14角平分线（备作业）2021-2022学年八年级数学下册(北师大版)

1.4角平分线一、单选题1．如图，在中，，为的角平分线．若，则点到的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据题意作出点D到AC的距离ED，再根据角平分线的性质求解即可．【解析】解：如图所示，过点D作于点E，则ED的长度为点到的距离．∵为的角平分线，，，，∴ED=BD=4．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键．2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．【解析】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，∴点P到OB的距离为5，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（）A．9 B．6 C．3 D．4.5【答案】C【分析】作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案．【解析】解：过点C作CN⊥OA，∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，∴S△COM=，∴，∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB，∴CN=CM=3．故选C．【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．4．如图，，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意先证明平分，然后根据四边形内角和求得度数，则结果可求．【解析】∵，∴平分，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，则AC长是()A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【解析】解：作DF⊥AC于F，如图：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（）．A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】过作，垂足为，利用角平分线的性质证出，再利用全等的性质和勾股定理建立等式运算求解即可．【解析】解：过作，垂足为∵为角平分线，，∴∵，∴∴在中，∴∴整理可得：∴解得：故选：【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟悉利用角平分线的性质证三角形全等是解题的关键．7．下列说法正确的有（）①角平分线上任意一点到角两边的距离相等②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据角平分线的性质定理和判定定理逐一判断即得答案．【解析】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确；在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误，三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确；综上，正确的说法是①④，有2个．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用“HL”证明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°∵AD=AD，∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意；∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，∵AG=AG，DG=DG∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意；根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．如图，在中，，，，点是三条角平分线的交点，若的面积是，则的边上的高是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，由题意易得OE=1，然后根据角平分线的性质定理可求解．【解析】解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，如图所示：∵OC平分∠ACB，∴OE=OF，∵的面积是，AC=3，∴，∴OF=OE=1；故选A．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】B【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°−∠OBA−∠OAB＝180°−∠CBA−∠CAB＝180°−（180°−∠C）＝90°＋∠C，①错误；∵∠C＝60°，∴∠BAC＋∠ABC＝120°，∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°−60°−60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB＋AC＋BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）•a＝ab，③正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．二、填空题11．如图，在中，，AD平分，，，则的面积是_______．【答案】5【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，，∴DE=DC=2，∵，∴△ABD的面积．故答案为：5．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．如图，已知，且，则点C在________的平分线上，点A在________的平分线上．【答案】【分析】连接AC，根据角平分线的判定定理以及直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可．【解析】解：连接AC，∵，，∴AC平分，∴点C在的平分线上，，∵，∴，∴，即AC平分，∴点A在的平分线上，故答案为：，．【点睛】此题考查角平分线的判定定理，直角三角形的两个锐角互余的性质，熟记角平分线的判定定理是解题的关键．13．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是_____．【答案】3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．14．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________．【答案】5【分析】过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积．【解析】解：过作于点，是边上的高，平分，，，故答案为：5．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．15．如图，在中，，平分交于点．（1）若，，则点到的距离是______；（2）若，点到的距离为6，则的长是______．【答案】315【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可求解；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可求解．【解析】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BCBD=85=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即点D到AB的距离是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案为3；15．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟记性质并作出辅助线．16．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．【答案】6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC=S△ACP+S△ABPS△BPC即可得解.【解析】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC=S△ACP+S△ABPS△BPC=×AC×PQ+×AB×PH7.5=×3（AC+AB）7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=×3×97.5=6cm2【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．17．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是_______.【答案】2【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴△ADE≌△ADF∴AE=AF，故正确结论的个数是2.18．如图，中，，的角平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于点，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的结论的序号是__________．【答案】①②④【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝DF，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．【解析】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝DF．∴①正确．②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝30°．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴ED＝AD．同理：DF＝AD．∴DE＋DF＝AD．∴②正确．③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，又∵∠E＝∠BMD＝90°，∴∠EBM＝90°．∴∠ABC＝90°．∵∠ABC是否等于90°不知道，∴不能判定MD平分∠ADF．故③错误．④∵DM是BC的垂直平分线，∴DB＝DC．在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴BE＝FC．∴AB＋AC＝AE−BE＋AF＋FC又∵AE＝AF，BE＝FC，∴AB＋AC＝2AE．故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：．【答案】证明见解析【分析】根据角平分线性质定理可得，再证明，即可得到答案．【解析】证明：∵平分，∴，在和中，∴∴【点睛】本题考查角平分线性质定理，三角形的性质和判定，灵活应用知识点结合图形思考分析是解题重点．20．如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．）【答案】答案见解析【分析】到OA和OB的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上；到点C、D的距离也相等，则点P还应该在CD的中垂线上，那么P点就是∠AOB的角平分线和CD中垂线的交点．【解析】【点睛】本题考查角平分线和线段中垂线的实际应用，理解它们的概念才能正确解题．21．如图所示，已知，DM平分，AM平分．求证：M是BC的中点．【答案】见解析【解析】解析：首先过点M作，再根据角平分线的性质可得，，进而得到．答案：证明：如图，过点M作，∵DM平分，，，∴，又∵AM平分，，∴，∴，∴M是BC的中点．题型解法：证明本题的关键在于对角平分线性质的理解，以及作出正确的辅助线，从而根据角平分线的性质解题．22．如图，点P为和的平分线的交点．求证：点P在的平分线上．【答案】见解析【解析】解析：欲证点P在的平分线上，只需证明点P到AC与CN的距离相等即可，可以分别作出点P到BM，AC，CN的垂线，结合题意证明即可．答案：证明：如图，过点P作于点E，于点F，于点G，∵点P为和的平分线的交点，∴，，∴，∴点P在的平分线上．23．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点O，画射线，交于点E．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）40゜【分析】（1）利用平行线的性质及角平分线的性质解答；（2）利用等边对等角的性质求解．【解析】解：（1）证明：∵，∴．由作图可知，是的平分线，∴，∴；（2）∵∴．∴．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的画法及性质，等边对等角的性质，熟记角平分线的画法是解题的关键．24．如图，中，是的角平分线，，求证：．【答案】证明见解析【分析】先利用等角的余角相等得到∠BCD=∠A，再利用角平分线定义得到∠ACE=∠DCE，接着利用三角形外角性质得∠BEC=∠ACE

