2024-2025学年高考数学一轮复习专题3.3函数的奇偶性与周期性知识点讲解含解析

专题3.3函数的奇偶性与周期性【考纲解读与核心素养】1．理解函数的奇偶性，会推断函数的奇偶性，了解函数的周期性.2．培育学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.3.高考预料：（1）推断函数的奇偶性与周期性；（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查．4.备考重点：（1）抽象函数的奇偶性与周期性；（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；（3）函数性质的综合应用问题.【学问清单】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，假如存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【典例剖析】高频考点一：函数奇偶性的推断【典例1】（广东省高考真题（理））设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数C．||+g(x)是偶函数 D．||-g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题设知:于是有，，，.【典例2】（2024·北京高考模拟（理））下列函数中为偶函数的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，f（－x）＝－x3－x＝－（x3＋x）＝－f（x），是奇函数.对于B，f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4＝f（x），是偶函数.C、D是非奇非偶函数，所以，选B.【学问拓展】(1)奇、偶函数定义域的特点．由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数依据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【变式探究】1.（2024·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知和为奇函数，为偶函数.令，则，即且.所以为非奇非偶函数.故选D.2.已知函数f(x)＝x－eq\f(a,x)的图象经过点(2,1).(1)求a的值；(2)推断f(x)的奇偶性．【答案】(1)a＝2；(2)f(x)为奇函数．【解析】(1)∵点(2,1)在函数f(x)的图象上，∴1＝2－eq\f(a,2)，∴a＝2.(2)由(1)知f(x)＝x－eq\f(2,x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f(－x)＝－x－eq\f(2,－x)＝－x＋eq\f(2,x)＝－(x－eq\f(2,x))＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．高频考点二：函数奇偶性的应用【典例3】（2024·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】是奇函数，x≥0时，．当时，，，得．故选D．【典例4】（2024·天津南开中学高考模拟（文））已知是定义域为[a，a+1]的偶函数，则＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵f（x）在[a，a+1]上是偶函数，∴﹣a＝a+1⇒a，所以f（x）的定义域为[，]，故：f（x）x2﹣bx+1，∵f（x）在区间[，]上是偶函数，有f（）＝f（），代入解析式可解得：b＝0；∴．故选B．【典例5】（2024·四川省泸县五中高三月考（文））已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】-3【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【总结提升】函数奇偶性的应用(1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，依据奇函数满意f(－x)＝－f(x)或偶函数满意f(－x)＝f(x)列等式，依据等式两侧对应相等确定参数的值．特殊要留意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以依据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不行用此法．【变式探究】1.（2024·江西江西师大附中高三高考模拟（文））若函数为奇函数，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】为奇函数当时，又时，本题正确选项：2.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－26 B．－18C．－10 D．10【答案】A【解析】解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝－25＋a－23＋b－2－8①,f2＝25＋a·23＋b·2－8②))，①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.3.（2025届河南省南阳市第一中学高三）若函数为偶函数，则__________．【答案】或【解析】令，依据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.高频考点三：函数周期性及其应用【典例6】（2024·四川省石室中学高三一模（文））已知是定义域为的奇函数，满意,若，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数是定义域为的奇函数，所以，且，又由，即，进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，又由，可得，，则，所以．故选C．【典例7】（2024·六盘山高级中学高三三模（文））奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解析】由题意，奇函数的定义域为R，若为偶函数，则，即，则，即是周期为4的周期函数，，，则，故选：B．【规律方法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．推断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．依据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决详细问题时，要留意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【变式探究】1.（2024·广东高考模拟（文））已知是定义在上的奇函数，满意，且，则（）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因为函数满意，所以关于直线对称，所以，又是定义在上的奇函数，所以，又由可得，所以，故，因此，函数是以4为周期的周期函数，所以，又因此.故选B2.（2024·山东高考模拟（文））已知定义在上的奇函数满意，当时，，则（）A．2024 B．0 C．1 D．-1【答案】B【解析】由得：的周期为又为奇函数，，，即：本题正确选项：高频考点四：函数性质的综合应用【典例8】（2024·山西省高三其他（文））已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满意，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以，则为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：C.【典例9】（2024·梅州市梅县区松口中学高三月考（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是R的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C．【典例10】【多选题】（2024·山东省高三其他）已知偶函数满意，则下列说法正确的是（）．A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数C．函数为奇函数 D．函数为偶函数【答案】BC【解析】对于选项,∵函数为偶函数，∴．∵，∴，则，即，∴，故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；对于选项,令，则．在中，将换为，得，∴，∴，则函数为奇函数，所以选项C正确．对于选项,由题意不妨取满意条件的函数，则为奇函数，所以选项D错误．故选：BC.【典例11】（2024·重庆高三其他（文））定义在R上的奇函数满意：，且当时，，若，则实数m的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】由为奇函数知，∴，即，∴，∴是周期为3的周期函数，故，即，∴.故选：B.【典例12】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)依据图象写出函数y＝f(x)的增区间．【答案】【解析】∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，依据对称性作出函数y＝f(x)在x>0时的图象．(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．【规律方法】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．留意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．【变式探究】1.（2024·山西省高三其他（文））已知函数，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由的解析式可知，在上是奇函数且单调递增，为偶函数，当时，有，任取，则，由不等式的性质可得，即，所以，函数在上递增再由，得，得即，解得．故选：B．2.(2024·哈尔滨六中二模)定义在R上的奇函数f(x)满意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x)，则f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上是()A．减函数且f(x)＞0 B．减函数且f(x)＜0C．增函数且f(x)＞0 D．增函数且f(x)＜0【答案】D【解析】当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，由f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x)可知f(x)单调递增且f(x)＞0，又函数为奇函数，所以在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上函数也单调递增，且f(x)＜0.由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)知，函数的周期为eq\f(3,2)，所以在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上，函数单调递增且f(x)＜0，故选D.3.（2024·山东高考模拟（理））已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满意.若，则不等式的解集为（）A． B