第六章-高中数学考试及其命题技术

第六章高中数学考试及其命题技术第五节高中数学考试中的选择题及其命制技术一、选择题及其特征1.选择题及其结构选择题是一种常用的基本题型，它的基本特点是不要求考生写出解答过程，只要求考生从指定的几个选项中将正确的答案挑选出来.作为一种客观性试题，选择题往往被看作是一种最具有适应性和最有用的试题类型，被广泛应用于测量在知识、理解和应用方面等多种复杂的学习结果。一道选择题包括一个问题和一组答案。问题可以使一个直接提问或者是一个不完整的陈述，又称为题干。答案可以包括文字、数字、符号或者短语，又称为选项（或被选答案）。选择题一般要求学生阅读题干和备选答案，然后，选择一个正确的或最好的答案。每道题目的正确备选项叫做答案，其余的备选项叫做干扰项（又称为迷惑项），这是因为它们的作用就是干扰对那些正确答案有迷惑的学生做出选择。2．选择题的类型目前，选择题通常由三种形式：（1）直接提问形式。如，例1若函数y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（）（A）x=-1;(B)x=1;(C)x=-1/2;(D)x=1/2这种形式更容易编写，呈现问题也更加清楚明确，而低年龄段的学生读起来会更觉得自然。（2）不完整的陈述形式。如，例2函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（）(A)π/4;(B)π/2;(C)π;(D)2π在这道题目中，只有一个正确答案，所有其他的备选项都是错误的。如果用词巧妙的话，同样也能够清楚明确地呈现出一个问题。（3）最佳答案类型。如，例3（2000年高考数学卷第6题）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算（表见下栏）．某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）．Ａ．800～900元Ｂ．900～1200元Ｃ．1200～1500元Ｄ．1500～2000元、全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5％超过500元至2000元的部分10％超过2000元至5000元的部分15％…………需要指出的是，对于那些需要揭示一些可能的程序类的选择题中，一些程序也会比另一些程序更可取。这种选择最佳答案的题目类型，在考查学生对事实性信息的理解、应用或解释时特别有效。当然，这个最佳的答案必须确保无懈可击。在编制选择题时，一般的程序是，首先用直接提问作为题干，如果能保留题意的清楚明确，可以转换成不完整陈述的形式，以使形式更为简明。3．选择题的作用选择题是最为通用的一种测试题型，它可以测试从简单到复杂不同种类的学习结果，并且适用于大多数的数学内容。（1）用于测量知识学习结果的测量首先是术语的测量，它要求学生通过选择与所给出的术语相同意思的词语，或者给出一个术语的定义，在展示他们对某个数学术语知识的掌握情况。还可以让学生根据上下文的线索鉴别术语的含义，测查一个术语的特殊用法。其次是专业知识的测量。通常使用“何时、什么条件下、什么结果”等形式来设计。如，例4已知动点P（x,y）到定点（0，1）的距离与它到直线的距离之比为2：1，那么动点P的轨迹是（）（A）椭圆；（B）双曲线；（C）两条直线；（D）双曲线或两条直线。再次，基本原理性知识、方法和程序性知识的测量。如例5某工厂八年来某种产品总产量c与时间t（年）的函数关系如右图，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越快；②前三年中，产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（）（A）②与③；（B）②与④；（C）①与③；（D）①与④．（2）在理解和应用水平上测量学习结果主要用于鉴别应用事实和原理的能力，解释因果关系的能力，对方法和程序的辨别能力等等。如例6“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快要到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚,乌龟还是先到了终点.用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）这道题以一个美丽的童话故事为背景，从两个运动过程的图象表示为切入点，用函数图象来表示生活中的现象.这是典型的“鉴别应用事实和原理”的选择题范例。4．选择题的优先和不足选择题具有灵活的特点，不受其他常见题目类型的常见缺点的影响，可以有效地测量不同类型的知识和复杂的学习结果，可以避免填空题中经常出现的起义和含糊不清的缺点。事实上，与填空题相比，选择题的备选项可以使问题情境建构得更加清楚。选择题的另一个优点是，学生仅仅知道一个陈述是错误的时候是不能得分的，他还必须知道什么是正确的。如，判断题不能呈现一个没有对错限制的陈述，而使用选择题中的最佳答案题型可以避免这样的难题。选择题的另外两个优点是，第一，它不太受反映倾向的影响；第二，使用似是而非的干扰选项，使得测验结果具有诊断性。尽管选择题有很多优点，但也存在一些局限。集中表现在：第一，选择题局限于对于言语水平的学习结果的测量，而对于真实情境中的表现无法测量；第二，不太适用于测量问题解决技能，以及组织能力和观点陈述等内容；第三，难以找到足够多的似是而非的干扰项。二、选择题编制的基本要求当前，在高中数学考试试卷中，作为一类大题，选择题通常放在解答题的前面.近几年来，在选择题的题干部分，有时又可再分试题的背景部分与试题的内容部分两部分，虽然呈现形式主要还是“纯数学内容＋选择支”，但题干中带有问题背景的选择题已引起了广泛的关注和老师们的兴趣，已经成为了试题研究的一个新的动向，它在对数学基础知识、基本技能和空间观念的考查中发挥中重要而新的作用.从全国高中数学试卷上看，选择题主要有两种形态：单项选择题与多项选择题，而以单项选择题占绝大多数，后者多用于日常的高中数学考试中，但也出现过介于两者之间类型，如下面的试题虽然属于单项选择题，但其结构实际上是多项选择题改编而成的。例7关于函数y＝arcsinx与y＝arcsin(-x)的图象，在下列几个判断中：①关于轴对称;②关于轴对称;③关于原点对称。正确命题的序号是（）（A）①；（B）②；（C）①②；（D）①②③在高考数学试卷中，单项选择题基本上采用的是四选一的形式，即一个问题，提供四个选择项（有的叫选择支），其中只有一个是正确的，要求考生将这正确的选项选出来，选对的得满分，不选或选错的得0分；多项选择题通常也只设置四个选项，其中至少有一项是正确的，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣1分，直至扣完为止（当然也有其它的给分方式）.选择题的编制通常应遵循四个基本要求：（1）难度不宜过大，一般不应低于0.60；（2）涉及的知识点不能过多；（3）一般情况下，题干部分应简明扼要，文字量不宜过多；（4）有利于考查学生对重要概念的理解水平、基本技能的运用水平和一定的思维水平.三、选择题的编制技术选择题的编制技术可从题干的背景、数学内容的选定、与选择支的设置三个方面来说明.1.选择题的背景多数选择题并不需要赋予实际背景或其它背景，而直接陈述出来就可以了.但在一份试卷中，若有少数几道选择题设置了恰当的背景，那么这几道选择题就会给整个试卷添光增彩，同时，对考查数学的更高级思维能力也发挥了一定的作用（一般情况下，选择题主要用于考查对观念的理解与较低层次的思维水平上）.如果你想在选择题中，编制带有一定背景的题目，那么可以参照如下的思路：（1）选取一种操作性、活动性情景作为背景.这时，可把这种操作与活动中所可能出现的某些结果作为选择支（当然，有时选择支可以是假想的，但应不影响对数学内容的考查）.（2）选取一个运动性、游戏性情景作为背景（3）选取实际生活中的某个情景或场景作为背景（4）选取文字或其它美丽图案作背景例8中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前面两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）（A）1/4

