2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量的加法学案含解析北师大版必修4

PAGE2从位移的合成到向量的加法2．1向量的加法考纲定位重难突破1.理解向量加法的法则及其几何意义．2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．重点：1.向量的加法法则．2.向量的加法的几何意义．难点：向量的加法法则的应用及对几何意义的理解.授课提示：对应学生用书第36页[自主梳理]向量加法[双基自测]1．对随意四边形ABCD，下列式子中不等于eq\o(BC,\s\up6(→))的是()A.eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)) D.eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))答案：C2．化简下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).其中结果为0的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由向量加法的运算法则①④的结果为0.答案：B3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.eq\o(CD,\s\up6(→)) B.eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\o(CO,\s\up6(→))答案：B授课提示：对应学生用书第36页探究一向量的加法法则应用[典例1]若正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c.(1)试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小；(2)试作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，并求出其模的大小．[解析](1)依据平行四边形法则可知，a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).延长AC，在AC的延长线上作eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，则a＋b＋c＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))(如图所示)．∴|a＋b＋c|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2eq\r(12＋12)＝2eq\r(2).(2)如图所示，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，延长BC至E，使CE＝BC，连接DE，由于eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∴四边形ACED是平行四边形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝2.(1)依据向量加法的三角形法则，必需平移向量使之首尾相连，那么起点与终点所确定的向量就是两个向量的和向量，推广到向量加法的多边形法则仍旧适用．(2)向量加法的平行四边形法则，必需平移向量使之共起点，以这两个向量为邻边作平行四边形，那么共起点的对角线表示的向量为两个向量的和向量．1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.解析：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，如图所示，则由向量加法的三角形法则，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.探究二向量的加法运算[典例2]设A，B，C，D是平面上的随意四点，试化简：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)).[解析]依据向量的加法法则，得(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0＋0＝0.向量加法运算口诀：加法口诀：首尾相接，箭头从始点指向最终一个终点．2.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列问题：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up6(→)).解析：(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋d＋e；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－c；(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝e＋a＋b；(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－c－d.探究三向量加法的应用[典例3]在长江某渡口上，江水以2km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2eq\r(3)km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．[解析]要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt△ABC中，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|v1|＝2eq\r(3).|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|v2|＝2，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|v|＝eq\r(|\o(\o(AB,\s\up6(→))|2＋,\s\up6())|\o(BC,\s\up6(→))|2)＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4.tanθ＝eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3).∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4km/h，方向为东偏北60°.求解应用题时应先依据已知条件建立数学模型，转化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简洁应用．先依据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，推断ABCD为矩形．因此可以转化为解直角三角形的问题．3．雨滴在下落肯定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2eq\r(3)m/s，现有东风且风速为2m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？解析：如图，eq\o(AB,\s\up6(→))表示无风时雨滴的下落速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示东风的风速．由平行四边形法则，知有东风时雨滴的下落速度为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)m/s，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2m/s，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4(m/s)，∠BCA＝60°.故雨滴沿向下偏西，与地面成60°角的方向，以4m/s的速度着地．未能正确理解向量加法致误[典例]小船以10eq\r(3)km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.[解析]如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10eq\r(3)km/h，河水的流速为|v2|＝10km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10eq\r(3))2＋