第一章 数值积分

第一章数据处理1.2数值微分1.2.1用差商近似微商我们知道函数

在

的导数可以通过下述差商的极限得到

因此可以通过适当选取h达到用差商

近似导数的目的，这就是利用差商代替导数的思想。第一章数据处理1.2数值微分中心差商

向前差商

向后差商

1.2数值微分对于二阶导数则有：第一章数据处理第一章数据处理1.2数值微分1.2.2用插值函数计算微商方法思想：利用插值多项式的导数作为导数的近似当，则有两个节点，可以取0，1当，有三个点，可以取0，1，2（1）两点求导公式（2）三点求导公式例题：

原始数据记录10.330.250.1t/minCt/(g/L)求在t=1min，3min和5min时的反应速度。第一章数据处理1.2数值微分解：当只选取两个点1和3当课堂练习（三）x1.01.11.21.3f(x)0.250.22860.20660.1898用两点求导公式和三点求导公式求出x为1.0及1.1处的导数值：1.3数值积分一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数☞有解析表达式；☞

的原函数

为初等函数．

实际问题1.

的原函数

不能用初等函数表示例如函数:2.

有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:并不复杂,但它的原函数却十分复杂:3.

没有解析表达式，只有数表形式:1423454.5688.5原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那……怎么办呢？呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦。二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义3、求积公式的构造

若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：

若取两点，并令，则可得梯形公式（两点求积公式）则可得Simpson公式(三点求积公式)

若取三点，并令1.3.1插值型求积公式一、定义在积分区间上，取个节点作

的次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有其中，为插值余项。于是有：取Ak由节点决定，与

无关。称为插值型求积公式Newton-Cotes公式1、定义一、Cotes系数取节点为等距分布：由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数：令Cotes系数二、Newton-Cotes公式1、定义：记则求积公式变为称上式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式。注意:由式Cotes系数只与和有关,

与

和积分区间无关，且满足:2、截断误差Newton-Cotes公式的误差为:与x有关三、几种常用的低阶求积公式n=1:梯形公式代数精度=1n=2:Simpson公式代数精度=3n=4:

Cotes公式代数精度=5,这里1.3.2求积公式的代数精度定义：如果求积公式对于不高于m次的代数多项式都能精确成立，而对m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。例1:对梯形公式

解：令

首先将代入左边=b-a，右边=b-a代入左边=，右边=

代入左边=，右边=所以梯形公式的代数精度为1。例2确定以下求积公式的待定系数，使其代数精度尽可能高又由于3、代数精度定理：含有n+1个节点利用插值公式来确定的数值积分公式，它至少具有n次代数精度。

我们可以用余项的思想来理解此定理：令所以左边=右边，至少为n次。作为插值型求积公式，具有次代数精度，阶Newton-Cotes公式至少而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？定理当阶数为偶数时,Newton-Cotes公式至少具有次代数精度。证明:只需验证当为偶数时,Newton-Cotes公式对的余项为零。由于

,所以

即得引进变换,因为为偶数,故为整数,于是有据此可断定

,因为上述被积函数是个奇函数.1.3.3复化求积公式

高次插值有Runge现象，怎么办？可采用分段低次插值来解决高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定。而低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求，怎么办？可将积分区间分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。

复化梯形公式：在每个上用梯形公式：=

Tn

复化梯形公式积分法

复化Simpson公式：44444=

Sn

复化Simpson公式积分法

复化Cotes公式：=

Cn

收敛速度与误差估计：定义：若一个积分公式的误差满足，且

，则称该公式是p

阶收敛的。~~~例:利用数据表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464计算积分解：这个问题有明显的答案取n=8用复化梯形公式=3.138988494取n=4

用辛普生公式=3.141592502运算量基本相同1.3.4变步长求积公式1）梯形公式的加速由前面的误差分析得，复化梯形求积公式的截断误差为

类似根据复化梯形公式的截断误差为

两式相比可得：即：

假设已知，，则2）辛普森公式的加速类似梯形加速公式的导出，由的截断误差为

可得，如何证明？？1.3.5龙贝格积分例:计算已知对于

=106

须将区间对分9次，得到T512=3.14159202考察由来计算I

效果是否好些？=3.141592502=S4一般有：Romberg序列

Romberg算法：<

?<

?<

?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0T

T4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型

根据数据点的分布规律

根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准实验数据有误差,不能要求1.4最小二乘曲线拟合

偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小为使所有偏差的绝对来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b

令满足:使得解此线性方程组即得a,b称为法方程组(注意其特点)例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解:

通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程组解得故所求经验公式为0027.0074924.8137.628140208.5717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.

在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据:57.641.931.022.716.612.28.96.53691215182124123456