盈亏问题-2016.11.18-莱布尼茨

盈亏问题知识点：把若干物品平均分给一定数量的对象，若有剩余则称为盈，若不够则称为亏。研究这一类算法的应用题就成为盈亏问题。基本的盈亏问题有三种类型：盈亏型：（盈+亏）÷两次分配差=份数盈盈型：（大盈—小盈）÷两次分配差=份数亏亏型：（大亏—小亏）÷两次分配差=份数有盈有亏相加，单盈单亏相减。【例1】★（学而思网校）精灵王子把一箱水果分给同学们，如果每人分4个，就多15个；如果每人分7个，就少12个。有多少名同学呢？这批水果有多少个？【答案】9名;51个【解析】差量分析：每人4个，盈15个每人7个，亏12个（盈+亏）÷两次分配差=份数（15+12）÷（7-4）=9（名）4×9+15=51（个）【例2】★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）把一些糖果分给小朋友们，如果每个人分到4颗，则多16颗；如果每位小朋友分6颗，则剩下4颗。问小朋友有几名？这些糖果有几颗？【答案】6名;40颗【解析】差量分析：每人4个，盈16颗每人6个，盈4颗（盈-盈）÷两次分配差=份数（16-4）÷（6-4）=6（名）4×6+16=40（颗）【例2】★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）将月季花插入花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶插6朵，则缺少1朵。求月季花的朵数和花瓶的只数。【答案】41朵;7只【解析】差量分析：每瓶8朵，少15朵每瓶6朵，少1朵（亏-亏）÷两次分配差=份数（15-1）÷（8-6）=7（只）7×6-1=41（朵）【例4】★（学而思网校）老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多。如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，就只剩下12个苹果。请问：这一堆苹果一共有多少个？【答案】48个【解析】前面例题分的份数相同，份数的量不同。这道题是量相同份数不同。两次相差21-12=9（个）苹果，造成相差9个苹果的原因是第二次多分了12-9=3份第一次：分成9份，剩21个第二次：分成12份，剩12个相差3份相差9个一份=9÷3=33×9+21=48（个）【例5】★★（学而思网校）魔法小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3个人则多出7人，若每条长椅上多坐4人，则多出3条长椅。问：到会议室开会的少先队员有多少人？【答案】28人【解析】第一次每条3人多7人第二次每条3+4=7人少3×7=21人（21+7）÷（7-3）=7（条）3×7+7=28（人）【例6】★★（学而思网校）圣诞节要到了，老师给同学们准备礼物，如果每个盒子里放入2件礼物，最后会多10件礼物；如果每个盒子放入3件礼物，最后会多4个盒子，那么老师一共准备了多少件礼物，多少个盒子？ 【答案】54件;22个【解析】前面例题是把水果分给同学，此题相当于把礼物分给盒子。礼物和盒子总量都不变差量分析：每盒2件，多10件每盒3件，多4个盒子=少12件礼物（盈+亏）÷两次分配差=份数（10+12）÷（3-2）=22（个）22×2+10=54（件）【例7】★★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍多少间？住宿学生有多少人？【答案】45间;574人【解析】前面例题是把水果分给同学，把礼物分给盒子。此题相当于把同学平均分给宿舍。第一次：每间12人，多34人每间14人，少14×4=56（人）（盈+亏）÷两次分配差=份数（56+34）÷（14-12）=45（间）45×12+34=574（人）【例8】★★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船：如果每条船坐6人，则多出4条船。公园里有多少条船？三（1）班学生有多少人？【答案】14条;60人【解析】学生分给船第一次每船4人多4人第二次每船6人少24人（24+4）÷（6-4）=14（条）14×4+4=60（人）【例9】★★（学而思网校）老猴给小猴分桃子，如果每只猴子分4个桃子，则多出28个桃；如果有4只猴子每只分6个桃子，6只猴子每只分4个桃，其余的都分5个桃，则正好分完。那么一共有几只小猴和多少个桃子？【答案】30只;148个【解析】此题解题关键是第二次分配没有平均分，统一第二次小猴们分得的桃数。四只猴每人拿走一个，变成每只猴5个桃子。再给6只猴子每人一个桃子，变成每只猴5个桃子。得第二次分配少6-4=2个桃。差量分析：每猴4桃，多28个桃每猴5桃，少2个桃（盈+亏）÷两次分配差=份数（28+2）÷（5-1）=30（只）30×4+28=148（个）【例10】★★（学而思网校优酷）幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个缺2个，已知大班比小班多3个小朋友。这筐苹果共有多少个?【答案】70个【解析】分的份数不同变相同第一次每人5个（多3人）多10个第二次每人8个缺2个第一次每人5个（人数相同）多25个小班人数（25+2）÷（8-5）=9（人）苹果9×8-2=70（个）【例11】★★（陕西人民教育出版社小学奥数A版举一反三四年级）一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到8分钟；如果以每分钟60米的速度行走，就可以提前5分钟到校。这个学生出发时离上课时间有多少分钟？