（B）1/5

（C）1/6

（D）3/20这道试题以学生喜欢的游戏节目为背景来构造问题，同时，又包含了重要的数学内容―概率，因而是个可以借鉴的思路.2.数学内容的选定选择题中，对某些题目加上适当的背景是允许的.但更重要的是问题中要有好的数学.命题时，题目要考查什么和实际上考查了什么，这一点命题者是要清楚明白的.在知识点的选择上，最重要、最本质的核心内容应优先予以考虑.例9当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2001，则当x＝－1时，代数式px3+qx+1的值为（）（A）－1999

（B）－2000

（C）－2001

（D）1999这道题着重于考查学生的整体思维―我们有时可以在不确切知道或不需要知道其局部的情况下而能对全体做出准确的判断与推理，所用到的技巧是整体地实行代数代换，设计简洁、明快.其实，这里也可以理解为奇函数的应用。采用类比法，运用整体思想，可以编出不少有价值的题目.如，用函数来反映生活中的运动与变化现象，编制出与生活有联系的试题：例102003年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉了下来.下面四个图象中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是：例11如图，P（x,y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x,y都是整数，则这样的点共有（）(A)4个（B）8个（C）12个（D）16个本题看似简单，但它较好地考查了学生的空间观念、对称思想和全面考虑问题的思维习惯，同时，又能较好区分不同层次学生的思维水平.采用数学概念之间的内在关联，也可以编制出好的选择题，如，2004年湖南高考文科第9题：例12若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f'/(x)的图象是（）3.选择支的设置选择支的设计通常应遵循如下要求：（1）选择项之间不应有包含关系，否则，某一选项或几项就失去了作用，形同虚设.（2）选择项之间从表面上看来有较大的相似或相近性，即错误的选择支对正确的选择支有一定的干扰性.（3）在错误的选项中，每个选项被选择的可能性不能相差太远，即一般情况下不宜出现某一两个选项几乎没有被选的现象.（4）选择支的设计应有较大的信度，不能出现错误的解答而得到正确的结果这一现象，同时，也应当避免“学生选对了而无法判断其是否真懂”这一现象的发生.编制选择题时，选择支的设计是一个非常重要的因素.选择支的设计有很多方法，下面的几种方法可供参考：

在问题中设置两个变量来构造选择支；围绕一个主题来设置选择支；从学生可能发生的错误中设计选择支；形象地表达一个数学结论。例13点Ｏ是△ＡＢＣ所在平面内的一点，满足，则点Ｏ是△ＡＢＣ的（）Ａ三个内角的角平分线的交点Ｂ三条边的垂直平分线的交点Ｃ三条中线的交点Ｄ三条高的交点（２００５年高考，全国卷Ⅰ，文，第（１１）题）评注：此题的选择支就是围绕着点Ｃ的位置来设置的。例14设函数，若f(X0)>1，则X0的取值范围是(

