大学高数第一节-无穷小

北京工业大学高等数学第一章无穷小与极限1.1无穷小

1.1.1数列无穷小1.数列的定义数列是指定义在正整数集上的函数依按自变量增大的次序,数列的对应值可以排成称为数列的通项(或一般项),数列简记为例如,数列简记为简记为简记为简记为数列中的每个数称为数列的一项,2.数列的几何表示法数列中的每一个数都可用数轴上的一个点来表示,这些点的全体就是数列.称为n趋于无穷大，3.数列的变化过程包含两个相关的无限过程：n的主动变化:不断增大(每次加1).即n从1开始，一定可以大于每个固定的正数.记为何为无限增大？即与0的距离可以如果可以小于任意给定的正数.那么就无限接近于0.

任意小,概述为：

无论给定一个多么小的正数

都可以有

只要即可.数列是无穷小.

此时我们称当n无限增大时,何为无限接近于0？定义1.1(数列无穷小)

如果对于任意给定的正数都存在正整数N,使得当时，不等式成立，记为或则称数列是无穷小.

设为数列，几何解释:只有有限个

(至多有N个)落在其外.定义:定理1.1(无穷小比较定理1)

设为无穷小,则也是无穷小.使得对于所有正整数

n,

如果存在正数

C,例1证明:如果则为无穷小.例2证明下列数列都是无穷小：

且例3设则数列不是无穷小.注:1.1.2时函数无穷小

我们用表示x无限增大的过程，只要.x可以大于任意给定的正数.不妨设任意给定的正数

我们称时，是无穷小.可以小于什么叫无限增大？则定义1.2(时函数无穷小)

如果对于任意给定的正数总存在正数X,当时,有记为或设在有定义,c为常数

.则称当时，为无穷小.

如果则称当时,

为无穷小,

记为记为如果当都是无穷小,则称当时,

是无穷小,

的几何意义:完全落在带形区域内.函数的图形有例4用定义证明:当时,

为无穷小.证取所以,当时,

为无穷小.同理,当或时,

也是无穷小.定理1.2(无穷小比较定理2)

如果存在常数类似于定理1.1,有是无穷小.设当(或)时,

也是无穷小.则当(或)时,

例5设则当时,

为无穷小.例6证明当时,

为无穷小.例7证明当时，不是无穷小.1.1.3时函数无穷小表示且可以任意小.特别地,当时,

是无穷小.定义1.3(时函数无穷小)

设函数在点x0某去心邻域内有定义.有则称当时，是无穷小.

记为或有则称当时，是无穷小.

记为或则称当时，是无穷小.

记为如果当时,

都是无穷小,注意：是否有定义无关.点有的定义可简写为当或时,都是无穷小.类似于定理1.1和定理1.2,有定理1.3(无穷小比较定理3)

设当时，是无穷小.也是无穷小.则当时，如果存在常数例8证明:如果则当时,是无穷小.例9证明例10证明例11设证明1.1.4

无穷小的统一定义如果对于任意给定的正数自变量变化趋势的不同,不等式成立的范围不同.把不同情形下的无穷小统一表述为:或则

a共有七种不同情况：

当函数定义域为正整数时，

当函数定义域为实数集时，a可以取

为简单起见,一般可以用等表示无穷小.定义1.4设在点a的某个空心邻域内有定义，都存在点a的空心邻域若记作或注意：1.无穷小函数随自变量变化的一种特殊变化趋势.例如,2.零是无穷小,但无穷小不一定等于零.3.不能把无穷小与很小的正数相混淆.就不是无穷小.3.无穷小的分类.

正无穷小负无穷小且在点a的某个空心邻域内

如果成立，定理1.4(无穷小的比较定理)

其中

为常数.1.1.5

无穷小的性质定理1.5(局部有界性)

）

邻域内有界.

若则在a的某个空心定理1.6有限多个无穷小之和为无穷小.例13设为n次多项式,且则

注意:无穷多个无穷小之和不一定是无穷小.

定理1.7

无穷小与有界函数的乘积为无穷小.都是无穷小.例如,当例14证明推论1.1

有限个无穷小的乘积是无穷小.1.1.6无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义1.5设在点a的某个空心邻域内有定义，都存在点a的空心邻域若记作或则称时为无穷大,分别称为正无穷大和负无穷大；说明:1.如果把上面定义中的分别改为

就得到的定义,(1)两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;(2)有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;(3)恒不为零的非无穷小(或无穷大)与无穷大2.由无穷大的定义容易证明：之积仍为无穷大.无穷大与无穷小的关系则当时,有设在a的某空心邻域内有定义,意义:有关无穷大的讨论,都可归结为无穷小的讨论.使得定理1.8设在点a的某个空心邻域内有常数定义.如果当时,且存在例15证明证2不妨设

因于是先证明所以故例16证明在内无界,但当不是无穷大.证显然

所以在内无界;所以不是无