【黎曼可积条件探究（论文）3700字】

黎曼可积条件探究目录TOC\o"1-2"\h\u276911引言 124298早在古希腊，数学家们就萌生了积分的思想——穷竭法.阿基米德最早使用 1122852黎曼可积的条件 128842.1黎曼可积的必要条件 1283162.2黎曼可积的充要条件 2760例2.2设 3289042.3黎曼可积的充分条件 8241383可积条件的延续——勒贝格积分 1135024定积分在实际问题中的应用 13202365结语 1517202参考文献 15摘要：本文先论述了黎曼可积的定义，并对黎曼可积的条件进行探究和分类，接着梳理了黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系，给出了黎曼可积条件在解题和某些实际问题中的应用．关键词：黎曼可积；勒贝格可积；闭区间引言早在古希腊，数学家们就萌生了积分的思想——穷竭法.阿基米德最早使用穷竭法进行积分运算，并在计算曲面面积和旋转体体积时广泛运用；在中国古代三国时期，数学家刘徽运用积分学思想创造了世界数学史上最精彩的割圆术；现如今，随着科学的发展，定积分与诸多学科之间的联系愈加紧密，并在处理一些实际问题时得到了广泛的应用.黎曼可积的条件在数学分析的学习过程中建立了相关定积分的概念之后，我们就会想：到底哪些函数是可积的？可积需要具备什么样的条件呢？下面我们分类讨论.黎曼可积的必要条件定理2.1函数在上可积在上必定有界.注任意的可积函数一定是有界的，但有界函数未必是可积的.黎曼可积的充要条件定理2.2函数在上可积在上的上积分与下积分相等，即 （可积的第一充要条件）.例2.1设 把相应区间等分成份，求给定函数在相应区间上的积分下和及积分上和.解（1）将闭区间平均分为个小区间，那么就是每个小区间的长，并且第个子区间为.如果设是在第个子区间上的下确界，是在第个子区间上上确界，又因为是增函数，所以， 于是， （2） 于是， （3） 于是， 例2.2设 试求在的上、下积分；并判断在上是否是可积的.解令，，由有理数和无理数的稠密性，上的分割，有 上和 下和所以， 因为 ，所以在上不可积.定理2.3函数在上可积，总存在相应的某一分割，有 即 （可积的第二充要条件）.注（在上的振幅），例2.3设函数在上有定义，且对于，存在上的可积函数，使得 .证明在上可积.证对，存在闭区间上的可积函数，总存在某一相应的分割，使 又因为 则对应分割，设为在上的振幅，则 故在上可积.例2.4证明：函数 在不可积，但在可积，说明了什么？证对闭区间上的任意一个分割：如果都取闭区间上的有理数，则 ；如果都取闭区间上的无理数，则 .由此可见，当时，的取值与的取值有关.也就是说，当时，是不存在极限的.所以函数在闭区间是不可积的.但是，对任意的来说，是恒成立的，所以函数在闭区间上是可积的.这个题目说明了，如果在某个区间上可积，但是在该区间上可能是不可积的.例2.5如果函数在闭区间上可积并且存在，有，则函数也在闭区间可积.证由于函数在闭区间可积等价于，也就是说，对于闭区间的任意分割，在它的第个小区间上，有，根据题意，存在，有，即.对函数在闭区间上用与上面相同的分割方法，在第个小区间上，有 所以对，有 故函数在闭区间上是可积的.定理2.4函数在上可积，总存在某一分割，使得属于的所有小区间中，对应于振幅的那些小区间的总长（可积的第三充要条件）.例2.6用可积的第三充要条件证明黎曼函数 在区间上可积，且 证对任给.因为满足的有理点只有有限个（设为个），所以含有这类点的小区间至多个，在其上.当时，就能保证这些小区间的总长满足 所以在上可积.因为，所以， 例2.7设在上连续，在上可积.当时，.试证在上可积.证因为在上连续，所以在上一致连续：，当，时，有 .所以做分割以后，在上，如果的振幅，则的振幅.[事实上，这时（记）则 ，从而 ，故 .]由此可见，在上，若，必有.故 .如此，，首先按找出，又有在上可积，根据定理2.4的必要性对存在分割，使得 .