)（A）（-1，1）（B）（-1，+∞）（C）（-∞，-2）∪（0，+∞）（D）（-∞，-1）∪（1，+∞）（2003年全国高考题）【解】图解法：在同一直角坐标系中，作出函数y=f(x)的图象和直线y=1，它们相交于（－1，1）和（1，1）两点，由f(X0)>1，得或X0<-1或X0>1.严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如：最后，有一个值得特别说明与重视的是：当你将一道题目改编成一道选择题，或自编一道选择题时，一定要具体地进行求解，否则可能形式上看没有问题，但求解的结果却不合题意.所以，编题与审题，首要的是发现问题，这正说明了“发现问题往往比解决问题更为重要”.四、设计选择题的一些策略Robert等学者①从客观题的设计角度给出了设计选择题的建议，这些建议给我们设计高中数学选择题提供了一些有效策略：1．题干本身应具有意义并以一个确定的问题呈现。2．题干应当包括尽可能多的内容，但与题干无关的材料应当删去。3．除非某种重要的学习结果需要，一般不使用否定式的题干。4．全部的选项都应该与题干在语法上保持一致。5．一个题目应该只有一个正确或者是明显的最佳答案。6．用来测量理解力的题目应该具有一定的新颖性，但也不要过于新颖。7．所有的干扰项都应该是似是而非的。8．避免使题干与正确答案之间存在语言联系。9．不要通过选项的相对长度来提供答案的线索。10．正确答案出现在选项中的位置应该大致平均而且是随机的。11．少用诸如“以上都不对”或者“以上都对”的选项。12．如果其他题型更合适，就不要使用选择题。①[美]RobertL.Linn&NormanE.Gronlund著，教学中的测验与评价[M]，北京：中国轻工业出版社，2003年：123

