2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题03利用导函数研究函数的单调性问题(含参讨论问题)练习(学生版+解析)

专题03利用导函数研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 4题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 5三、专项训练 6一、必备秘籍一、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分的图象辅助解题：①令，确定其零点，并在轴上标出②观察的单调性，③根据①②画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分的图象辅助解题：①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点②观察的开口方向，③根据①②画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型①对，求②分类讨论③对于，利用求根公式求的两根，④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负⑤画出草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;(2)讨论的单调性与极值.3．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性．2．（2024·辽宁·二模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数．(1)当时，求的在上的最大值和最小值；(2)当时，求的单调区间．4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的定义域为，其中为自然对数底数(1)讨论函数的单调性；题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)试讨论的单调性；4．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.三、专项训练1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.(1)讨论的单调性.2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在上的最大值和最小值；(2)讨论函数的单调性．6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调区间.7．（2024高三·全国·专题练习）已知．求的单调区间；8．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，，讨论函数的单调性.9．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性．10．（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中.(1)若在处取得极值，求a的值；(2)当时，讨论的单调性．专题03利用导函数研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 5题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 8三、专项训练 11一、必备秘籍一、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分的图象辅助解题：①令，确定其零点，并在轴上标出②观察的单调性，③根据①②画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分的图象辅助解题：①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点②观察的开口方向，③根据①②画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型①对，求②分类讨论③对于，利用求根公式求的两根，④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负⑤画出草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.【详解】（1）当时，则，所以，因为，即切点为，所以切线方程为，即.（2）函数的定义域为，又，当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，则当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减；综上可得：当时在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减.2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;(2)讨论的单调性与极值.【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.【详解】（1）由题得，的定义域为..

的图象在点处的切线与直线l:垂直，，

解得.（2）由（1）知.①当时，恒成立.在上为减函数，此时无极值;

②当时，由，得，由，得，

在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，无极大值.

综上可得，当时，在上为减函数，无极值;当时，在上单调递减，在上单调递增.的极小值为，无极大值.3．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性，【详解】（1）的定义域为，当时，在上恒成立，所以在上单调递减，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析；【详解】（1）的定义域为，．若，则，在上单调递减：若，则由得，当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增；故当时，在上单调递减：当时，在上单调递减，在上单调递增；题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，的值，即可求得结果；（2）求得，对参数分类讨论，利用导数研究的根的大小，结合与函数单调性的关系，即可求得函数单调性.【详解】（1）当时，，，，，故在处的切线方程为：，即.（2）由题意可知：的定义域为，且，（ⅰ）若，则在上恒成立，当，则；当，则；可知在上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）若，令，则或，①当，即，则在上恒成立，当，则；当，则；可知在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，当或，则；当，则；可知在上单调递增，在上单调递减；③当，即时，则在上恒成立，可知在上单调递增；④当，即时，当或，则；当，则；可知在上单调递增，在上单调递减；综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递增；若时，在上单调递增，在上单调递减.2．（2024·辽宁·二模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）对函数求导，根据的不同范围，分别求出函数的单调性；【详解】（1），①当时，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；②当时，令，解得或，当和时，，单调递减；当时，，单调递增；③当时，令，解得或，i)当时，即时，当和时，，单调递增；当时，，单调递减；ii)当时，即时，当和时，，单调递增；当时，，单调递减；iii)当时，即时，，在上单调递增；综上所述，当时，在和单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在和时单调递增；在单调递减．3．（23-24高二下·四川南充·期中）已知函数．(1)当时，求的在上的最大值和最小值；(2)当时，求的单调区间．【答案】(1)最大值为9，最小值为；(2)单调递减区间是，单调递增区间是.【分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值.（2）求导可得，按确定的零点大小求出单调区间.【详解】（1）当时，函数，求导得，由，得；由，得或，因此函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以在上的最大值为9，最小值为.（2）函数的定义域为R，求导得，令，解得或，当时，，则；，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的定义域为，其中为自然对数底数(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求导可得，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性；【详解】（1）由题意可得：，因为，则，①当时，则在内恒成立，可知，则在上单调递增；②当时，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型1．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，结合二次函数的性质求出函数的单调区间；【详解】（1）函数的定义域为，又，又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，所以关于的方程异号的两个实数根，解得或，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）讨论的正负，从而根据导数的正负判断函数的单调性即可；【详解】（1）因为，所以，当时，，故恒成立，所以；当时，令，解得（舍去负根），令，得，此时单调递增；令，得，此时单调递减．综上所述：当时，在上单调递减;当时，在上单调递减，在上单调递增．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)试讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）求导数，分类讨论，根据导数的符号判断单调性；【详解】（1）.当时，，则在上单调递减．当时，令，得(负值舍去)，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．4．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）结合二次函数的性质，对分类讨论计算即可得.【详解】（1）时，，，所求切线方程为，整理得：；（2），因为，故时，在上单调递增，当时，对于，若，则，此时在上单调递增，若，令，得，时，单调递增；时，单调递增；时，单调递减；综上所述：时，在上单调递增；时，在、上单调递增，在上单调递减.三、专项训练1．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.(1)讨论的单调性.【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【分析】（1）对求导数，然后分类讨论即可；【详解】（1）由，知.当时，有，所以在上单调递减；当时，对有，对有，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在上的最大值和最小值；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)答案见解析.【分析】（1）求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解；（2）对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性.【详解】（1）当时，，则，令，得或，由于，所以当，，在单调递减，所以当，，在单调递增，所以在时取到极小值，且，又因为，，综上，函数在上的最大值为，最小值为.（2）因为，所以，当，即时，，在单调递增，当，即时，令，则，所以当，，在单调递增，当，，在单调递减，当，，在单调递增.综上所述，当时，在单调递增，当时，在，单调递增，在单调递减.3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析【分析】求导得，分、、、讨论可得答案.【详解】函数的定义域为，求导得，①当，即时，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减；②当，即时，由，得或，由，得，因此在，上单调递增，在上单调递减；③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；④当，即时，由，得或，由，得，因此在，上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减．4．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数，,讨论的单调性.【答案】答案见解析【分析】对函数求导后，将导函数中含参数的二次函数的分子取为，结合其图象，对其对应方程的判别式分别讨论，得到不同区间上导函数的符号，即得函数单调性.【详解】由题得，其中，令，，其图象对称轴为直线，．①若，则，此时，则，所以在上单调递增；②若，则，此时在R上有两个根，，且，当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调性.【答案】答案见解析.【分析】求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可.【详解】依题意，若，则，当时，当时.若，令，，令，解得或.若，则；若，则；若且，令，得，.若，则，当时，当时，当时；若，则，当时，当时，当时.综上所述：时在R上单调递增；时在和上单调递增，在上单调递减；时在上