2025届高中数学统考第二轮专题复习第1讲函数的图像与性质的简单应用限时集训理含解析

第1讲函数的图像与性质的简洁应用基础过关1.设a=log43,b=log0.42,c=20.4,则a,b,c的大小关系为 ()A.b<c<a B.c<b<aC.a<b<c D.b<a<c2.已知函数f(x)=3x-13x,则f(x) ()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.已知a=30.3,b=123,c=log56,则 ()A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c4.下列函数中,值域是R且是奇函数的是 ()A.y=x3+1 B.y=sinxC.y=x-x3 D.y=2x5.已知f(x)是R上的奇函数且单调递增,则下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有 ()①g(x)=|f(x)|;②h(x)=f(x2+x);③m(x)=f(|x|);④n(x)=ef(x)+e-f(x).A.①②③ B.①③④C.②③④ D.①②④6.已知如下六个函数:y=x,y=x2,y=lnx,y=2x,y=sinx,y=cosx,从中选出两个函数记为f(x)和g(x),若F(x)=f(x)+g(x)的图像如图X1-1所示,则F(x)= ()图X1-1A.x2+cosx B.x2+sinxC.2x+cosx D.2x+sinx7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(2)=3,则满意f(x+1)<3的x的取值范围是 ()A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-2,2)C.(-∞,-3)∪(0,1) D.(-3,1)8.已知定义在R上的偶函数f(x)满意f(2+x)=f(2-x),当x∈[0,2]时,f(x)=2-x.设函数g(x)=e-|x-2|(-2≤x≤6),则f(x)和g(x)的图像全部交点的横坐标之和为 ()A.8 B.6 C.4 D.29.已知函数f(x)=ex-1ex+1cos(3x+α),α∈[0,π],则f(x)的图像图X1-210.对∀a,b∈R,若函数f(x)同时满意:(1)当a+b=0时,有f(a)+f(b)=0;(2)当a+b>0时,有f(a)+f(b)>0,则称f(x)为Ω函数.给出下列函数:①f(x)=x-sinx;②f(x)=ex-e-x;③f(x)=ex+e-x;④f(x)=0,x=0,-1xA.①② B.②③C.③④ D.①④11.已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-2)=2f(8)+1,则f(2024)的值为.

12.已知定义域为R的函数f(x)=μ+2λex+λexx213.一种药在病人血液中的含量保持在1500毫克以上才有疗效,当含量低于500毫克时,病人就会有危急.现给某病人静脉注射了这种药2500毫克,假如药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的价值,那么从现在起约经过小时后再向病人的血液中补充这种药才能保持疗效.(附:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精确到0.1小时)

14.如图X1-3,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(19)=.

图X1-3实力提升15.已知某函数的图像如图X1-4所示,则该函数的解析式可能是 ()图X1-4A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)C.y=cos(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)16.已知对∀x∈R,函数f(x)满意f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2024)+f(2024)= ()A.34 B.C.52 D.17.把方程x|x|16+y|y|9=-1表示的曲线作为函数①y=f(x)在R上单调递减;②y=f(x)的图像关于原点对称;③y=f(x)的图像上的点到坐标原点的距离的最小值为3;④函数g(x)=4f(x)+3x不存在零点.其中正确的结论是 ()A.①③ B.①②③C.①③④ D.①②③④18.若函数f(x)的图像上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满意条件|x1x2+y1y2|-x12+y12x22+y2①f(x)=x+1x(x>0②f(x)=lnx(0<x<e);③f(x)=cosx;④f(x)=x2-1.其中是“柯西函数”的为 ()A.①② B.③④ C.①③ D.②④19.若定义在R上的偶函数f(x)满意f(2+x)=f(x),且在区间[1,2]上是减函数,f(1)=1,f(0)=-1,现有下列结论:①曲线y=f(x)关于直线x=1对称;②曲线y=f(x)关于点32,0对称;③f(x)在区间[3,4]上是减函数;④f(x)在区间(-4,4)内有8个零点.其中肯定正确的结论是 ()A.①③ B.②④C.①③④ D.②③④20.对于函数f(x)=2sinx-2-sinx,有如下结论:①f(x)在R上是奇函数;②π是f(x)的一个周期;③π2为f(x)的一个极大值点④f(x)在区间-π2,π2上单调递增.其中全部正确结论的序号是.

