江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2−1+i(i为虚数单位)的虚部是A.1 B.i C.−i D.−12.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|1≤2x≤8，A.[−1,3] B.{0,1} C.[0,2] D.{0,1,2}3.设公差d≠0的等差数列an中，a3，a5，a8成等比数列，则A.54 B.34 C.454.已知平面向量m，n满足：|m|=|n|=2，且m在n上的投影向量为−12n，则向量A.30∘ B.60∘ C.120∘5.已知α，β∈(0,π2)，tanαtanβ=1A.12 B.34 C.386.为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券;摸到两红球，可获得价值b百元代金券;摸到两白球，可获得价值ab百元代金券(a,b均为整数).已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者获得至多(    )百元代金券A.5.4 B.9 C.8 D.187.已知双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，BA.54 B.233 C.8.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2，f(1)=2，则下列结论正确的是(

)A.f(4)=12 B.方程f(x)=2x有解

C.f(x)是偶函数 D.f(x−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设正实数m，n满足m+n=1，则(

)A.mn的最小值为12 B.1m+2n的最小值为3+22

C.10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点A(0,1)和B(xA.φ=π6

B.ω=2π3

C.当x∈[−14,1]时，函数f(x)11.已知Sn是数列an的前n项和，且Sn+1=−A.an+an+1=2n−1(n≥2)

B.an+2−an=2(n≥2)

C.若a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(x+a)10的展开式中，x7的系数为15，则常数a=

.(用数字作答13.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为

．14.函数f(x)的导函数为f′(x)，若在f(x)的定义域内存在一个区间D，f(x)在区间D上单调递增，f′(x)在区间D上单调递减，则称区间D为函数f(x)的一个“渐缓增区间”.若对于函数f(x)=aex−x2，区间(0,12四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC(1)证明：2(2)若a=3102，cos16.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，四边形(1)证明：BC=BB(2)已知平面ABC⊥平面ABB1A117.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程;(2)过P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交椭圆C于另一点A，B，求证：直线AB过定点．18.(本小题12分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=(1)已知数列an是等差数列，且a1=0，求证：数列an(2)若数列an的前n项和Sn=2an−1(n∈(3)设an是等差数列，其首项a1=1，公差d<0.若{an}19.(本小题12分)已知定义：函数f(x)的导函数为f′(x)，我们称函数f′(x)的导函数f′′(x)为函数f(x)的二阶导函数，如果一个连续函数f(x)在区间I上的二阶导函数f′′(x)≥0，则称f(x)为I上的凹函数;二阶导函数f′′(x)≤0，则称f(x)为I上的凸函数.若f(x)是区间I上的凹函数，则对任意的x1，x2，⋯，xn∈I，有不等式f(x1+x2+⋯+xnn)≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n恒成立(当且仅当x1(1)试判断f(x)在(0,π2(2)设x1，x2，⋯，xn>0，n≥2，且x(3)已知a∈N∗，且当x∈(0,π2]，都有sin参考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABC

12.1213.【解答】

解：如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥P−ABCD的外接球球心在PG上，

由题意球O的半径为PO=AO=5，OG=8−5=3，

所以AG=52−32=4，PA=82+42=45，

则AB=8×214.[15.解：(1)证明：已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)

可化简为sinCsinAcosB−sinCcosAsinB=sinBsinCcosA−sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosB−bccosA=bc16.解：(1)设O为AB的中点，连接CO，B1O，AB因为CA=CB，所以AB⊥OC，因为四边形ABB1A1为菱形，∠ABB又OC⊂平面OB1C，OB1⊂平面OB因为B1C⊂平面OB因为AC1⊥B1C，AB⊂平面AC1∩AB=A，所以B因为BC1⊂平面ABC1，所以B(2)因为平面ABC⊥平面ABB1A1，且平面ABC∩平面ABB1A1所以B1O⊥平面以O为坐标原点，OC，OA，OB1所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2．则O0,0,0，C3,0,0，B0,−1,0可得AC=3,−1,0，设平面BCC1B1令x=1，则y=−3，z=1，可得设平面ACC1A1令a=1，则b=3，c=−1，可得|cos <m,n

17.解：(1)由题意，得4a2+1b2=1,b=3,(2)当直线AB斜率不存在时：A(x0,y0)，B(x0,−y0)，

由PA⊥PB知：AP·BP=(2−x0,1−y0)·(2−x0,1+y0)=0有：(2−整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，

由△>0，得6k2−m2+3>0．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−61+2k2．

因为PA⊥PB，所以kPA⋅kPB18.解：(1)因为a1=0，，设公差为d，所以Sn=n(n−1)d2

令m=n(n−1)2+1，则m∈N∗，这时Sn=am，

即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得Sn=am，．

所以，数列an是“H数列”

(2)因为数列an的前n项和Sn=2an−1

当n=1时，a1=2a1−1，所以a1=1

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−1−2an−1+1，所以an=2an−1

所以an是以1为首项，2为公比的等比数列．

所以an=2n−1，Sn=2n−1

假设数列an是“H数列”，则对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，

当m=1时，有2n−1=1，则19.解：(1)f(x)=x1+x，x∈(0,π2]，所以f′(x)=1(1+x)2，f”(x)=−2(1+x)3，

因为x∈(0,π2]，所以f″(x)<0，所以f(x)在(0,π2]为凸函数．

(2)由(1)因为f(x)在(0,π2]内凸函数，所以W=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)