【答案】70分钟【解析】第一次每分钟50米少400米第二次每分钟60米多300米（400+300）÷（60-50）=70（分钟）【例12】★★（新东方论坛）钢笔比圆珠笔每支贵1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？答案】11元【解析】可以看做第一次把钱分给5支钢笔，第二次分给8支圆珠笔。份数不同先变相同。第一次5只钢笔少1元5角第二次8只圆珠笔多6角第二次8支钢笔少9元（9-1.5）÷（8-5）=2.5（元）2.5×5-1.5=11(元）【例13】★★（北京市第五届“迎春杯”试题改编题）来到游乐场后，乐乐请小朋友们划船，如果增加1条船，则每条船正好坐4人；如果减少1条船，则每条船上正好坐6人，如果租一条船租金50元，则乐乐要付多少钱？【答案】250元【解析】第一次每船坐4人多4人第二次每船坐6人少6人（4+6）÷（6-4）=5（条）5×50=250（元）【例14】★★（优酷学而思培优）精灵王子买来一篮橘子分给大家，如果其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个。求橘子有多少个？同学们共有多少人？【答案】22个橘子；同学8人【解析】把不平均分配改为平均分第一次4个（2人）每人2个（其余）多4个第二次6个（1人）每人4个（其余）少12个第一次分配公平后每人2个多6个第二次分配公平后每人4个少10个（10+6）÷（4-2）=8(人）8×2+6=22（个）【例15】★★★（优酷学而思培优）小巧读一本小说，如果每天读30页，则比规定的日期迟一天读完全书；如果每天读35页，则最后一天要少读5页；如果每天读33页，最后一天要读多少页才能按规定的日期读完这本书？【答案】42页【解析】此题相当于把一本小说页数分给固定的天数第一种每天30页多30页第二种每天35页少5页第三种每天33页（30+5）÷（35-30）=7（天）30×（7+1）=240（页）140-（6×33）=42（页）【例16】★★★★（2008年第六届“走进美妙的数学花园”初赛）包包打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字，前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字。这篇文稿一共多少字？【答案】3840个【解析】晚饭后的时间640÷32=20（分钟）晚饭前的时间50-20=30（分钟）晚饭前比晚饭后多打30-20=10（分钟）文稿的字数640×（30÷10）×2=3840(个）【例17】★★★（新东方论坛）苹果和梨各有若干只。如果5只苹果和3只梨装一袋，苹果还多4只，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只。那么梨和苹果共有多少只？【答案】132只【解析】此题相当于把水果分给袋子第一次苹果分给袋子之后，盈余4只第二次苹果分给袋子，还有4只袋子没有分到苹果，亏28只第一次每袋5苹3梨多4只第二次每袋7苹3梨少7×（12÷3）=28只（28+4）÷（7-5）=16（袋）16×（5+3）+4=132（只）【例18】★★★（学而思网校）思思带了一些钱去买苹果，如果她买5千克小苹果，还会剩下32元；如果买6千克大苹果，就只能剩10元钱。一只小苹果比大苹果每千克便宜3元，请问小苹果多少钱一千克？【答案】4元【解析】5千克大苹果共比小苹果贵3×5=1532-（10+15）=77-3=4（元）第一次5小剩32元第二次6大剩10元第二次6小剩10+18=28元（32-28）÷（6-5）=4（元）【例19】★★★（学而思网校）涛涛在商店门口发放优惠券，一开始他准备给每个人100元的优惠券，结果剩下350元，他决定每个人多给20元。这时从其它地方闻讯又赶来了5个人，如果他们每个人拿到的优惠券和其他人一样多，涛涛还需增加550元，那么原来有多少人呢？【答案】15人【解析】此题的难点在于：两次分配的份数不一样第一次每个人100元多350元第二次每个人120元（比第一次多5个人）少550元首先要做两步处理：（1）把第二次人数变成和第一次人数相等人数相等时，此时的钱数是盈是亏先把这5个人的优惠券要回来120×5=600（元）600-550=50（元）说明第二次和第一次人数相等时多50元则（350-50）÷20=15（人）【例20】★★★★（学而思网校）有4名同学原计划合买一台电脑，费用大家均摊。后来隔壁宿舍的两名同学也加入进来一起来，并且电脑由于促而降价了1000元，于是每个人将比原来少出850元。则电脑的促销价是多少钱？【答案】7200元【解析】此题的难点在于：两次分配的总量也不一样，份数也不一样并且第一次均摊的总量和每份的钱数都没有给出条件。促销降价1000元第二次6个人每个人少出850元统一总量：第二次是按促销价，如果第一次也按促销价，应该是：第一次4个人每个人少出250元电脑按促销价，这4个人本来应该每人少出250元，现在少出了850元。（850-250）×4=2400（元）这差价是由隔壁寝室的两名同学承担的，一人承担：2400÷2=1200（元）第二次6人出了1200×6=7200（元）也就是电脑的促销价。1000÷4=250（元）（850-250）×4=2400（元）2400÷2=1200（元）1200×(4+2)=7200（元）【例21】★★★★（学而思网校）幼儿园准备了很多梨和苹果，苹果总数是梨的4倍。每个小朋友分得9个苹果和2个梨后，还剩下了2个苹果和4个梨，那么原来一共有多少个梨？【答案】32个【解析】此题的难点在于：一次分两种不同的物品