2024-2025学年福建省福州四中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州四中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足|z−i|=2,z在复平面内对应的点为(x,y)，则A.(x−1)2+y2=4 B.(x−12.若角α的终边过点(4,3)，则sin(α+π2A.45 B.−45 C.33.如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，|BD|=3|DC|，如果AD=xAB+yAC，那么A.x=12,y=32

B.x=−14.已知等比数列{an}中，a1+a3A.26 B.32 C.512 D.10245.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且对任意x1，x2，均有f(x1A.y=ln|x| B.y=x3 C.6.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1A.(3,−3) B.(−4,11)

C.(3,−3)或(−4,11) D.不存在7.设f(x)=(x+a)2,x≤0,x+1x+a,x>0,若f(0)A.[−1,0] B.[−1,2] C.[−2,−1] D.[−2,0]8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于AA.2 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知X∼N(μ,σ2)，则A.E(X)=μ B.D(X)=σ

C.P(X≤μ+σ)+P(X≤μ−σ)=1 D.P(X≥μ+2σ)>P(X≤μ−σ)10.对于随机事件A，B，若P(A)=25，P(B)=35，P(B|A)=A.P(AB)=320 B.P(A|B)=16 C.11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点F1(−2,0)与到点F2(2,0)的距离之积为4，则下列结论正确的是A.点D(22,0)在曲线C上

B.点M(x,1)(x>0)在C上，则|MF1|=22

C.点Q在椭圆x26+y22=1上，若F1Q⊥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1：ax+2y−3=0与l2：3x+(1−a)y+4=0，若l1⊥l13.某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的总数是______．14.若事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=23，且A与B相互独立，则P(A∪B)=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4,C=2π3,D为AB边上一点．

(1)若D为AB的中点，且CD=3，求b；

(2)若CD平分∠ACB，且CD=16.(本小题15分)

已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±33x，左焦点为F，过A(a,0)，B(0,−b)的直线为l，原点到直线l的距离是32．

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线17.(本小题15分)

如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱DD1垂直于上、下底面，且DD1=2．

(1)证明：直线AA1//平面18.(本小题17分)

已知f(x)=a⋅bx(a,b∈R且b>0)，且满足f(3)+f(1)⋅f(5)=6，f(6)=16．

(1)求函数y=f(x)的解析式；

(2)函数y=g(x)(x>0)满足条件f(g(x))=x，若存在实数x，使得g(x+1)、g(λx)、19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx−a(x−1)x+1,a∈R．

(Ⅰ)若x=2是函数f(x)的极值点，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，求a的取值范围；

(Ⅲ)设m，n为正实数，且m>n，求证：m−nlnm−lnn参考答案1.D

2.A

3.B

4.D

5.D

6.B

7.A

8.C

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.−2

13.14

14.5615.解：(1)在△ABC中，a=4,C=2π3，因为D为AB的中点，所以CD=12(CA+CB)，

两边平方得CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，

则3=1416.解：(1)∵ba=33，

原点到直线AB：xa−yb=1的距离，d=aba2+b2=abc=32．

∴b=1,a=3.故所求双曲线方程为

x23−y2=1．

(2)把y=x+m代入x2−3y2=3中消去y，整理得

2x2+6mx+3m2+3=0．

17.解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接C1O，A1C1，

由棱台的性质知A1C1/​/AC，

又根据题意可知A1C1=2，AO=2，

∴四边形AOC1A1为平行四边形，∴AA1//OC1，

又OC1⊂平面BC1D，AA1⊄平面BC1D，

∴直线AA1/​/平面BC1D；

(2)∵DD1⊥平面ABCD，又四边形ABCD为正方形，

∴DA，DC，DD1两两垂直，

故建系如图：

∵DD1=2，∴D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,1,2)，

∴DC118.解：(1)由题可知，ab3+ab⋅ab5=6ab6=16，

解得a=14b=2，

所以f(x)=14⋅2x=2x−2，

(2)由题可知2g(x)−2=x，得g(x)=log2x+2，

所以g(x+1)=log2(x+1)+2，g(λx)=log2(λx)+2，g(x+2)=log2(x+2)+2，

若存在实数x使g(x+1)、g(λx)、g(x+2)为等差数列，

可得g(x+1)+g(x+2)=2g(λx)，

即若存在实数x，log2(x+1)+2+log2(x+2)+2=2[log2(λx)+2]，

显然x>−1，λx>0，

因为λ>0，所以x>0，

化简得(1−λ2)x2+3x+2=0，

故该方程在(0,+∞)有解即可，

当19.解：(I)f′(x)=1x−a(x+1)−a(x−1)(x+1)2=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，

由题意知f′(2)=0，解得a=94，经检验符合题意．

从而切线的斜率为k=f′(1)=−18，切点为(1,0)

切线方程为x+8y−1=0

(II)f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，

因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数，所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立

即x2+