限时集训(一)1.D[解析]∵0=log41<log43=a<log44=1,b=log0.42<log0.41=0,c=20.4>20=1,∴b<a<c.故选D.2.A[解析]函数f(x)=3x-13x的定义域为R,且f(-x)=3-x-13-x=-3x+13x=-3x-13x=-f(x),故函数f(x)是奇函数.因为y=3x,y=-13x在R上都是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.3.C[解析]∵30.3>30=1,∴a>1.∵0<123<121=12,∴0<b<12.∵log56>log55=12,且log56<log55=1,∴12<c<1,∴a>c>b.故选4.C[解析]对于A,y=x3+1不是奇函数,不符合题意;对于B,y=sinx为正弦函数,是奇函数,但值域不是R,不符合题意;对于C,y=f(x)=x-x3,则f(-x)=(-x)-(-x)3=-(x-x3)=-f(x),该函数为奇函数,其值域为R,符合题意;对于D,y=2x是指数函数,不是奇函数,不符合题意.故选C.5.B[解析]因为f(x)是R上的奇函数且单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0.对于①,g(-x)=|f(-x)|=|f(x)|=g(x),且当x>0时,g(x)=|f(x)|=f(x)单调递增,符合题意;对于②,h(-x)=f(x2-x)≠h(x),不合题意;对于③,m(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=m(x),且当x>0时,m(x)=f(x)单调递增,符合题意;对于④,n(-x)=ef(-x)+e-f(-x)=e-f(x)+ef(x)=n(x),且当x>0时,f(x)>0,ef(x)>1,依据对勾函数的单调性可知n(x)=ef(x)+e-f(x)单调递增,符合题意.故选B.6.D[解析]利用解除法.函数y=x2+cosx为偶函数,题中所给函数图像不关于y轴对称,选项A错误;当x=0时,x2+sinx=0≠1,选项B错误;当x=0时,2x+cosx=1+1=2≠1,选项C错误.故选D.7.D[解析]因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-2)=f(2)=3,所以f(x+1)<3等价于f(|x+1|)<f(2).因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|x+1|<2,即-2<x+1<2,解得-3<x<1,即满意条件的x的取值范围是(-3,1).故选D.8.A[解析]由偶函数f(x)满意f(2+x)=f(2-x)可得f(x)的图像关于直线x=2对称.在f(2+x)=f(2-x)中,以2+x替换x,得f(4+x)=f(-x)=f(x),则函数f(x)是以4为周期的周期函数.函数g(x)=e-|x-2|(-2≤x≤6)的图像也关于直线x=2对称.作出函数f(x)的图像与函数g(x)=e-|x-2|(-2≤x≤6)的图像,如图所示.由图可知两个函数的图像有四个交点,且两两关于直线x=2对称,则f(x)与g(x)的图像全部交点的横坐标之和为8.故选A.9.B[解析]令g(x)=ex-1ex+1,h(x)=因为g(-x)=e-x-1e-x+1=1-ex当α=π2时,h(x)=-sin3x,为奇函数此时,f(x)为偶函数,f(x)=-ex-1ex+1sin3x,当x∈0,π3时,f(x)<0,所以f(当α=0或α=π时,h(x)=cos3x或h(x)=-cos3x,h(x)为偶函数,此时,f(x)为奇函数,f(x)=ex-1ex+1cos3x或f(若f(x)=ex-1ex+1cos3x,则当x∈0,π6时,f(x)>0,所以f(若f(x)=-ex-1ex+1cos3x,则当x∈0,π6时,f(x)<0,所以f(f(x)的图像不行能为选项B,故选B.10.A[解析]若f(x)为Ω函数,则对∀a,b∈R,当a+b=0时,有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数.当a+b>0时,有f(a)+f(b)>0,即当a>-b时,f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.对于①,f(x)=x-sinx,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx)=-f(x),即f(x)为奇函数.由f'(x)=1-cosx≥0,可得f(x)为R上的增函数,故①是Ω函数.对于②,f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.由f'(x)=ex+e-x>0,可得f(x)为R上的增函数,故②是Ω函数.对于③,f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故③不是Ω函数.