2024-2025学年新教材高中数学第七章三角函数7.2.3同角三角函数的基本关系式同步作业含解析新人教B版必修第三册

PAGE课时作业(五)同角三角函数的基本关系式一、选择题1．若sinα＋sin2α＝1，那么cos2α＋cos4α的值等于()A．0B．1C．2D．32．已知α是第三象限的角，cosα＝－eq\f(12,13)，则sinα＝()A.eq\f(5,13)B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,12)D．－eq\f(5,12)3．若α∈[0,2π)，且有eq\r(1－cos2α)＋eq\r(1－sin2α)＝sinα－cosα，则角α的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))4．若tanα＝3，则2sinαcosα＝()A．±eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)二、填空题5．已知△ABC中，tanA＝－eq\f(5,12)，则cosA＝________.6．已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<θ<π))，则tanθ＝()A.eq\f(4－2m,m－3)B．±eq\f(m－3,4－2m)C．－eq\f(5,12)D．－eq\f(3,4)或－eq\f(5,12)7．已知sinαcosα＝eq\f(1,5)，则sinα－cosα＝________.三、解答题8．已知tanα＝eq\f(2,3)，求下列各式的值：(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)；(2)eq\f(1,sinαcosα)；(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.9．求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.[尖子生题库]10．若α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则求sinα＋cosα的值．课时作业(五)同角三角函数的基本关系式1．解析：由sinα＋sin2α＝1，得sinα＝cos2α，所以cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.答案：B2．解析：∵α是第三象限的角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).答案：B3．解析：因为eq\r(1－cos2α)＋eq\r(1－sin2α)＝sinα－cosα，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα≥0，,cosα≤0，))又α∈[0,2π)，所以α∈[eq\f(π,2)，π]，故选B.答案：B4．解析：2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：C5．解析：∵tanA＝－eq\f(5,12)，又A是三角形的内角，∴A是钝角．∵eq\f(sinA,cosA)＝－eq\f(5,12)，∴－5cosA＝12sinA.又sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝－eq\f(12,13).答案：－eq\f(12,13)6．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－3,m＋5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2m,m＋5)))2＝1，化简得m2－8m＝0，解得m＝0或m＝8，由于θ在其次象限，所以sinθ>0，m＝0舍去，故m＝8，sinθ＝eq\f(5,13)，cosθ＝－eq\f(12,13)，得tanθ＝－eq\f(5,12).答案：C7．解析：(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2sinαcosα＝eq\f(3,5)，则sinα－cosα＝±eq\f(\r(15),5).答案：±eq\f(\r(15),5)8．解析：(1)eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＋eq\f(cosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＋eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq\f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq\f(26,5).(2)eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(tan2α＋1,tanα)＝eq\f(13,6).(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(sin2α－2sinαcosα＋4cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－2tanα＋4,tan2α＋1)＝eq\f(\f(4,9)－\f(4,3)＋4,\f(4,9)＋1)＝eq\f(28,13).9．证明：右边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边，∴2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.10．解析：由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)