14用一元二次方程解决问题

1.4用一元二次方程解决问题【推本溯源】1.解决应用题的一般步骤：步骤内容摘要注意事项1.审审题目，分清已知量、未知量、等量关系等等量关系往往体现在关键词句中2.设设未知数，有时会用未知数表示相关的量一般要带单位3.列根据题目中的等量关系，列出方程方程两边单位要统一4.解解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰一般不必写出解方程的过程5.检检验方程的解能否保证实际问题有意义一般两个根中只有一个符合实际意义6.答写出答案，切忌答非所问注意带上单位2.解下列应用（1）已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．解：设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12x)，依题意得：x(12x)＝32，整理得x²12x+32＝0，解得x1＝4，x2＝8，当x＝4时12x＝8；当x＝8时12x＝4．答：这两个数是4和8．数字问题（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：

100c+10b+a.

（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x2，x+2.（2）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1﹣x）²=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．平均变化率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

①增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

②.降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

（3）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，那么每轮传染中平均传染了多少人？解：设每轮传染中平均传染了x人由题意得：x+1+（x+1）x=169即：（x+1）²=169解得：x1=12，x2=14（舍去）答：每轮传染中平均传染了12人.传播问题：从传播的第二轮中可以抽象出一元二次方程，设a为传染源，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为a（x+1）².（4）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m²？解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x²﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．几何图形问题各种规则图形的面积、体积、周长公式，常涉及三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想（5）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=5，x2=8，又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，答：应将销售单价定位56元．商品销售问题利润=售价进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

【解惑】例1：若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是_____．【答案】7【分析】解方程，求出方程的解，根据两位数的十位不为0从而求出答案．【详解】依题意解方程：，又因为是两位数，所以十位数字是7，故答案为：7．【点睛】此题考查了用因式分解解一元二次方程，关键是正确求解方程，并结合题意两位数的十位确定出取值．例2：有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了___人．【答案】12【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则一轮传染后共有人患了流感，两轮传染后共有人患了流感，由此列一元二次方程，即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，由题意可知：，整理得：，解得，（舍去），因此每轮传染中平均一个人传染了12人．故答案为：12．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出一元二次方程．例3：如图，在一块长米、宽米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草．要使绿化面积为平方米，则修建的路宽应是多少米？

【答案】1米【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去），则道路的宽应为1米．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键．例4：如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染．(1)平均每人每轮感染多少人？(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值．【答案】(1)人(2)【分析】（1）设平均每人每轮感染人，开始是个人，则第一轮感染人，第二轮感染人，根据经过两轮传播，共有人感染，得出关于的方程，解方程即可得出结果；（2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的可知，第三轮的传染人数为，根据第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍列出关于的方程求解即可．【详解】（1）.解：设平均每人每轮感染人，根据题意得，，解得，（舍去），答：平均每人每轮感染人；（2）依题意得：，解得，答：的值为．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键．例5：一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．(1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；(3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由．【答案】(1)，(2)20元(3)不能，理由见解析【分析】（1）设每件衣服降价x元，根据题意列出代数式即可；（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可；（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可.【详解】（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．故答案为：，；（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，依题意得：，整理得：，解得：．又∵需要让利于顾客，∴．答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；（3）商家不能达到平均每天盈利1500元，理由如下：设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，依题意得：，整理得：．∵，∴此方程无解，即不可能每天盈利1500元．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．【摩拳擦掌】1．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是（

）

A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想【答案】D【分析】依题意，一元二次方程的几何解法，构造图形解方程，体现的熟悉思想是数形结合，据此即可求解．【详解】解：依题意，造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是数形结合思想,故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程与图形面积，数形结合是解题的关键．2．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】设绿地长为x米，则宽为米，根据矩形绿地的面积为1000平方米列出方程即可．【详解】解：设绿地长为x米，则宽为米，根据题意得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的面积公式．3．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4．一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，因此．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．5．参加宴会的人两两彼此握手，在某次宴会中，出席宴会的人一共握了次手，那么出席这次宴会的人数是________人．【答案】10【分析】设出席这次宴会的人数是人，根据一共握了次手列出方程，解方程即可．【详解】解：设出席这次宴会的人数是人，根据题意得：，解得：，（舍去），即出席这次宴会的人数是10人．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．6．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒．后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，设每盒价格降低元，则可列方程为___________．【答案】【分析】设每件商品售价降低元，根据“每天盈利16000元”列出一元二次方程即可．【详解】解：设每件商品售价降低元，平均每天可售出盒．依题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．8．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可；（2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得，（不符合题意，舍去）．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为；（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得，解得：．答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可．9．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．【答案】16或49【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可．【详解】设一位数为，则两位数为．则根据题意可得：，

