CE中点，，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，，所以选项A错误；，，在方向上的投影为，所以选项D正确.故选：BCD22、（2025届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得，A对；∵，∴，∴，又F为AE的中点，∴，B对；∴，C对；∴，D错；故选：ABC．三、填空题23、（2024年高考全国Ⅰ卷理数）设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.24、（江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高三下学期阶段考试）已知，是夹角为的两个单位向量，，，且则的值为_______.【答案】【解析】.解得.故答案为:.25、（2024年高考全国II卷理数）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．26、（2025届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在中，已知D是边的中点，E是线段的中点若，则的值为______.【答案】；【解析】由题意，，∵∴．故答案为：．27、（2025届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在中，已知，若为中点，且，则____.【答案】.【解析】，解得，，故答案为：.28、（江苏省南通市西亭高级中学2024-2025学年高三下学期学情调研）在斜三角形中，，是中点，在边上，，与交与点.若，则_____.【答案】【解析】如下图所示，过点作交于点，则点为的中点，，为的中点，所以，，，，，，所以，，由，解得.故答案为：.29、（2024年高考天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.四、解答题30、（2025届山东省枣庄市高三上学期统考）已知平面对量（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值.【解析】因为，所以，即解得所以（2）若，则所以，，，所以31、（江苏省南通市海安高级中学2024-2025学年高三下学期阶段考试）在平面直角坐标系中，设向量.（1）若，求的值；（2）求的最大值及取得最大值时的值.【解析】(1)因为所以因为,所以.因为,所以于是或.(2)因为,所以,于是.所以当,即时,取最大值.32、（2025届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在边长为2的等边中，以O为圆心、为半径作弧，点P为弧上一动点.求的取值范围.【解析】设的中点为C，则，设与的夹角为，则，所以，因为，所以，所以，的取值范围为.33、（2025届江苏省七市其次次调研考试）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【解析】（1）