14核心考点突破训练分式计算及应用（原卷版）

1.4突破训练：分式的计算及应用类型体系类型1：与分式有关的规律探究典例：观察下面的变形规律：，，……解答下面的问题：(1)若n为正整数，请你猜想___________．(2)若n为正整数，请你用所学的知识证明．巩固练习1．观察下面的等式：，，，……按上面的规律归纳出一个一般的结论______（用含n的等式表示，n为正整数）．2．观察下列等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：；根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第个等式：______；（2）计算结果等于______．3．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：(1)计算：若n为正整数，猜想=___________(2)(3)若，求的值4．附加题：观察下列等式：，，，，将以上三个等式两边分别相加得：，用你发现的规律解答下列问题：(1)直接写出下列各式的计算结果：①______．②______．(2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：______．(3)解方程：．5．观察下列式子：以上变形的过程称为“分离系数法”，可以看作是分式加减运算的逆运算，这是解决有关分式问题的一种常用的数学思想与方法，请同学们认真探索它们的规律，并回答下列问题：(1)根据以上式子填空：①．②．(2)按照上述规律，将分式进行“分离系数法”为常数，且；(3)当x取哪些正整数时，分式的值为整数？6．阅读理解并回答问题．观察下列算式：……(1)填空：＝＝；(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：．(3)请用（2）中的规律解方程：．7．观察下列式子：，，，，……按照上面式子的规律，完成下列问题：(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：①，②；(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为＝（）（不必写出字母的取值范围）；(3)验证这个规律．8．观察下列一组等式：第①个等式：；第②个等式：；第③个等式：；第④个等式：．根据你观察到的规律，完成以下问题：(1)第⑤个等式为______；(2)用n的式子表示第个等式为______；(3)若等式是符合上面规律的等式，27是的一个平方根，求a的值．9．探索发现：＝1﹣；＝根据你发现的规律，回答下列问题：(1)＝______；＝______；(2)利用发现的规律计算：+…+．10．观察下列式子，并探索它们的规律，，，……(1)试用正整数n表示这个规律：______；(2)当时，试计算：；(3)请你尝试解方程：11．观察下列各等式：①；②；③；④…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明其正确性．12．观察下列等式：，，，把以上三个等式两边分别相加得：．这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．(1)猜想并写出：＝______．(2)规律应用：计算：；(3)拓展提高：计算：．13．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．14．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：按照以上规律，解决下列问题；(1)写出第5个等式：______；(2)写出第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明；(3)计算：15．观察下列各式：，(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；(2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．16．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”．例如与，解：，，是的“关联分式”．(1)【解决问题】已知分式，则，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．(2)和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：解：设的“关联分式”为B，则，，．请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．(3)【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：________．类型2：分式的化简求值典例：先化简：，再从一元一次不等式的解集中选择一个你喜欢的数代入求值．巩固练习1．已知，那么______．2．（1）计算：；（2）先化简，再求的值，其中是不等式的非负整数解．3．先化简，再求值：，其中，．4．当时，求的值．5．先化简，再求值：，其中．6．先化简，再求值：，从，，0，1，2中选择一个有意义的数求值．7．求代数式的值，其中．8．已知非零实数a、b、c、x、y、z满足，求的值．9．先化简，再求值：，其中．10．我们定义：如果一个代数式有最大值，就称之为“青一式”，对应的最大值称之为“青一值”．如：是“青一式”，它的“青一值”为4．(1)以下代数式是“青一式”的有___________（请填序号）①

②

③

④(2)如果实数请判断代数式是否为“青一式”？如果是，请求出它的“青一值”，如果不是，请说明理由．(3)①已知，求“青一式”的“青一值”，并求出此时x和y满足何种条件？②求代数式在范围内的“青一值”．11．先化简再求值：(1)，其中(2)，并从，0，2中选一个合适的数代入求值．12．已知，求代数式的值．13．先化简，再求代数式的值，其中．14．先化简：，再从1，，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．15．先化简，再求代数式的值，其中．15．先化简，再求值：，其中．17．先化简，再求值:，其中．18．先化简，再求代数式的值，其中．19．先化简再求值：，其中类型3：与分式有关的纠错问题典例：学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：老师发现这两位同学的解答过程都有错误.请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.（1）我选择哪位同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）（2）该同学的解答从第几步开始出现错误（填序号），错误的原因是什么.（3）请写出正确解答过程.巩固练习1．若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是(

