顶尖计划河南省2023届高三年级上册第一次考试 数学理科试题高中数学解析

“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

崔八A={x|X=2〃+3,〃£N},JB={X|x2-18x-40<0

1.已知集口i,则中的元素个数为（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式化简集合8,再根据已知列出不等式，求解判断作答.

【详解】解不等式妙―I8x-40＜0得:-2<x<20,即5={x|—2<x<20},而

A=x\X=2〃+3,〃£N},

517517

由一2<2〃+3<20解得:——<n<—,又〃EN,显然满足——＜几＜一的自然数有9个,

2222

所以中的元素个数为9.

故选：B

2.已知复数2=」^，则2=（）

2+1

3「36

A.1B.-D.3

55

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法化简复数Z,利用复数的模长公式可求得结果.

3i3i3i(2+i)36.,36345

【详解】因为z=^=有=(2-i)(2+i)=.W+9’因此'忖=

故选：C.

rr

3.已知非零向量a、b满足a=匕，且+则<〃,/?>=()

71712兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得出(2£+石)出=0,利用平面向量数量积的运算性质求出cos的值，结合平面

向量夹角的取值范围可求得结果.

【详解】因(2a+B)_LB,贝”2Q+B)・B=2卜FWcos<。,五〉+忖=0,

,.,忖=忖，可得cos<a,B>=-g,

-*■—►―(■-*27c

因为04<。力〉《兀，因止匕，<a,b>=—.

故选：C.

3

4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为一，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至

4

少命中两次的概率为()

279279

A.—B.—C.—D.—

32166432

【答案】A

【解析】

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.

【详解】解：因为每次命中目标的概率均为一，且每次命中与否相互独立，

4

所以连续射击3次，至少命中两次的概率P=[1—=

故选：A.

5.已知函数/(%)=2sinx+3cos]在兀=。处取得最大值，则以%。=()

A3岳R2V13「2而N3A/13

A.-------D.-------C.---------

13131313

【答案】A

【解析】

【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.

【详解】/(x)=2sinx+3cosx=V13sin(x+6)),其中。锐角，sin，=3岳

13

TT

因为当X=0处取得最大值，所以0+，=万+2公乙k0z,

JI

即0=——0+2kji,kGZ,

所以cos夕=cos^-e+ikn

故选：A

6.已知定义域为R的偶函数小)满足〃x)+/(4—x)=0,且当了《[—2,2)时，/(x)=x2—4,则

f(2021)=()

A.-3B.-1

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，探讨出函数”无)的周期，再结合已知函数式求解作答.

【详解】因R上的偶函数/(工)满足/(%)+/(4-幻=0,即有"4—x)=—/(%)=—"—%),则

/(8-x)=-/(4-x)=/(-x),

因此，函数/(X)是周期为8的周期函数，/(2021)=7(252X8+5)=/(5)=—/(—1)=-[(-I)2-4]=3.

故选：D

7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述「'今有圆堡墙(dao),周四丈八尺，高一丈一尺”，意

思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为()(注:1丈=10

尺，万取3)

A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据

勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.

【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：

则6C=11,2/AB=48,即AB=8,

假设点。为圆柱外接圆的圆心，即AO为外接圆的半径，且5D=DC=—,

2

在RtZ\ABD中，AB*2+BD2=AD~解得AD2=94.25，

则外接球的表面积S=4万-A。？=U31，

故选：B.

8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去AB,C三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少

去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）

A.28种B.32种C.36种D.42种

【答案】C

【解析】

【分析】先将甲、乙看成一个元素,然后先分组后排列可得.

【详解】将甲、乙看成一个元素4然后将A、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有=6种,再

将3组分到3个不同小区有A；=6种，所以满足条件的安排方法共有6x6=36种.

故选：C

9.已知角c的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（狐T）,其中m<0,若

7[nm

cos2a=---,则tana+

25I~T()

142

A.2B.——C.——D.

234

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数定义求出tanc,再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.

222

■、斗即、什日古上，42•?coscif-sincif1-tana7

【详角牛】依题思，tana--->0,又cosla=cosa-sina=—z------i-=----i----

mcosa+sina1+tana25

4

解得tana=—，从而得加=一3,所以

3

sing-fcos«

,7raI、,3兀、13

tant6zH---)=tsn(a----)=

22cosCtz-^)-Sinatana4

故选：D

10.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点R且斜率为—I的直线交。于A、B(其中A在x轴上方)两

点，交C的准线于点且|A3|=16,O为坐标原点，贝|」|。闾=()

A.2B.272C.2A/3D.275

【答案】D

【解析】

【分析】将直线A3的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出"的值,

可求得点/的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得10Ml的值.