+∠A

=∠DCE

+∠BCD，即∠BEC

=∠BCE，于是可判断BC=BE，然后根据等腰三角形的性质易得EF=CF．【解析】CDAB，∠BDC=

90°，∠BCD+∠CBD=

90°，∠A

+∠CBD

=

90°，∠BCD=∠A，CE是∠ACD的角平分线，∠ACE=∠DCE，∠BEC=∠ACE

+∠A

=∠DCE

+∠BCD，∠BEC

=∠BCE，

BC

=

BE，，EF=

CF．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，涉及余角的定义，角平分线和三角形外角，有一定综合性，难度一般，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．25．如图，AD是的角平分线，EF是AD的垂直平分线．求证：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】解析：（1）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；（2）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到；（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．答案：证明：（1）如图，连接AE，设AD与EF相交于点Q，∵EF是AD的垂直平分线，∴，，在和中，∵∴（SSS），∴；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴，在和中，∵∴（SSS），∴，∵AD是的角平分线，∴，∴，∴；（3）由（1）知，，∴，又∵，∴，∵，∴．易错：证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴，在和中，∴（SAS），∴．错因：角不是夹角，随意找三个条件证明全等．满分备考：掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定的应用，可以快速解决有关线段相等，角相等或距离相等的问题．26．已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．（1）如图2，若，且，则________，_______．（2）求证：．（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）【分析】（1），且，再结合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分线，再结合三角形内角和定理即可求解；（2）在上截取，连接，可证，故，，从而可得，所以进而可证得：（3）由，可得，，，又是的平分线，可得，故是的平分线，所以是的平分线，故，又，所以和的数量关系即可求解．【解析】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵是的平分线，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案为：36，126（2）在上截取，连接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴点E到CA、CB的距离相等，又∵是的平分线，∴点E到AC、AB的距离相等，∴点E到BA、BC的距离相等，∴是的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．【点睛】本题考查了三角形外角