2025版新教材高考数学一轮复习单元质检卷十概率随机变量及其分布含解析新人教A版

单元质检卷十概率、随机变量及其分布(时间:100分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事务是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”2.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望E(X)是()A.115 B.125 C.1353.一试验田某种作物一株生长果实个数x听从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X听从二项分布,则X的方差为()A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.214.有朋自远方来,他乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,他乘坐上述四种交通工具迟到的概率依次分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为()A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.05.8张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5、6、7、8,从中随机取出2张,记事务A=“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,事务B=“所取2张卡片上的数字之和小于9”,则P(B|A)=()A.16 B.13 C.126.(2024湖北襄阳高三检测)排球竞赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球竞赛中,甲队在每局竞赛中获胜的概率都相等,均为23,前2局中乙队以2∶0领先,则最终乙队获胜的概率是(A.49 B.1927 C.11277.写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区分筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演化而来.例如计算89×65,将被乘数89计入上行,乘数65计入右行.然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最终从右下方起先按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5785.类比此法画出648×345的表格,若从表内(表周边数据不算在内)任取一数,则恰取到奇数的概率是()A.518 B.13 C.13188.(2024浙江宁波六校联考,5)设随机变量X的分布列如下:X0123P0.1a0.30.4则方差D(X)=()A.0 B.1 C.2 D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事务;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事务,则下列结论中正确的是()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事务B与事务A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事务10.设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满意Y=2X+1,则下列结果正确的有()A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.211.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别听从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是()附:若随机变量X听从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827.A.若红玫瑰日销售量范围在[μ-30,280]的概率是0.6827,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中C.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在[280,320]的概率约为0.3413512.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列结论,其中正确的命题有()A.从中任取3球,恰有一个白球的概率是3B.从中有放回地取球6次,每次任取一球,恰好有两次白球的概率为80C.现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,其次次再次取到红球的概率为2D.从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为26三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024江西南昌模拟)辊子是客家传统农具,南方农夫犁开田地后,仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴,两侧装上木板,人跨开两脚站立,既能驾驭平衡,又能增加重量,让牛拉动辊轴前进,压碎土块,以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度,即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片,则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为.

14.随机变量ξ的分布列如下表:ξ-101P1ab若E(ξ)=0,则D(ξ)=.

