2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定素养目标·定方向素养目标学法指导1．驾驭线面垂直的定义、判定定理.(直观想象)2．会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.(逻辑推理)充分利用所在空间(如教室及其中物品)相识线面垂直的定义、判定定理及其模型特征.必备学问·探新知学问点1直线与平面垂直的定义与判定定理1．直线与平面垂直的定义定义一般地，假如直线l与平面α内的__随意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直记法__l⊥α__有关概念直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的__垂面__，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做__垂足__画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边__垂直__图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与__垂足__间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的__长度__叫做这个点到该平面的距离2．直线与平面垂直的判定定理文字语言假如一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__a∩b__＝P⇒l⊥α图形语言学问点2直线与平面所成的角直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与平面α__相交__，但不与这个平面__垂直__，这条直线叫做这个平面的斜线斜足斜线和平面的__交点__叫做斜足射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引__垂线__PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射影__所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__0°__.直线与平面所成的角θ的取值范围是__0°≤θ≤90°__[学问解读]1．对直线与平面垂直的几点说明(1)定义中的“随意一条直线”这一词语与“全部直线”是同义语，与“多数条直线”不是同义语.(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特别情形.(3)由直线与平面垂直的定义，得假如一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的随意一条直线.这是推断两条直线垂直的一种重要方法.2．理解直线与平面垂直的判定定理不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来推断此直线与平面垂直”.事实上，由基本领实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的全部直线都垂直，但不能保证与其他直线平行.3．判定定理所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直.4．直线与平面所成的角的理解和推断(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角.(2)推断方法首先，推断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解.关键实力·攻重难题型探究题型一直线与平面垂直的定义及判定定理的理解典例1下列说法正确的有__②__(填序号).①垂直于同一条直线的两条直线平行；②假如一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就肯定不与这个平面垂直；③假如一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内肯定没有直线与l垂直.[解析]因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确.由线面垂直的定义可得，②正确.因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确.[归纳提升](1)对于线面垂直的定义要留意“直线垂直于平面内的全部直线”说法与“直线垂直于平面内多数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要留意必需是平面内两相交直线.【对点练习】❶(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(C)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(B)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[解析](1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB⊂平面OBC，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)依据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确.题型二线面垂直的判定典例2如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[分析]本题是证线面垂直问题，要多视察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们须要哪个呢？我们须要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证.[解析](1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.[归纳提升]线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义.②线面垂直的判定定理.③假如两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.④假如一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③依据判定定理得出结论.(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要留意分析几何图形，找寻隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法.【对点练习】❷如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型三直线与平面所成的角典例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.[分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线.(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满意要求[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.[归纳提升]求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①找寻过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特别的点，比如中心、垂心、重心等.【对点练习】❸如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.[解析]由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB上的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3．在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即MC与平面CAB所成角的正弦值为eq\f(2\r(3),5).易错警示逻辑推理不严密致误典例4如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A∴CD⊥平面ABB1A1[错因分析]错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满意直线与平面垂直的判定定理的条件[正解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1．又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥A