2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题07解三角形(面积问题(含定值最值范围问题))练习(学生版+解析)

专题07解三角形面积问题问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求三角形面积（定值问题） 2题型二：求三角形面积（最值问题） 3题型三：求三角形面积（范围问题） 5题型四：四边形中面积问题 7三、专项训练 9一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型题型题型一：求三角形面积（定值问题）1．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.2．（2024·北京丰台·二模）已知满足．(1)求；(2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．3．（2024·北京西城·一模）在中，．(1)求的大小；(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．条件①：边上中线的长为；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，且外接圆的面积为．(1)求．(2)若，求的面积．题型二：求三角形面积（最值问题）1．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为且与垂直.(1)求大小；(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值.2．（23-24高三下·全国·阶段练习）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面积S的最小值．3．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.4．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；(1)求B；(2)若，试判断的形状.(3)若，求的面积的最大值．5．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角；(2)若，求面积的最大值．题型三：求三角形面积（范围问题）1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，.(1)求角；(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；(3)若，求面积的取值范围.2．（2024·四川德阳·二模）的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.3．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.4．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角B的大小和边长b的值；(2)求面积的取值范围．5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.题型四：四边形中面积问题1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，.(1)若，求的大小；(2)若，求四边形面积的最大值.2．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.(1)求角C的大小；(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.3．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.4．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，且．(1)若，求的值；(2)求四边形ABCD面积的最大值．5．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知圆的半径为，点在直径的延长线上，，点是圆上半圆上的一个动点，以为斜边做等腰直角三角形，且与圆心分别在两侧.(1)若，试将四边形的面积表示成的函数;(2)求四边形面积的最大值.三、专项训练1．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形中，已知四点共圆，且.(1)求证：；(2)若，求四边形的面积.2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知平面四边形中，，，．

(1)若，，，四点共圆，求的面积；(2)求四边形面积的最大值．3．（23-24高一下·湖北·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．7．（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．

(1)若，求的边长；(2)求的边长最小值．8．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求.(2)求面积的取值范围.9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求锐角的面积的取值范围．专题07解三角形面积问题问题（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：求三角形面积（定值问题） 2题型二：求三角形面积（最值问题） 6题型三：求三角形面积（范围问题） 11题型四：四边形中面积问题 18三、专项训练 24一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型题型题型一：求三角形面积（定值问题）1．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)；【分析】（1）由余弦定理求出即可.（2）利用边角转化求出角，进而由正弦定理求出，最后求出三角形面积.【详解】（1）在中，由，则，由余弦定理知：，因为，所以.（2）因为，所以，即，由正弦定理，由，所以，，由，，解得：或，即或，当时，，在中，由正弦定理，所以，所以；当时，三角形为等边三角形，，.综上：当时，；当时，.2．（2024·北京丰台·二模）已知满足．(1)求；(2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．【答案】(1)(2)选①③，面积为，【分析】（1）根据辅助角公式可得，即可求解，（2）选择①②，根据正弦定理可得与矛盾，即可求解，选择②③，根据,故，，这与矛盾，即可求解，选择①③，根据余弦定理可得，，即可由面积公式求解.【详解】（1）由得，所以,由于，所以（2）若选①，②，则,由正弦定理可得，这与矛盾，故不可以选择①②，若选①，③，由余弦定理可得，解得，，，选②③，由于,又,故，而，故，这与矛盾，因此不能选择②③3．（2024·北京西城·一模）在中，．(1)求的大小；(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．条件①：边上中线的长为；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的.【详解】（1）由，得，在中，由正弦定理得，因为，所以，又，所以；（2）选条件①：边上中线的长为：设边中点为，连接，则，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），所以的面积为，选条件③：：在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，的面积为．当时，的面积为．不可选条件②，理由如下：若，故为钝角，则，则，，即，其与为钝角矛盾，故不存在这样的.4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，且外接圆的面积为．(1)求．(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知结合正弦定理、外接圆的半径以及两角和差的正弦公式求得结果；（2）先求得，结合的面积公式以及二倍角公式求得结果.【详解】（1）由于外接圆的面积为，故外接圆的半径为1．由正弦定理，得，则．又，所以，则．因为，所以，所以．又，所以；（2）由，得，结合，得，且．由（1）知，所以的面积．题型二：求三角形面积（最值问题）1．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为且与垂直.(1)求大小；(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果；（2）利用余弦定理与边上的中线有进行化简，在利用基本不等式即可得到结果.【详解】（1）因为，垂直，所以.由正弦定理，得，因为，所以，，所以.（2）设边上的中线为，在中，由余弦定理得：，即①.在和中，，所以，即，，，化简得，代入①式得，，由基本不等式，∴，当且仅当取到“”；所以的面积最大值为.2．（23-24高三下·全国·阶段练习）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面积S的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）结合已知条件，先利用进行化简，再利用二倍角公式即可求，从而可求A；（2）结合三角形面积公式、基本不等式、余弦定理即可得到答案.【详解】（1）由题意可得，因为，所以．因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，可得，即．（2）由（1）知；且，由余弦定理得，整理得，解得或（当时，，故舍去），（当且仅当时取等号）．从而，即△ABC面积S的最小值为．3．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解；若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解；若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解.（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）解：若选①：在中，因为，由，可得，由正弦定理得，即，则，又因为，故.若选②：由，可得，所以，因为，所以.若选③：因为，正弦定理得，又因为，所以，即，因为，，所以，又因为，可得；综上所述：选择①②③，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，当且仅当时取等号，

则，当且仅当时取等号，则的面积的最大值为.4．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；(1)求B；(2)若，试判断的形状.(3)若，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)为等边三角形(3)【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解；（2）根据题意结合余弦定理分析求解；（3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为，则，可得，即，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，又因为，即，可得，整理得，即，所以为等边三角形.（3）由（2）可知：，即，当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为.5．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，因为、，则，可得，所以，，故.（2）解：由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，故，因此，面积的最大值为.题型三：求三角形面积（范围问题）1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，.(1)求角；(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；(3)若，求面积的取值范围.【答案】(1)；(2)，；(3).【分析】（1）法一：利用余弦定理得到，再由余弦定理计算可得；法二：利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（2）利用正弦定理及角平分线的性质得到，设，，再在中利用余弦定理求出，即可得解；（3）首先得到，利用正弦定理得到，再根据的范围及正切函数的性质计算可得.【详解】（1）法一：在锐角中，，由余弦定理得，化简得，可得，又，得.法二：在锐角中，，由正弦定理得，即，可得，又，，得，又，得.（2）在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，因为是角的平分线，故，又，故，所以，设，，在中，由余弦定理，有，解得，所以（负值舍去），所以，.（3）因为，由正弦定理，得，在锐角中，，，，即，可得，则有，，，，即，得，所以面积的取值范围为.2．（2024·四川德阳·二模）的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得，即可求得答案；（2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用为锐角三角形，求出角C的范围，即可求得a的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】（1）因为中，，即，而，故，故，又，则；（2）由（1）以及题设可得；由正弦定理得，因为为锐角三角形，，，则，则，则，即，则，即面积的取值范围为.3．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【详解】（1）因为三角形的面积为，则，所以，又，则；（2）由于，所以，即，取等号，故，故4．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角B的大小和边长b的值；(2)求面积的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合B为锐角，可得B的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求，由题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其范围．【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∵B为锐角，∴，∵，由正余弦定理可得：，整理可得，解得．（2）∵，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由题意，根据的内切圆的性质可得，选①，根据余弦定理可得，方程无解即△ABC不存在；选②，根据正弦定理可得，由可得，方程无解即△ABC不存在；选③，根据三角恒等变换可得，由（1）得，解得，可求出的周长.（2）由三角形的面积可得，再由正弦定理和两角和的正弦公式可得，结合角C的取值范围即可求解.【详解】（1）设的内切圆半径为r，因为，所以，化简得：，所以，因为，所以，选择①，因为，所以，因为，，所以，整理得，方程无实数解，所以不存在．选择②，因为，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，整理得，方程无实数解，所以不存在．选择③，由得：，所以，即，所以，因为以，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周长为．（2）由（1）知，，面积，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范围为，而面积.题型四：四边形中面积问题1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，.(1)若，求的大小；(2)若，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，先求出，再在利用正弦定理求出，利用大角对大边进行取舍；（2）把四边形的面积用题干中给出的变量进行表示，求解最值即可.【详解】（1）解：由已知，得，所以，所以.在中，因为，所以，又，由正弦定理得，得，因为，所以，所以，所以.（2）在中，由已知，所以，由余弦定理，在中，因为，又，所以所以，所以四边形的面积，因为，所以，当，即时，，故四边形面积的最大值为.2．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.(1)求角C的大小；(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可；（2）将条件转化为，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值；【详解】（1）选①：，根据二倍角公式化简得：即因为解得：或（舍去），所以；选②，根据正弦定理得：根据余弦定理得：又因为，所以；选③，根据正弦定理得：因为，解得：，所以；（2），根据数量积定义可知：所以，则有：，

如图所示：,根据正弦定理得：，因为根据基本不等式解得：，当且仅当时，等号成立，即，代入，解得：，综上四边形ABCD面积的最大值为.3．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得：，，所以.又四边形内接于圆，所以，所以，化简可得，又，所以.（2）设四边形的面积为S，则，又，所以，即平方后相加得，即，又，所以时，有最大值，即S有最大值.此时，，代入得.又，所以在中，可得：，即.所以，对角线的长为.4．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，且．(1)若，求的值；(2)求四边形ABCD面积的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由题可得，然后根据同角关系式及和差角公式求解；（2）根据余弦定理得到，然后根据三角形面积公式及三角恒等变换，可得，再根据三角函数的性质求解.【详解】（1）因为，，且，所以在中，，，所以；（2）设，，在中，由余弦定理，得，∵=，又，当时，四边形ABCD面积的最大值．5．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知圆的半径为，点在直径的延长线上，，点是圆上半圆上的一个动点，以为斜边做等腰直角三角形，且与圆心分别在两侧.(1)若，试将四边形的面积表示成的函数;(2)求四边形面积的最大值.【答案】(1)，其中(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，求出、的面积关于的表达式，相加可得出四边形的面积表示成的函数，并标出的取值范围；（2）计算出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.【详解】（1）解：由余弦定理可得，因为是以为斜边的等腰直角三角形，则，所以，，其中.（2）解：因为，则，故当时，即当时，取最大值，即.因此，四边形面积的最大值为.三、专项训练1．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形中，已知四点共圆，且.(1)求证：；(2)若，求四边形的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别在和中用正弦定理得到，然后根据，即可得到；（2）分别在和用余弦定理，再结合，得到，，最后利用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）在中，由正弦定理知，在中，由正弦定理知，因为，所以，，所以；（2）在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，因为，所以，即，解得，所以，所以，所以四边形的面积：.2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知平面四边形中，，，．

(1)若，，，四点共圆，求的面积；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理写出的表达式，结合A，，，四点共圆求出，求出的值，进而利用三角形的面积公式求解即可；（2）由（1）可得，表示出四边形的面积S的表达式得，由题意，结合三角形内角的范围及余弦函数的性质即可求解.【详解】（1）在中，由余弦定理得．①在中，由余弦定理得．②因为A，，，四点共圆，所以，因此，由①+②得，得．将代入①，得，故，因此．（2）由（1）可知，得．③四边形的面积，则．④将③式两边同时平方，得，将④式两边同时平方，得，得，化简得．

由于，，因此当时，取得最小值，此时四边形的面积最大，且，得，故四边形面积的最大值为．3．（23-24高一下·湖北·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由余弦定理得到，再根据题干中的关系可以得到，进而得到角的大小；（2）根据得到，从而确定的值，由得到，由正弦定理得到，从而由面积公式得到的面积．【详解】（1）在中，由余弦定理得，又，则，而，则．（2）因为，所以，所以，从而，，由正弦定理，得，因此.4．（2024高一下·江苏·专题练习）已知的内角所对的边分别为，向量与平行.(1)求；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，根据正弦定理求得，即可求解；（2）根据题意，利用余弦定理，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：由向量，，因为，可得，又由正弦定理，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以.（2）解：因为且，由余弦定理得，即，可得，解得或（舍去），所以的面积为.5．（2024·全国·模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．(1)求的周长的取值范围；(2)若的内切圆半径，求的面积S.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合题意与余弦定理可得，结合正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函数的范围问题，计算即可得；（2）由三角形内切圆的性质可得，结合余弦定理计算即可得，或由三角形内切圆中边长与圆相切，结合切线长定理，可得的值，再由计算即可得.【详解】（1）由及余弦定理得，，即，所以．又，所以，所以由正弦定理得，所以，，则，又因为，所以，所以，即，即，故的周长的取值范围为；（2）解法一：由（1）得，因为，，，所以，由得，从而，即，解得或（舍去），所以．解法二：如图，设圆O是的内切圆，各切点分别为D，E，H．由（1）知，所以．又因为，所以由切线长定理得，于