15.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为16.抛一枚质地匀称的硬币,正、反面出现的概率都是12,反复这样的抛掷,数列{an}定义如下:an=1(第n次抛掷出现正面),-1(第n次抛掷出现反面),若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则事务“S8=2”的概率为;事务“S四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在某亲子嬉戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有4个小球,小球上分别写有0,1,2,3的数字,小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,登记数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,登记小球上数字将小球放回.抽奖活动的嘉奖规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于4,则嘉奖飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上,则嘉奖汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1,则嘉奖饮料一瓶.(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率.(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.18.(12分)在中学生综合素养评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采纳分层随机抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:表一:男生男生等级优秀合格尚待改进频数15x5表二:女生女生等级优秀合格尚待改进频数153y(1)求x,y的值;(2)从表一、表二中全部尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈,记其中抽取的女生人数为X,求随机变量X的分布列及均值;(3)由表中统计数据填写下列2×2列联表,依据α=0.1的独立性检验,能否认为测评结果优秀与性别有关联.测评结果男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式:χ2=n(ad-bc参考数据:α0.100.050.01xα2.7063.8416.63519.(12分)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了运用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A组的客户,“☉”表示B组的客户.注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A,B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m,n,依据图中数据,试比较m,n的大小(结论不要求证明);(2)从A,B两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A组的客户的概率;(3)假如客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”,从A,B两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).20.(12分)交强险是车主必需为机动车购买的险种,若一般6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的状况相联系,发生交通事故的次数越多,费率就越高,详细浮动状况如表:交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌一般6座以下私家车的投保状况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的状况,统计如下表:类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)依据我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a=950(元),记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X的分布列与数学期望.(2)某二手车销售商特地销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元.①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的期望值.21.(12分)某公司年会实行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的分布列及数学期望;(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.22.(12分)某市为了制定扶贫战略,统计了全市1000户农村贫困家庭的年纯收入,并绘制了如下频率分布直方图:(1)若这1000户家庭中,家庭年纯收入不低于5千元,且不超过7千元的户数为40户,请补全频率分布图,并求出这1000户家庭的年纯收入的平均值x(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图,可以认为这1000户的家庭年纯收入X听从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年纯收入的平均值x,σ2近似为样本方差,经计算知σ2=9.26;设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为x千元(即家庭年纯收入不低于x千元,则该户家庭实现脱贫,否则未能脱贫),若依据此正态分布估计,这1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫,试求该市的脱贫标准x;(3)若该市为了加大扶贫力度,拟投入一笔资金,帮助未脱贫家庭脱贫,脱贫家庭巩固脱贫成果,真正做到“全面小康路上一个也不能少”,方案如下:对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭赐予扶持资金15千元,对家庭年纯收入超过5.92千元,但不超过8.96千元的家庭每户家庭赐予扶持资金12千元,对家庭年纯收入超过8.96千元,但不超过15.04千元的家庭每户家庭赐予扶持资金8千元,对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持,设Y为每户家庭获得的扶持资金,求E(Y)(结果精确到0.001).附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,9.26≈3.参考答案单元质检卷十概率、随机变量及其分布1.CA,B中的两个事务都不是互斥事务;C中的两个事务是互斥而不对立的两个事务;D中的两个事务是对立事务.2.AX的可能取值为2,3,P(X=3)=25×14+25×14=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,∴E(3.B∵x~N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,∴P(x>110)=0.2,∴P(90≤x≤110)=0.5-0.2=0.3,∴X~B(10,0.3),X的方差为10×0.3×(1-0.3)=2.1.故选B.4.C设事务A1为“他乘火车来”,A2为“他乘船来”,A3为“他乘汽车来”,A4为“他乘飞机来”,B为“他迟到”.易见A1,A2,A3,A4构成一个完备事务组,由全概率公式得P(B)=∑i=14P(Ai)P(B|Ai)=0.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=05.C事务AB为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”,以(a,b)为一个样本点,则事务AB包含的样本点有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),共6个,由古典概型的概率公式可得P(AB)=6C82=314,事务A为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,则所取的两个数全是奇数或全是偶数,由古典概型的概率公式可得P(A)=2C42C82=6.B最终乙队获胜事务含3种状况:第三局乙胜,其概率为13;第三局甲胜,第四局乙胜,其概率为23×13=29;第三局和第四局都是甲胜7.A依据题意,结合范例画出648×345的表格,从表格中可以看出,共有18个数,其中奇数有5个,所以从表内任取一数,恰取到奇数的概率为P=58.Ba=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故选B.9.BD易见A1,A2,A3是两两互斥的事务,故D正确,P(B|A1)=511,故B正确P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922,10.ACD因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.11.ACD对于选项A,μ+30=280,μ=250,正确;对于选项B,C,利用σ越小越集中,30小于40,B不正确,C正确;对于选项D,由于白玫瑰的日销量X听从正态分布N(280,402),所以P(280≤X≤320)≈0.6827×12=0.34135,12.ABD选项A,从中任取3球,恰有一个白球的概率是C42C21C63=35,故正确;选项B,从中有放回的取球6次,每次任取一球,每次抽到白球的概率为26=13,则恰好有两次白球的概率为C62×234×132=80243,故正确;选项C,现从中不放回的取球2次,每次任取1球13.16记布施,持戒,忍辱,精进,禅定,般若分别为a,b,c,d,e,f,则样本点有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(c,f),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,c),(f,d),(f,e),(f,f),共36个,其中符合条件的有6个,故所求概率14.12∵E(ξ)=0,由表中数据可知E(ξ)=(-1)×14+0×a+1×b=0,解得b=14.又14+a+b=1,∴a=12.所以D(ξ)=(-1-0)2×15.47250因为甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,所以仅甲及格的概率为45×1-35×1-710=24250;仅乙及格的概率为1-45×35×1-710=9250;仅丙及格的概率为1-45×116.73213128事务S8=2表示反复抛掷8次硬币,其中出现正面的次数是5次.其概率P=C85125·123=732.事务“S2≠0,S8=2”表示前两次全正或全负,则概率为17.解(1)样本点总数有16个,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),记“获得飞机玩具”为事务A,则事务A包含的样本点有3个,分别为(2,3),(3,2),(3,3),∴每对亲子获得飞机玩具的概率p=3(2)记“获得汽车玩具”为事务B,“获得饮料”为事务C,事务B包含的样本点有6个,分别为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),∴每对亲子获得汽车玩具的概率P(B)=616=38,每对亲子获得饮料的概率P(C)=1-P(A)-P(B)=718.解(1)设从高一年级男生中抽取m人,则m500=45500+400,解得m=25,则从女生中抽取20人,所以x=25-15-5=5,y=20-15-(2)表一、表二中全部尚待改进的学生共7人,其中女生有2人,则X的全部可能的取值为0,1,2.P(X=0)=C53C73=1035=27,P(则随机变量X的分布列为X012P241所以X的均值E(X)=27×0+47×1+(3)2×2列联表如下:测评结果男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045零假设为H0:测评结果优秀与性别无关联.χ2=45×(15×5-15×10)230×15×25×20=45×152×5230×15×25×19.解(1)m<n.(2)设“从抽取的20位客户中随意抽取2位,至少有一位是A组的客户”为事务M,则P(M)=C101C101+C102C(3)依题意ξ的可能取值为0,1,2.则P(ξ=0)=C9P(ξ=1)=C1P(ξ=2)=C所以随机变量ξ的分布列为ξ012P18131所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×1825+1×1350+2×150=320.解(1)由题意可知,X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,由统计数据可知:P(X=0.9a)=15,P(X=0.8a)=110,P(X=0.7a)=110,P(X=a)=310,P(X=1.1a)=15,P(X=1.3∴X的分布列为X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP111311∴E(X)=0.9a×15+0.8a×110+0.7a×110+a×310+1.1a×1(2)①由统计数据可知随意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为310,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=C3031001-3103+C3131011-3102②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y的可能取值为-5000,10000,P(Y=-5000)=310,P(Y=10000)=710,∴Y-500010000P37E(Y)=-5000×310+10000×710=5500.∴该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100E(Y)=550000(元)=21.解(1)小张在这次活动中获得的奖金数X的全部可能取值为100,200,300.P(X=300)=C3P(X=200)=C3P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+4