第六章高中数学考试及其命题技术第七节高中数学考试中的解答题及其命制技术一、解答题及其类型正如前文所分析的，试题的内容要求和能力要求是通过一定的形式呈现的.题型就是体现考试要求的形式.题型和考试要求的关系实质上是形式与内容的关系，不同类型的试题在考查不同知识和能力要求上有不同的功能.一个考试所采用的题型，主要取决于考试目的、内容和误差控制等要求.解答题作为高中数学考中的必备题型，包含计算（求解）题、证明题、综合题等等多种类型。解答题作为一种主观题，要求考生写出解题过程，能够比较全面地反映考生学科智力水平，展示其分析数学问题，综合运用数学知识进行逻辑思维的过程，适合对发散、综合、评价以及复杂运算、文字表达等高层次能力的考查.一定量的解答题对中学教学也有较好的导向作用.实验表明，客观题比例越大，考生对严密的逻辑推理、准确的计算和条理清楚的表达等方面则越不重视，教学上相对来说可能放松要求，对中学数学教育会产生不良影响.但解答题作为一种主观题也有其本身的不足，如对评卷者要求较高、题量少覆盖面窄，特别是难于实行机器评卷，评卷效率低等.因此，高考中不能像校内班级测验或文化大革命前试卷那样全是解答题，应定出合适的比例.近年来，高考数学科选用的题型主要有四选一的选择题以及填空题和解答题.以考生作答方式和评分方法分类，选择题、填空题应属于客观题，这是因为其评分不受评分者主观因素的影响，而解答题应属主观题.主、客观试题的比例是值得注意的一个问题，应从我国提倡的标准化考试的目的、性质出发，从本学科的知识与智能结构出发来确定题型及其比例，题型要为考试内容服务，内容决定了题型.从考试时间和题量看，近年来，全国高考数学科考试时间为120分钟，但覆盖面要求较大.数学科有近二百个知识点为达到60%~70%的覆盖面，以每题平均2~4个知识点论，要有近40个题，显然，靠解答题是不可能很好实现考查目的的，因此，必须要有一定数量的选择题以增加全卷题目数量，提高覆盖率，同时也可以提高考试的信度和效度，使解答题真正发挥其考查综合分析、逻辑推理等复杂思维过程的功能.二、解答题命制的一般步骤与选择题、填空题的试题相比，解答题的编制的自由度要大得多。这种题型的试题能够深刻地考查数学的各种能力，难度调节的范围也很宽泛。要设计一到好的解答题，一般遵循如下几个步骤①：1．选材与立意选材是编写试题的第一步，立意就是确定考查目的和核心任务，二者往往交织在一起。选材一般有两个途径：一是来自于相关的教科书、资料等中的一些基本问题，二是来自于数学研究，现实生活、科学实验等有关的数据资料或背景材料。立意包含立足点和考查意向两个方面，立足点也就是试题的中心，考查意向也就是考查目的、考查目标。一道试题可以有多种立意的出发点：当考试题目以知识立意时，多数试题将以知识内容立意；当时卷以数学能力考查为主线时，多数试题则应当以能力立意；对于那些综合性比较强和实际应用型的试题，则宜以问题和情境作为立意的基点为佳。当然，立意是核心，选材服务于立意。例1（1994年全国高考数学试题，理科）已知直线l过坐标原点，抛物线C的定点在于原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程。其立意、取材分别为②：立意：拟编一道平面解析几何的综合性试题，考查运动变化的辩证思想，逻辑思维能力和运算能力。要求难度控制在0.3左右。取材：抛物线与轴对称的有关问题，动点的轨迹问题。2．搭架与构题搭架也就是构筑试题的模坯。其间，往往伴随着题材的剪切和重组，而且，不同的题材往往采取与之相对应的结构框架。3．加工与调整试题的加工和调整，主要包括两件事情，一是确保试题科学、符合相应的课程教学的要求（不超纲），而是精心调整试题的难度，通常通过调整试题的设问方式、改变题设的条件、改变综合程度等等策略来完成。其实，长期以来，全国高考数学试卷中，选择题、填空题中多数考查基本概念和基本运算，其程度相当于课本习题，少数相当于课本复习参考题，不少试题就是通过将课本的习题和复习题进行适当的改造而成的。4．审题与复核复核工作通常需要两人以上完成，防止先入为主，确保试题考查有效性与预先的设计意图相一致；同时，复核的另一项工作就是文字功夫，也就是对试题的字词句、数学符号和图表等一一推敲，决不放过任何一丝一毫的可能隐患。三、解答题命题的特殊方法在中学数学考试中，计算（求解）题、证明题、综合题等等多种类型，是解答题的具体体现。下面我们结合高考中的典型试题，例举计算（求解）题、证明题、综合题的命题技术。1．计算（求解）题在高中数学内容的考查中，有一类以考查数或式的运算（或数与式问题的求解）为主要任务的题目，这就是计算（求解）题.对于计算（求解）题，我们不但关心解答的结果，更加关注学生的解答过程.在高中数学试卷中，单纯的计算（求解）题的综合程度不是很高，主要用于考查学生对运算技能的掌握程度与代数的分析、推理能力，它通常处于解答题中的前部或中部.计算（求解）题在编制时应遵循三个基本要求：（1）如果出现了几个知识点的连接，那么这个连接应当是自然的、和谐的；（2）如果是一个单纯的运算题，那么这个运算式的结构应当有个主题；（3）如果一个求解题中包含着两个小的问题，那么这两个小的问题之间有一定的联系是较好的.计算（求解）题一般可以分为简单计算（求解）题、复杂的计算题。简单计算（求解）题是指问题比较简单、解答有固定程序、以技能为主要考查对象的试题.对这类试题，命制时，应注意如下两点：（1）要把握好试题难度，难度可控制在0.75－0.50之间；（2）通常不附加过多的问题情景；如果有所创新，那么也主要是呈现形式上的、不影响学生答题心理的创新.如，例2（2004年辽宁高考）设全集U＝R。（1）解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R）（2）记A为（1）中不等式的解集，集合B＝，若(CUA)∩B恰有3个元素,求a的取值范围．评注：这种常规形式的式的运算、解不等式、解方程、求字母的值之类的题目，在高考试卷中，是常考的内容，它既是解决问题的一个重要部分，又是今后学习的基础.例3（2002年全国高考，文科第17题）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式；例4（2002年全国高考，理科第17题）已知sin22a+sin2acosa-cos2a＝1，a∈(0,π/2)，求sina、tga的值。例5（2005年上海春季高考试题，第18题）已知tga是方程x2+2xseca+1＝0的两个根中较小的根，求a的值.较为复杂的求解题，是指有一定挑战性的试题，亦即，通常至少在某一点或某个方面上有一定的新意，没有十分明确的解题思路，或在计算上有一定的技巧，要完整的解答出来，通常需要一定的思维能力.因此，在编制这种带有一定挑战性的试题时，一是可在知识点的组合上与平常接触到的形式稍有不同，二是在试题的构造上与已见过的形式略有差别，三是使问题确实有一定的思考性，对多数学生而言，不是一眼就可看穿的.在数与代数内容中，它主要出现在与数列、函数、解析几何等有关的带有参数问题上.在空间与图形中，它通常需要一定的推理作帮助.有时，这种挑战性的题目又突出表现在数学思想方法的运用上.