新课程新教材高中数学选择性必修3：全概率公式

第七章随机变量及其分布

7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式

条件概率1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称

P(B|A)

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.热身训练——回顾旧知2.已知

(

)A.

B.

C.

D.

热身训练——回顾旧知C解:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则C条件概率概率的乘法公式一、探入与展示引例：一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为0.6，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？假设A1=“第一次摸到红球”A2=“第一次摸到黑球”B=“第二次摸到红球”A2A1B

易知,A1∪A2=Ω，且互斥，

一、探入与展示引例：一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为0.6，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？A2A1B一、探入与展示引例：一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为0.6，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？A2A1B所以，第2次摸到红球的概率是0.6.

加法公式

乘法公式

按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.B

思考：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并,根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？A1A2A3AnA4…B

加法公式

乘法公式全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=_______________.=_______________.二、探读与思考A1A2A3AnA4…B10二、探读与思考例1：某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”,

A2=“第1天去B餐厅用餐”,B=“第2天去A餐厅用餐”，B0.50.5A2A10.60.8

设事件

根据题意P(A1)=P(A2)=0.5,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.8,由因求果三、探疑与点拨

写概率例1：某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+

P(A2)P(B|A2)=0.5✖0.6+0.5✖0.8=0.7因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.BA2A10.50.50.60.8

代公式由因求果三、探疑与点拨【小结】全概率公式求概率的步骤：1.设事件：把事件B（结果事件）看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An

看作导致结果的若干个原因；2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai

)),

且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai

))；3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)

).由因求果

例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.2,求他迟到的概率．解：设A1＝“乘火车去”,

A2＝“乘轮船去”，

A3＝“乘汽车去”,A4＝“乘飞机去”，

B＝“迟到”.

易知,A1∪A2∪A3∪A4=Ω，

且两两互斥，

BA1A2A3A40.30.20.10.40.250.30.10.2由因求果设事件四、引导与迁移

例2：某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘坐这四种交通工具迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.2,求他迟到的概率．由已知得

P(A1)＝0.3,P(A2)=0.2，

P(A3)＝0.1,P(A4)＝0.4，

P(B|A1)＝0.25,P(B|A2)＝0.3，

P(B|A3)＝0.1,P(B|A4)＝0.2，

=0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0.2=0.225BA1A2A3A40.30.20.10.40.250.30.10.2由因求果写概率代公式四、引导与迁移16

变式：例2中，条件不变，问题变为：

“他迟到了，求他乘汽车迟到的概率”．贝叶斯公式已知结果四、引导与迁移求原因分析：就是计算在B发生的条件下，事件A3发生的概率.对分子用乘法公式

分母用全概率公式9*贝叶斯公式

k

P(Ai

)P(

B

|

Ai

)i

1P(A

|

B)

P(Ak

)P(

B

|

Ak

) ; k

1,

2,...,

n,

证明:由条件概率的公式:kP(

B)

P(A

|

B)

P(Ak

B)

P(Ak

)P(B

|

Ak

)

.

P(Ai

)P(

B

|

Ai

)i

1对分子用乘法公式对分母用全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两