整理得：．分解得：，解得：，．答：这个两位数为16或49．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．10．（2020秋·广东清远·九年级期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．(1)当长度是多少时，矩形花园的面积为米；(2)能否围成矩形花园面积为米，为什么？【答案】(1)米(2)不能，理由见解析【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论；（2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园．【详解】（1）解：设，则，依题意得：，整理得：，解得：，．当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意．答：当长度是时，矩形花园的面积为．（2）不能，理由如下：设，则，依题意得：，整理得：．，该方程无实数根，不能围成面积为的矩形花园．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．11．（2023·河南开封·统考一模）阅读材料，解决问题．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．则第n个三角数可以用（且为整数）来表示．(1)若三角数是55，则______；(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和；(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．【答案】(1)10(2)(3)不能，理由见解析【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可；（2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案；（3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论．【详解】（1）解：由题意得，，即，∴，解得（负值舍去），故答案为：10；（2）解：由题意得：前n行所有点数的和为；（3）解：不能，理由如下：假设能为120，则，即解得：，∵n为正整数，∴前n行的点数和不能为120．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．12．（2023·上海·八年级假期作业）一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．【答案】或【分析】设个位数字为，则十位数字是．再建立方程，再解方程即可．【详解】解：设个位数字为，则十位数字是．根据题意可得：，整理得：．分解得：，

解得：，．答：原来的两位数是或．【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题，确定相等关系列方程是解本题的关键．【知不足】1．（2023·江苏南通·统考二模）有人患了流感后，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出一元二次方程即可求解．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程,故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设有人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：，故选：A．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．3．（2023·全国·九年级假期作业）如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程．【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为，6个矩形小块的面积和为，．故选A．【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成的大矩形的长和宽．4．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图所示，…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．；；；请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律：_________．若，则___________．【答案】15【分析】根据给出的数字，抽象出相应的数字规律，进行作答即可。【详解】解：∵；；；，∴，∴，∴，解得：或（舍去）；故答案为：。【点睛】本题考考查数字规律探究。解题的关键是通过已知数据，抽象概括出相应的数字规律。5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）某件服装厂促销一种服装，原来每件每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为__________．【答案】【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后为，第二次降价后为，然后根据每件的价格由原来的200元降为现在的98元即可列出方程，解方程即可．【详解】设平均每次降价的百分率为x，依题意得，∴，∴，解得，（舍去）．即：平均每次降价的百分率为．故答案是：．【点睛】此题主要考查了一元二次方程增长率问题的应用，一般两次增长的公式为原来的量后来的量，增长用＋，减少用−．6．（2023·全国·九年级假期作业）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．【答案】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．7．（2023·重庆·统考中考真题）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________．【答案】【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程．【详解】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．第二个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有，故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．8．（2023·上海·八年级假期作业）某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？【答案】元【分析】根据等量关系式：单件利润销售量总利润，列方程求解即可．【详解】解：设这种衬衫每件涨价元，由题意可得，整理可得：，解得：，，当时，可卖件数：，当时，可卖件数：，要减少库存量，售价应定为每件（元）．答：售价应定为每件元．【点睛】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，找出等量关系式，进行正确求解是解题的关键．9．（2023·全国·九年级假期作业）要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为．

(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？(2)若给定墙长为，则墙长a对题目的解是否有影响？【答案】(1)养鸡场的长为或，宽为或；(2)当时，题目无解；当时，题目只有一个解；当时，题目有两个解．【分析】（1）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数．【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，依题意，得：，整理，得：，解得：，∴或．答：养鸡场的长为或，宽为或；（2）解：当时，题目无解；当时，题目只有一个解；当时，题目有两个解．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023·上海·八年级假期作业）圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？【答案】31人【分析】设昂立共有师生人，再建立方程：，再解方程即可．【详解】解：设昂立共有师生人，由题意可得：，整理得：，解得：，（负值舍去）．答：昂立共有师生31人．【点睛】本题主要考查互送卡片问题，一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键，注意由于每人都要送到，因此不用除2．11．（2023春·八年级单元测试）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，设平行于墙的边长为．(1)若围成的花圃面积为时，求的长；(2)如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成花圃，如果能，求的长；如果不能，请说明理由．【答案】(1)的长为米；(2)不能围成花圃，理由见解析．【分析】（1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长；（2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；【详解】（1）解：根据题意得，，则，∴，因为，所以舍去，所以，答：的长为米；（2）解：不能围成花圃，理由如下：根据题意得，，方程可化为，∴，∴方程无实数解，∴不能围成花圃；【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．12．（2023春·北京东城·八年级汇文中学校考期中）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：第一步：将原方程变形为．即．第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得，．

(1)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；(2)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．【答案】(1)，2，12，(2)见解析【分析】（1）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案；（2）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意可得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：，长方形面积之和为：，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，，故答案为：，2，12，；（2）解：第一步：将原方程变形为，即，第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，，