)A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对2．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（

）甲同学：乙同学：A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错3．在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（

）甲同学：乙同学：A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错4．为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（

）………………甲………乙………丙=—2……丁A．10分 B．20分 C．30分 D．40分5．乐陵市某中学八年级教师为鼓励学生合作学习设计了一个接力游戏——用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的情况是（

）A．只有甲出错 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁6．已知a、b为实数且满足a1，b1，设M，N，则下列两个结论（

）①ab1时，MN；ab1时，MN.②若ab0,则MN0.A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错7．如图，是淇淇对分式化简求值的计算过程，嘉嘉看了以后说淇淇的计算步骤中有错误，则从上一步化简到下一步时，开始出错的步骤是（

）

①

②

③④A．① B．② C．③ D．④8．小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上，则甲、乙两块地的撒播密度比为（）A． B． C． D．9．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）第三次操作；将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：①；②当时，；③若，则；④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，．以上结论正确的个数有（

）个．A．4 B．3 C．2 D．110．如图，设（），则有（）A．0＜k＜ B．＜k＜1 C．1＜k＜2 D．k＞211．有这样一道题：“化简求值：其中．”小明误把写成，最后的计算结果也是正确的，这是什么原因？12．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：甲同学：=

第一步=

第二步=

第三步乙同学：=

第一步=

第二步=

第三步老师发现这两位同学的解答过程都有错误．(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：13．（1）计算：．（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：已知，求的值．原式第一步第二步第三步所代入上式，得原式第四步第五步．第六步任务一：填空：①在化简步骤中，第______步是进行分式的通分．②第_____步开始出错，这一错误的原因是______．任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．14．计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：小明：

①

②小亮：

③

④(1)判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，则找出最先出错的式子：______（填序号）．(2)请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．15．（1）计算：．（2）下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．解：……第一步……第二步．……第三步①小明的解答过程从第______步开始出错；②请你写出正确的解答过程．16．请你阅读圆圆同学的解题过程，并回答所提出的问题．计算：＋．圆圆的解法原式＝……①＝……②＝……③问：圆圆在第步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确的解答过程．17．（1）先化简，再求值，其中x为方程x2﹣4＝0的根．（2）小刚在学习一元二次方程时，解方程2x（x﹣3）＝（3﹣x）的过程如下：原方程可化为2x（x﹣3）＝﹣（x﹣3）．（第一步）方程两边同时除以x﹣3，得x＝﹣．（第二步）小刚的解答过程是从第

步开始出错的，请写出正确的解答过程．18．（1）解方程：①②（2）学习“分式”一章后，老师写出下面的一道题让同学们解答．计算：，其中小明的解答过程如下：解：原式=………………（第一步）=………………（第二步）=………………（第三步）=………………（第四步）上述计算过程中，是从第步开始出错，请写出正确的解答过程．19．下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．（1）填空：①以上化简步骤中，第步进行的是分式的通分，通分的依据是.即为：；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；（2）请直接写出该分式化简后的正确结果：（3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．……第一步……第二步……第三步……第四步……第五步……第六步……第七步20．（1）计算：（2）化简：．小江的解答如下：①②③小江的解答过程从第______步（填“①”或“②”或“③”）开始出错，请你写出正确的解答过程．58．下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．……①……②……③上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．21．下面是小明化简的过程解：＝①＝②＝﹣③（1）小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步？（2）求当x＝时原代数式的值．22．某同学化简分式出现了错误，解答过程如下：解：原式＝

（第一步）＝

（第二步）＝－

（第三步）（1）你认为该同学的解答过程是从第几步开始出错的？（2）写出你的解答过程．23．计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：甲同学：

①②③④乙同学：①②③④老师发现这两位同学的解答过程都有错误.请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正.（1）我选择________同学的解答过程进行分析.（填“甲”或“乙”）（2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________；（3）请写出正确解答过程.24．某学生在化简求值：，其中x＝时出现错误，解答过程如下，原式＝（第一步）＝（第二步）＝（第三步）当x＝是，原式＝（第四步）（1）该学生解答过程从第步开始出错的，其错误原因是．（2）写出此题的正确解答过程．25．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：老师发现这两位同学的解答都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．（1）我选择同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解答从第步开始出