对于④,f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,定义域为R,当x≠0时,f(-x)=-1-x=1x=-f(x),可得f(x)为奇函数.f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上分别单调递增,但在R上不为增函数,比如f(-11.13[解析]因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,所以f(-2)=f(1),f(8)=f(-1)=-f(1),又f(-2)=2f(8)+1,所以f(1)=-2f(1)+1,则f(1)=13,所以f(2024)=f(673×3+1)=f(1)=12.-2[解析]f(x)=μ+2λex+λe若λ<0,则函数f(x)无最小值,不合题意;若λ>0,则函数f(x)无最大值,不合题意.所以λ=0,则f(x)=μ+2020sinx则f(x)+f(-x)=μ+2020sinx2+x2+μ+2020sin所以函数f(x)的图像关于点(0,μ)对称,则f(x)max+f(x)min=4=2μ,则μ=2,故λ-μ=-2.13.2.3[解析]设经过x小时后再向病人的血液中补充这种药,则经过x小时后血液中的含药量y(毫克)与时间x(小时)之间的关系式为y=2500(1-20%)x.依题意可得2500(1-20%)x≤1500,整理可得45x≤35,所以log4545x≥log4535,即又log4535=log810610=lg610lg810=lg6-故从现在起约经过2.3小时后再向病人的血液中补充这种药才能保持疗效.14.3[解析]由题意,当-4≤x<-2时,顶点B(x,y)的轨迹是以点(-2,0)为圆心,以2为半径的14圆当-2≤x<2时,顶点B(x,y)的轨迹是以点(0,0)为圆心,以22为半径的14圆当2≤x<4时,顶点B(x,y)的轨迹是以点(2,0)为圆心,以2为半径的14圆当4≤x<6时,顶点B(x,y)的轨迹是以点(4,0)为圆心,以2为半径的14圆,与-4≤x<-2时的形态相同所以函数f(x)的周期是8,所以f(19)=f(3)=3.15.D[解析]由图可知,当x=0时,y<0.当x=0时,y=sin(ex+e-x)=sin2>0,故解除A;当x=0时,y=sin(ex-e-x)=sin0=0,故解除B;当x=0时,y=cos(ex-e-x)=cos0=1>0,故解除C;当x=0时,y=cos(ex+e-x)=cos2<0,满意题意.故选D.16.A[解析]依据题意,f(x+1)=f(x)f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)f(x+2)f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)f(x+3)=1,变形可得f(x+3)=1f则有f(x+6)=1f(x+3)=f(x),即函数f(x则f(2024)=f(3+336×6)=f(3),f(2024)=f(4+336×6)=f(4),则f(2024)+f(2024)=f(3)+f(4).对于f(x+3)=1f(x),令x=1,可得f(4)=对于f(x+1)=f(x)f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0,可得f(1)=f(0)f(2)=4且f(0)=f(2),又f(x)>0,所以f(0)=f(2)=2,则f(3)=1f(0故f(2024)+f(2024)=f(3)+f(4)=12+14=故选A.17.C[解析]x|x|16+y|y|9=-1,当x≥0当x≥0,y≤0时,y29-x2当x≤0,y≥0时,x216-y2当x≤0,y≤0时,x216+y2画出y=f(x)的图像,如图所示.由图可知y=f(x)在R上单调递减,故①正确,②错误.由图可知,当y=f(x)图像上的点到原点的距离最小时,该点应在x≤0,y≤0时的图像上,即满意x216+y29=1,设该段图像上的点P的坐标为(则|PO|=x2+y2=x2+9(1-x216)=716x2由g(x)=4f(x)+3x=0,得f(x)=-34x,函数g(x)=4f(x)+3x的零点就是函数y=f(x)的图像和直线y=-34x的交点的横坐标,而直线y=-34x是曲线y29-x216=1,x≥0,y≤0和曲线x216-y29=1,由图像可知,直线y=-34x和曲线x216+y29=1,x≤0,所以函数g(x)=4f(x)+3x不存在零点,故④正确.故选C.18.B[解析]由柯西不等式得,对随意实数x1,y1,x2,y2,|x1x2+y1y2|-x12+y12x22+y22≤0恒成立,当且仅当x1y2=x2y1时取等号.若函数f(x)的图像上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满意条件|x1x2+y1y2|-x12+y12x22+y22的最大值为0,则函数f(x)的图像上存在不同的两点A(x1,y1),B对于①,由kx=x+1x(x>0),得(k-1)x2=1(x>0),该方程最多有1个根,所以①不是“柯西函数”;对于