数学自主训练：直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1。若圆x2+y2-2x+4y+m=0与x轴相切，则m的值为（)A.1B。7C。3或7思路解析:由于已知圆与x轴相切，因此圆的方程与x轴所在直线的方程联立的方程组的解有且只有一个，据此,将题意转化为方程组,再进一步将方程组转化为关于x的一元二次方程，根据前面的分析，此方程也应该有两个相等的实数根，则判别式为零。根据题意，得消去y，得x2—2x+m=0，因为已知圆与x轴相切,所以Δ=4-4m=0，所以m=1.因此，选A.答案:A2.已知直线l：ax-y+b=0，圆M:x2+y2-2ax+2by=0，则l与M在同一坐标系中的图形只可能是（）图2—3—（3，4)-7思路解析:由于直线l:ax-y+b=0和圆M：x2+y2-2ax+2by=0的系数相关联,因此直线l与圆的位置关系在同一个平面直角坐标系中大致是可以确定的.因为圆M的方程为x2+y2—2ax+2by=0,所以圆M一定过原点。所以排除选项A和选项C。又因为圆M的圆心坐标为(a，—b),而选项D中反映的信息是直线的斜率为负,即a＜0，而圆M的圆心在第一象限，即a＞0，因此排除选项D。因此，选B。答案：B3.曲线y=1+与直线y=k（x—2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是（)A。(,+∞）B。(，］C。（0，）D.(,）图2-3—（3，4）-8思路解析：这道题乍一看就想把两个方程联立组成方程组,然后转化为一元二次方程,根据判别式大于零可以求出k的取值范围。但是这样做正好中了命题人设下的“圈套"了，同时也反映出了“审题”不认真的“毛病”.如图所示，因为直线y=k(x-2)+4过定点(2，4）,且点C的坐标为（-2,1)，所以k的最大值为，而曲线y=1+与直线y=k（x—2)+4相切时,k的值为或不存在,所以k的取值范围为＜k≤.因此，选B.答案：B4.如图2-3—（3,4）—9,在直角坐标系中,某车床的两个传动齿轮对应是⊙O1和⊙O2，半径分别为1和2，忽略两齿轮的间隙，已知⊙O1上某一点A顺时针方向旋转的角速度为弧度/秒,当t=0时，⊙O2上一点B（5，0),当t=14秒时，B运动到B′,则B′的坐标为（）图2—3—(3，4）—9A.（4，）B。（4，）C.(2，)D。（2，）思路解析：根据⊙O1旋转的角速度为求出⊙O2旋转的角速度,然后计算出14秒后点B旋转了多少弧度，从而得到点B′的位置，计算出其坐标即可.图2—3-（3,4)—10因为⊙O1和⊙O2的半径分别为1和2,又因为⊙O1旋转的角速度为,所以⊙O2旋转的角速度为，当t=14秒时，点B逆时针旋转了×14=,如图所示。即∠B′O2B=，所以点B′的坐标为（4，3）.因此，选A。答案：A5.圆（x-1）2+(y+)2=1的切线方程中有一个是（）A.x-y=0B.x+y=0C思路解析:本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.直线ax+by=0与(x—1)2+(y+)2=1相切，则=1,由排除法，选C.本题也可数形结合，用图象法解最简捷。答案：C6。直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A.(0，—1）B.（—1,+1）C.（--1,+1)D。(0,+1）思路解析：根据题意可得,直线与圆相离，因此,圆心到直线的距离大于圆的半径，故在求出圆心坐标和圆的半径后,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离大于半径，将题意转化为关于a的不等式,从而求出a的取值范围。由圆x2+y2-2ay=0（a＞0)的圆心(0，a)到直线x+y=1的距离大于a，且半径为a，a＞0,得＞a，解得a∈（0,-1）。因此，选A.答案：A7。已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P，则点P到直线x-y—1=0的距离是______________。思路解析：求出圆心的坐标，再根据点到直线的距离公式求解。由已知得圆心为P（2,0），由点到直线距离公式得d==。答案：8.过点（1，）的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=_______________.思路解析:根据题意可以判断，定点（1,）在圆的内部，欲使所得劣弧所对的圆周角最小，则直线l必与定点与圆心的连线垂直，再根据两条直线垂直,斜率互为倒数求解.由题意可知定点A(1,）在圆（x—2)2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）,要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l⊥OA,所以kl=。答案:我综合我发展9.已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证:直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q,并求弦PQ的长。思路分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明Δ＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径。图2—3—（3,4)—11证明:设圆心O(0，0）到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=，∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1相交于两个不同点P、Q。如图所示，｜OM｜=d=，｜OP｜=1.∴｜PQ｜=2|MP｜=2·.故｜PQ|=。10。求以圆C1：x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程。思路分析:先将两个圆的方程联立组成方程组消去二次项得两圆公共弦所在的直线的方程，然后再求出弦的端点的坐标，进一步求出弦的中点的坐标和弦的一半的长，可得所求圆的方程;也可以用待定系数法根据圆系方程进行求解。解法比较简炼.解法一：联立两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x+3y—2=0。再由联立得两圆点坐标A（—1，2）,B（5,6）。∵所求圆以AB为直径，∴圆心是AB的中心点M(2，—2）,圆的半径为r=|AB｜=5。于是圆的方程为