第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为，小正方形边长为常数，长方形面积之和为常数，由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程，两边开方可求得，．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：，解得：（负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．【一览众山小】1．（2023·浙江·一模）取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去4个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），则这张长方形纸板的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设这张长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，根据包装盒的容积为，得，解方程即可．【详解】设这张长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，根据题意，得，解方程，得（不合题意，舍去），，∴厘米，∴厘米．∴这张长方形纸板的周长为84厘米．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题的关键．2.（2023·全国·九年级假期作业）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为()BC．D．【答案】C【分析】设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，再利用矩形的面积公式计算即可．【详解】解：设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米，依题意得：，故选：C．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程．3．（2023·重庆·西南大学附中校考三模）某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树500棵，第三年植树720棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．【详解】解：设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意得，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意、找准等量关系是解题的关键．4．（2023·湖南永州·统考中考真题）某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，，故选：B．5．（2023·全国·九年级假期作业）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（

）个人．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：，即，解方程得(舍去)，即每轮传染中平均一个人传染了10个人；故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．6．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，原正方形铁皮的面积为，则无盖箱子的外表面积为（）

A．1 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根据题意，得出原正方形铁皮的边长为，从而得到原正方形铁皮的面积为，即，解得，从而得到无盖箱子的外表面积为，即可得到答案．【详解】解：正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，原正方形铁皮的边长为，原正方形铁皮的面积为，又正方形铁皮的面积为，，解得，无盖箱子的外表面积为，故选：D．【点睛】本题考查方程的实际应用，读懂题意，准确表示出各个边长，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键．7．（2023·全国·九年级假期作业）空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（）

A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法【答案】A【分析】设矩形的边为x米，则宽为米，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，设矩形的边为x米，则宽为米，

根据题意得：，即：，解得：，，而，∴，∴，∴只有一种围法，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．8．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，边在x轴上，点B的坐标是，D为边上一个动点，把沿折叠，若点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作轴于点，先利用待定系数法求出直线的解析式为，从而可设点的坐标为，则，再根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得．【详解】解：如图，过点作轴于点，

矩形的边在轴上，边在轴上，点B的坐标是，，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则，由折叠的性质得：，在中，，即，解得或（不符合题意，舍去），，，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质、一元二次方程的应用，正确求出直线的函数解析式是解题关键．9．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．【答案】【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023·内蒙古·二模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批棕子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋棕子售价降低x元，则可列方程为____________．【答案】【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，∴超市每天售出此种粽子的利润．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．（2021秋·广东河源·七年级校考期中）某批发店将进价为元的小商品按元卖出时，可卖出件，已知这种商品每件涨价元，其销售量就减少件．若要赚得元利润，设每件涨价元，则满足方程____．【答案】【分析】设每件涨价元，小商品的利润为元，再根据每件涨价元其销售量就减少件得到该商品的销售量件，再根据根据总利润单件利润销售数量即可解答．【详解】解：设每件涨价元根据题意，可得方程，故答案为；【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意明确题目中的数量关系与等量关系是解题的关键．12．（2023·全国·九年级假期作业）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是______．【答案】1米【分析】设道路的宽为．由题意可得：，解方程即可求解．【详解】解：设道路的宽为．由题意可得：，整理得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．∴道路的宽为米．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．13．（2023春·安徽合肥·九年级统考阶段练习）某家电超市销售一款智能水壶，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件水壶每降价元，超市平均每天可多售出件，若超市销售水壶平均每天要赢利元，每件水壶应降价多少元？【答案】元【分析】设每件水壶应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用商场每天销售该款水壶获得的总利润每件水壶的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件水壶应降价元．【详解】解：设每件水壶应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，依题意得：，整理得：，解得：，．又要尽快减少库存，符合题意．答：每件水壶应降价元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．14．（2023·全国·九年级假期作业）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低1元，则平均每月可多卖出20本．设每本科普读物的售价降低元．(1)小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出600本．”请判断小宇的说法是否正确，并说明理由；(2)若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2860元，销售经理甲说：“在原售价的基础上降低3元，可以完成任务”，销售经理乙说：“在原售价的基础上降低1元即可”，请判断甲、乙两人的说法是否正确并指出应采取谁的意见．【答案】(1)不正确，理由见解析(2)甲、乙两人的说法都正确，应采取销售经理甲的意见【分析】（1）根据题意卖出600本得到销售价格，发现低于成本则不能获利，故不正确；（2）据题意列出一元二次方程，解出结果后得出结论．【详解】（1）解：小宇的说法不正确，理由是：根据小宇的说法可列方程，解得，∵售价为，∴此时亏本销售，与题意不符，∴小宇的说法不正确．（2）解：由题意得解得，，∴两人的说法都正确．∵由于增加销售量可以减少库存，∴应采取销售经理甲的意见．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．15．（2023春·江苏·八年级期末）某体育用品店销售一种运动鞋，当每双的零售价为300元时，每天能卖出10双，经过调研发现，当单价降低10元，每天就能多卖出10双，但是单价不能低于200元，按此规律，如果该店某天销售这种运动鞋的销售额为396