例6如右下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB＝4,AD＝3,AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C-DE-C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.（2004年广东省数学高考试题）例7（2004年高考重庆卷，第18题）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为3/4，遇到红灯（禁止通行）的概率为1/4。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，§表示停车时已经通过的路口数，求：（1）§的概率的分布列及期望E§;(2)停车时最多已通过3个路口的概率。例8(2004年全国卷IV)某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？这道题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.2．证明题在高中数学中，证明题主要包括简单的代数证明题、三角证明题与几何证明题.证明题的基本特点是，它有明确的已知条件与结论，要求学生从已知条件与所学过的知识出发，通过逻辑推理来推断结论的正确性.要完成由已知到结论的逻辑链接，可采用分析法、反证法、综合法等等.因此，证明题的主要功能是考查学生的逻辑推理能力，当然，这其中也往往会涉及到合情推理与空间想像，但主体是逻辑推理.近年来，单纯的几何证明题比较少见，多数情况下，几何证明多是与其它题型结合在一起来设计的，如开放性试题、探索题等.但是，作为单纯证明题的编制研究仍是不可少的，一方面是它本身仍然是一种独立的题型，也常常在考查中发挥重要作用，另一方面是，即使它与其它题型组合在一起，作为具有独特教育功能的推理与证明也是考查的一个重要方面。编制证明题的快捷而有效的方法之一就是改编法，即是从教材或某一个所熟悉的几何或代数题出发，通过如下等途径，得到一个新的命题：（1）将原有试题的条件与结论，或它们其中的一部分互换；（2）将两个几何问题叠加在一起；（3）利用已知条件而改换图形；（4）利用已知图形而改变条件；（5）将原问题的条件作适当改变，减少或增加，可推出若干结论，将其中的一个作为结论，于是就构成了一个新的问题；（6）将问题中的一个点视作动点，当这点运动到一个新的位置时，就构成了一个新的问题；（7）将一个代数结构中的一部分改变一下，或将几个代数结构重新组合一下，便构成了一个新的问题；（8）通过几何图形翻折、命题的逆命题等等方式可以构造一个新的问题；（9）以特殊图形作基础可以构造一些新的问题；等等.例9(2004年江苏卷）已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ(x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]和|f(x1)-f(x2)|≤|X1-X2|，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足f(a0)＝0和b＝a-λf(a)(Ⅰ)证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0；(Ⅱ)证明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2；(Ⅲ)证明[f(b)]2≤(1-λ2)[f(a)]2.这道试题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。其取材实际上源于基础数学中的不动点理论。3．综合型试题的命题技术从理论上说，计算题、证明题与综合题等并不是一个无交叉的分类，计算题与证明题中往往也有综合性，计算中涉及证明，证明中涉及计算是司空见惯的，但在某种意义上说，它们各自强调的侧重点不同，在实践上作这种划分还是便于交流的.综合题，有的综合性程度比较小，有的综合性程度比较大，可以是以代数综合题、几何综合题、代数几何综合题、代数与统计综合题等等.这里的综合题是指综合性程度比较大的综合题.纵观近几年全国各地的高中数学试卷（尤其是高考数学试卷），不难发现，综合题主要有如下特点：*涉及的知识点较多.*至少涉及到一、两种有价值的数学思想方法.*问题通常由两个以上的小问题组成，且成台阶式显现.*需要灵活地运用有关知识，才能完整地解决该问题.因此，综合题注意从学科的整体高度出发，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各自发展过程中各部分知识间的纵向联系，在知识网络交汇点处设计试题。综合题对于考查学生的分析、综合能力、灵活地运用知识的能力有较大的作用.在高中数学考试中，单纯的代数综合题或几何综合题，不宜过难，多处于大题的中间位置，对于代数几何等类的综合题，因其对解答要求较高，多处于最后或靠后位置.综合题该如何编制呢？下面的方法可以参考.（1）选择适当的立意构思来编制综合题。一个好的试题要有一个好的立意与构思.立意，即确立意图，明确方向；构思，即构建框架，思索方案.选择适当的立意构思是编制综合题的一个重要因素.在高考中鉴别考生是否具有创造力的有效方法就是编制新颖的试题，要求考生应用已知的方法和知识，分析一些情境的特点，找出已知和未知的联系，重新组织若干已有的规则，形成新的规则，尝试解决新的问题.所谓新颖是相对于绝大多数考生来说，相对于用常规的方法难以解答，要求考生思维灵活、敏捷，创造性地应用知识，解决问题.例10已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2+bx+c,g(x)＝ax+b,当-1≤x≤1时，｜f(x)|≤1（Ⅰ）证明：│c│≤1；（Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，│g（x）│≤2；（Ⅲ）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.(2001年全国高考试题)这道题的设计比较新颖，没有常见的解题模式可以套用.题目以二次函数和一次函数为载体，着重考查对函数概念的理解、含绝对值不等式的性质、抽象的数学问题的具体化等.首先本题没有设计为证明某个函数的单调性，而是考查对函数单调性概念的理解和运用.其次题目中没有给出a、b、c的具体数值，而是给出比较抽象的函数表达式，要求考生根据题目的条件导出一些关系式│f（0）│≤1，f（x）=x·g（x）＋c,g（1）=f（1）－f（0），进而求出具体函数.同时本题还要求进行等式和不等式的转化，运用双边不等式－1≤f（0）≤－1得出等式c=f（0）=－1。进而，根据二次函数的极小值点，通过逆向思维求出函数f（x）的一次项系数.