于是由知 根据定理2.4的充分性，这便证得在上可积.黎曼可积的充分条件定理2.5函数在闭区间上连续在闭区间上可积.例2.8若函数在闭区间上连续，则有 证函数在闭区间上连续，则.对于区间的任意划分： 则有 从而有 其中为函数在区间上的最大值，为最小值；而 因此 对，由在闭区间上的一致连续性（康托定理），将分割成个小区间，对于每个小区间，都有 再取正数，则当时， 根据极限定义的，有同理可证.定理2.6函数在闭区间上有界且只有有限个间断点在闭区间上可积.例2.9（湖南师范大学）：闭区间上的有界函数是否一定黎曼可积？解不一定！例如，狄利克雷函数虽然是有界函数，但在其任何一个闭区间都不连续.事实上，任取区间，任取其任何一个划分 ，在每个区间上都取有理点，则 ，在每个区间上都取无理点，则 .因此，在上不可积.例2.10证明：函数 与 在都可积.证（1）显然函数在上有可数个间断点： ，将分成两个区间：和.显然，在上函数是有界的，故由定理2.6可知，函数在上可积，即，当时，有 .任给的一个分法,使得，且在第个小区间上的振幅，使得，有 因此函数在可积.（2）函数在可积，在，点是间断的，根据（1）同理可证.定理2.7若是区间上的单调函数，则在上可积.例2.11（中山大学）设在上单调递增，且只有有限个间断点，则函数在上（）.（A）连续单调（B）连续但不单调（C）单调但不连续（D）既不连续又不单调解用特殊值法解.令 则 在不连续，从而否定（A），（B），单调递增，又否定（D），故选（C）.注式中当时，；当时，，都是单调的，且若而，所以，综上即证单调递增.可积条件的延续——勒贝格积分黎曼积分是数学分析中的内容，早期的积分是从路程、面积等计算中发展起来的；而勒贝格积分是实变函数论中的内容，它将积分运算扩展到任何测度空间中，从另一个角度来考虑积分的概念.就可积范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更为广泛，勒贝格积分是一定意义之下黎曼积分的推广.这两种积分相互依赖、互相补充，在特定条件下可以相互转化.有一个比喻可以形容勒贝格积分思想和黎曼积分思想的区别：假如我欠朋友一笔钱需要还，如果按照人民币金额的大小来分类，先计算每种人民币金额的总值，再相加，这就是勒贝格积分思想；如果按从钱包拿出人民币的先后次序来计算总数，这就是黎曼积分思想.那么勒贝格积分有什么作用呢？它可以把特殊的函数推至可积.比如狄利克雷函数，黎曼积分无法定义它，因为任意小的区间内都包含无理数和有理数.现用勒贝格积分来定义：闭区间的长度（测度）是1；有限点集的长度（测度）是0；无限点集的长度（测度）是0.而闭区间的长度（测度）=有理数集的长度（测度）+无理数集的长度（测度）.所以，闭区间的无理数集的长度（测度）是1.由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义.对于定义在上的函数，如果它黎曼可积，则它勒贝格可积，而且有相同积分值.因此，在解决勒贝格积分的相关问题时，首先需要看其是不是黎曼可积，如果是，那么我们就将勒贝格积分化为黎曼积分进行求解.例3.1计算在上的积分.解用截断函数求解是上的非负函数，作截断函数 显然，对每个均黎曼可积，故也勒贝格可积 于是 但是，勒贝格积分论也是有缺陷的.并非全部的黎曼可积函数都是勒贝格可积的，比如.也即，勒贝格积分虽然比黎曼积分更加广义，但是并不完全包含黎曼积分.由于勒贝格积分的某些缺陷，相关的研究工作至今仍未停止.定积分在实际问题中的应用定积分有着十分广泛的应用，它能够处理其他学科的一些问题，因此，在学习定积分过程中，我们要有意识地把握各个学科之间的联系，拓宽知识面，学会横向学习，才能更好地理解和应用定积分.例4.1在轴上，从原点到点有一线密度为常数的细棒，在点处有一质量的质点，试求：细棒对质点的引力的大小和方向；当时，细棒对质点的引力的大小和方向.解如图1所示，对应