例11某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当的范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克.根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P＝1000（x＋t－8）（x≥8，t≥0），Q＝500（8≤x≤14）.当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格.（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？这道题是一道实际应用问题，试题密切结合当时的中国社会经济生活，背景新颖.同时题目引入了一些新的概念，如市场平衡价格、政府补贴等.试题的要求也不同于一般的数学试题，要求考生首先读懂题目，理解题目的条件和结论，将其转化为数学表达式，以便应用数学工具解决.题目根据问题的实际背景，对各参数限制了其取值范围，在数学运算过程中要求灵活地应用这些要求求解.在综合题中，通常设置几个问题，一是可以减缓梯度，避免难度急然上升，多数学生难以适从，二是可以通过不同层次问题的设置，更好的体现不同的学生得到不同的表现，使更多的学生都能够得到自己所能得到的肯定.因此，并不是说综合题的所有问题都是较难的，事实上正相反，往往前面的一两问是比较容易的，或作为到达更高山峰前的一个小山峰，或作为相对孤立一个小山峰.本题中，第（I）、（II）题是简单的，但第（III）题对学生的思维设置了一个适当的高度，虽说学生要全面地找出所有的点P不容易，但有不少学生能够达到或接近达到，其难度是允许的；同时，这种全面细致考虑问题的思维习惯与思维方式的培养正可能是数学教育贡献给学生一辈子的财富，因而对这一点的考查是有价值的.（2）通过层次多样、旨在考查综合运用各种知识解决问题的能力的综合性试题。考生解决这类问题的过程是综合运用各种能力的过程，因此，高考中对能力的考查也应强调综合考查.例12已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数的图象交于C、D两点.（Ⅰ）证明：点C、D和原点O在同一条直线上；（Ⅱ）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.这道试题考查对数函数的图象与直线的位置关系.两条平行于y轴的直线，如果与两个不同的对数函数的图象分别有两个交点，若其中一个对数函数的图象中的这两点的连线通过原点，则另一个对数函数的图象中的两点也必然通过原点。这是由于两个对数函数f（x）=logax、f（x）=logbx之间有这样的关系：logax=（logbx）/logba.在此，很难分清是用袋鼠方法研究几何问题，还是用几何方法研究代数问题，这是考查综合运用数学知识的能力和学习潜能的更高层次的要求.例13设曲线C的方程是y＝x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位后得曲线C1.（Ⅰ）写出曲线C1的方程；（II）证明：如果曲线C与C1关于点A（t/4，s/2）对称；（III）如果曲线C与C1有且只有一个公共点，证明：s=t3/4-t，且t≠0。（2001年全国高考试题，第22题）这道题的设计思想是试题能够体现代数表述及其推理与其几何背景的平衡，根据这一立意，命题选取了考生熟悉的平面曲线的平移、对称和旋转以及相互之间的关系作为出发点，讨论相应的代数表述和有关函数基本特性的代数推理.本题以三次函数设定情境，将平移、对称、相交等概念有机结合在一起，讨论曲线C与C1之间的关系。这道题很难按其所涉及具体的知识点、按一般的分类将其归入代数或解析几何类试题，而是把中学教学里函数及图象的基本概念、基本性质与曲线的几何变换（平移、中心对称）的性质，以及用代数方程研究曲线位置关系的思想方法等，许多重要内容融合在一起，命题颇具创意.（3）通过构建新的情景来编制综合题构造新的情景是编制综合题的一个重要手段.手段可以是旧的，但情景可以是新的，例如，利用运动来编题是一个常规手段，但运动的背景与运动的方式却五花八门，需要我们去创新.当然，我们还可以从其它的角度来创设情景，如应用题的背景等.例15(2004年福建卷）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+1/2n)万元（n为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？这道试题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.事实上，这道题是深受2002年“汽车的城市增容量”应用题的影响。（4）通过创新方式或借鉴相关领域的方法来编制试题独辟蹊径，以一种新的方式来构造问题是命制高水平试题的重要途径，同时这一方式也常常给他人以有益的启示.当一个新的命题切入方式，或新的命题思路，或新的命题方式出现之后，学习、借鉴、修改他人之法，是命制综合题的有效途径.这与创新的情景有所不同，这里强调的是一种思想的借鉴与发挥，而主要不是情景上的简单改变.如，2002年高考文科第22题：（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。这道题充分借鉴义务教育阶段操作型试题的特点，要求考生自行设计，将正三角形纸片剪拼成正三棱锥、正三棱模型，通过动手剪拼的实际操作，要求考生把握数学规律的内在本质，自己动手解决实际问题。这种题型有较大的自由度和思维空间，体现自主学习和主动探究精神，显现了研究性学习的特点，对于培养考生的实践能力和创新意识有重要的意义。（5）通过改造有关的试题构造新的试题。近年来，全国高考试题中，解答题中也有一定数量的基本题是课本题稍加改造而成的。即使一些难题也是在挖掘教材的基础上引伸出来的，吸收教材组题的思想，并将其进行加工、组合编制而成。下面通过对数学课本中一道典型习题的研究，看看历年试题是如何对其进行改造的。如原《教学大纲》下的数学教材第二册（上）23页习题5：求证：改造1：令|A|＝1，|B|＝t,常用对数换成以a为底的对数，得1988年全国高考题：比较与且的大小。改造2：令|A|＝x1，|B|＝x2,常用对数换成以a为底的对数，得1994年全国高考文科题：已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1,x>0)，若x1,x2∈(0,+∞),，判断与的大小，并加以证明。改造3：令|A|＝x1，|B|＝x2,常用对数换成正切函数，得1994年全国高考理科题：设f(x)＝tanx,x∈(0,π/2),若x1,x2∈(0,π/2)，且x1≠x2,，证明：。改造4：与数列结合，则得1995年全国高考最后一题：设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。（1）证明：；（2）是否存在常数c>0，使得成立？并证明你的结论。改造5：令|A|＝a，|B|＝b,则得2000年全国高考题：，则下面成立的是（）A.R<P<Q

B.P<Q<R

C.Q<P<R

D.P<R<Q。①教育部考试中心（任子朝主编），高考数学测量理论与实践[M]，北京：高等教育出版社，2005年第2版：266②教育部考试中心（任子朝主编），高考数学测量理论与实践[M]，北京：高等教育出版社，2005年第2版：268

第六章高中数学考试及其命题技术第六节高中数学考试中的填空题及其命制技术填空题是数学高考的三种基本题型之一，也是高中数学考试中的常见题型之一。研究填空题及其命题技术，对于完成高中数学教育评价具有重要作用。一、填空题及其类型1．填空题的特点填空题与选择题一样，是最基本、最常用的基本题型，它通常放在第一大题或在第二大题的位置，主要考查简单计算、简单推理、简单的空间想象以及简单的合情推理能力.解答时，它不要求学生写出过程，而只要求学生直接将结果写在题中的横线上.注重结果而不注重过程，是填空题的突出特点。正是由于这个特点，使得中学数学考试中，经常使用填空题。

一个简单的填空题通常包括三个部分：一是操作指令；二是操作内容；三是填写操作结果.2．填空题的类别按照不同的视角，填空题有不同的分类：（1）从答案的开放性看，填空题有两种形式：答案唯一确定的填空题与带有开放特点的、答案虽然有多个但只要求学生写出其中的一个或少数几个的填空题。如例1若首项为ａ1,公式为ｑ的等比数列{ａｎ}的前ｎ项和总小于这个数列的各项和,则首项ａ1,公比ｑ的一组取值可以是(ａ1,ｑ)＝＿＿＿＿＿＿.分析:这是一道结论开放型填空题,考查学生的代数推理能力.由题设有ａ1(1-ｑｎ)/（1-ｑ）<ａ1/（1-ｑ）(|ｑ|<1),∴ａ1ｑｎ>0,只须取一组ａ1>0,0<ｑ<1的数即可,如填(1,0.5).例2α、β是两个不同的平面,ｍ、ｎ是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断:①ｍ⊥ｎ②α⊥β;③ｎ⊥β;④ｍ⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:__________.分析:此题条件和结论都开放,答案不惟一.由题设可组合成四个不同命题,其中有真有假,对能力的要求较高.解答时,任意组合一个命题进行判断,正确的填入,错误的去掉,再组合判断.正确的命题有ｍ⊥α,ｎ⊥β,ｍ⊥ｎα⊥β(或α⊥β,ｍ⊥α,ｎ⊥βｍ⊥ｎ).（2）从问题的背景看，有两种类型：带有一定实际情景的填空题与不带有实际情景的的填空题；如下面的试题就属于带有一定实际背景的填空题：例3某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999.若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为____________.（3）从推理的逻辑性看，还可分为两种：以考察逻辑思维能力为主的填空题（包括简单计算）与以考察合情推理能力为主的填空题.（4）填充题还可以分为图、表填充题和文字填充题两种，前者简称为填图题，后者简称为填空题。特别地，图表型填空题信息新颖、直观、实用,能很好地考查学生运用数形结合思想和解决实际问题的能力.如2002年全国高考文科数学第13题：例4据新华社2002年3月12日电,1985年到2000年间,我国农村人均居住面积如右图所示,其中,从年到的五年间增长最快.分析:用图形来表达某种信息的填空题,令人耳目一新.这种信息题不仅关注学生的思考结果,更关注了他们的思考过程.过每个矩形的上底作平行线,观察发现上面两条平行线的距离最大,所以填1995、2000.近几年来，填空题还有不少新的发展，如将图案设计等问题放在填空题中，这也就大大拓宽了填空题的外延，也大大提升了填空题的作用.二、填空题的编制渠道填空题是一种比较容易命制的考试题，填空题的设计主要来源于常规解答题。在编制填空题时，一般所留空白均多于要求回答的字数，而且尽可能做到一道试题内和各道试题之间所留空白的长短一致，免给应考者填写答案时以不应有的暗示。从填写内容来看，编制填空题主要有三渠道：1．定量型即需要填写数值或数量关系得填空题。例如例5已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为600，则这个球的表面积与球的体积之比是________。例6抛物线y2＝4x的准线方程是_________,焦点坐标是__________。(2005年高考,北京卷,文,第(9)题)2．定性型即填写具有某种性质的数学对象，或数学对象的某种性质。如例7已知下列四个命题：①角a一定是直线y＝x·tga-2的倾斜角；②点P是线段AB上的点，若AP/AB＝3/5，则；Ｘp＝(2XA+3XB)/5③直线y＝K1X+b1到直线y＝K2X+b2的夹角公式为tga＝(K1-K2)/(1+K1K2)；④方程X2+Y2＝１与方程表示同一条曲线，其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）__________。例8如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是__________（要求：把可能的图的序号都填上）（2001年全国高考题）3．混合型即，在回答有关问题时，既需要定性也需要定量。例如：例9已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：请按曲线（A）（B）（C）（D）的顺序，依次写出与之对应的曲线方程的编号：________________。例10已知函数y=f(x)，x∈D,y∈R+,且正数C为常数．对于任意的x1∈D，存在一个x2∈D，使，则称函数y=f(x)在D上的均值为C.试依据上述定义，写出一个均值为9的函数的例子：________________.三、填空题的编制技术根据填空题所处的位置和类型的不同，数学中考填空题在编制时应遵循如下要求：（1）表达应当简洁、科学，综合性程度小；（2）操作要求要明确，操作内容要适宜、有价值；（3）涉及应用问题时，其情景亦不宜复杂；（4）难度不能过大.填空题如何编制呢？如下的实例与评注可供参考.1．问题情景的设定填空题，虽然一半以上的题目不必涉及问题情景，但近几年来，带有简单情景的填空题已经司空见惯.若试卷中，编制出了一至几个有特色、有情景的适当的填空题，那么既可有效地激发学生的解题愿望，同时也使试卷增添亮色.例11一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y＝x2/2(0≤y≤20)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.评注：本题从酒杯的形状中，提炼出数学问题，给人一种亲切的感受.例12如图所示，如果（士）所在位置的坐标为（－1,－2），（相）所在位置的坐标为（2,－2），那么，（炮）所在位置的坐标为___________。

评注：本题以象棋盘为背景，建立起与坐标的联系，使“冷冰冰”的数学有了一种活力.这种将形式化的数学用形象化的方法去表达，是适合学生年龄特征的，这也是新课程所倡导的，要加强数学与生活的联系的理念的体现.图6－12、数学内容的确定数学内容是填空题设置的核心与本质，即使在其中引入了适当的情景，但重要的还是应着重于数学内容的考查.在选择填空题中的数学内容时，应把在解答题中的、尚未考查到的重要知识放在优先位置予以考虑.（1）问题中应当包含重要、有价值的数学内容例13（重庆2004年高考，文16）．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为______________万里.评注：估算似乎是再简单不过的事，但在生活中常常用到，我们发现即使在成人中，也常常在计算工龄时发生错误.在数学上，如在求和中计算项数时就会遇到类似的问题，可见，试题的内容是有价值的.从生活中寻找出某些最基本、最简单、又适宜的个别知识作为中考试题的设计材料是个可以参考的思路.例14(福建2004年高考，理16)如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为______时，其容积最大。评注：空间图形的折叠与展开是考查空间观念的一个重要方面，是编制试题的一条思路.由于选取折叠的图形和设计问题的角度不同，将产生不同的试题.本题着重在裁去的图形中的角度上做文章.（2）试题可由改编而来利用已有的题目进行改编是填空题的一大来源.例15原题：化简.以此题作基础，变个形，再考点其它东西，可以编出如下试题：新题：当a________时，的最大值为.评注：在利用已有试题改编新题时，可以对原来的结构作一些调整，也可以增加一些其它的内容，这样，变化起来就多种多样了.许多填空题都可由代数运算题改编而来.而2004年北京高考文科第9题也与这道题有关，函数f(x)=sinxcosx的最小正周期是______________.（3）利用变换来构造试题利用几何变换、代数的变量替换等方法来构造填空题是一种良好的途径.如，将sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中的α、β分别替换为x和x+π/4，就可得到上海2004年高考理科第一题：函数y=sinxcos(x+π/4)+cosasin(x+π/4)的最小正周期T=________.例16如图5－62，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点.直线MN经过点O交AD于M，交BC于N.操作：先沿直线MN剪开，并将直角三角形MNCD绕点O旋转________度后（填入一个你认为正确答案的序号：①90；②180；③270；④360），恰与直角梯形NMAB完全重合；再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴旋转180°后所得到的图形是下列中的________.（填写正确图形的代号）A

B

C

D评注：由拼接构造问题的空间非常大，由于选取的图形不同，拼接的方式不同，那么拼接出来的图案将丰富多彩，实是一种构造问题的值得借鉴的好的想法.利用七巧板就可以造出许多类似的试题来.另一方面，本题也可看成是一道选择题，它给