【详解】抛物线C的焦点为/准线方程为x=-T，

直线AB的方程为y=—[x—,设点A（X],yJ、B（%2,j2）,

联立<,=一1%—万]可得x2_3px+乏=0,A=9p2-p2>0,

2D4

[y=2px

由韦达定理可得+%2=3。，则=%+w+。=4，=16,可得j»=4,

JQ------

可得《2,即点M（—2,4）,

y=P

因此，\OM\=^（-2）2+42=2^/5.

故选：D.

11.已知/。)=2/+(4—2)d—3x是奇函数，则过点P(—l,2)向曲线y=〃尤)可作的切线条数是()

A.1B.2C.3D.不确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出。，再求出函数〃无)的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程

求解作答.

【详解】因函数/*)是奇函数，则由/(-%)+/(%)=0得2(a—2)炉=0恒成立，则。=2,

即有/(x)=2x3-3x,/(x)=6"3,

设过点P(-l,2)向曲线y=/(%)所作切线与曲线y=/(x)相切的切点为Q(x0,2片—3%),

而点P(—1,2)不在曲线y=f(x)上，则6片-3=2%-3%-2,整理得以；+6焉—1=0,

%+1

即(2%+1)(2只+2/-1)=0,解得x0=_g或/=T；百,即符合条件的切点有3个，

所以过点尸(一1,2)向曲线y=f(x)可作的切线条数是3.

故选：C

22

12.设双曲线「：.―2T=1(。〉0涉〉0)的左、右焦点分别为点耳(—c,0),鸟(c,0),过点p(—2c,o)且斜

率为J的直线与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点,若|PN|=3|PM|,且直线&N的斜率为3,

则r的离心率为()

A.叵B.叵C.立D.好

2222

【答案】B

【解析】

【分析】通过题意可以得到直线PN和直线N&的方程，两条方程联立可以得到N的坐标，代入双曲线

即可求出答案

【详解】解：由题意可得直线尸N的方程为y=g(x+2c),直线N居的方程为y=3(x—c),

，18c

y=—(x+2c)"―5(8c9c)

所以‘2V,，解得:，即N=二,

“\9c<55J

[J=3(x-c)[y=y

222

将M(85c9Tc1代入双曲线6可4c2得箸81c一鲁即2645c/81c

25(C2-«2)-'

64,281=]

所以2525(1—1]—，因为e>L所以《=半

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(为=1。82。-1)+。在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数。的取值范围为.

【答案】(—1,0)

【解析】

【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解

【详解】解：由对数函数的性质，可得了(%)为单调递增函数，且函数,⑺在(2,3)上有且仅有一个零

点，

所以/(2>/(3)<0,即a-(a+l)<0,解得—l<a<0,

所以实数。的取值范围是(-1,0),

故答案为：(—1,0)

14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:/(%)=.

/"(x2)；②

①/(%1X2)=/(xJ+当xe(0,+8)时，/(尤)单调递减;③/(X)为偶函数.

【答案】logJH(不唯一)

2

【解析】

【分析】根据对数函数性质即可做出判断.

【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底0<“<1即可，性质③只需将自变量X加绝对

值即变成偶函数.

故答案为：i°g/N(不唯一)

2

15.已知平面上的动点尸到点0(0,0)和A(2,0)的距离之比为且，则点P到x轴的距离最大值为.

2

【答案】473

【解析】

【分析】设P(x,y),然后根据题意列方程化简可得点尸的轨迹是以(-6,0)为圆心，4出为半径的圆，从

而可求得答案.

【详解】设P(x,y),

因为动点尸到点。(0,0)和A(2,o)的距离之比为更,

2

所以

x2+y2_3

(x-2)2+y2-4)

4x2+4y2=3(%2-4x+4)+3y2,

x2+y2+12x^12

(x+6)2+V=48,

所以点尸的轨迹是以(-6,0)为圆心，为半径的圆，

所以点尸到x轴的距离最大值为4G，

故答案为：4^/3

16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图

所示，有一架无人机在空中P处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在A8处观察该无人机(两人的身

高忽略不计)，。为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m,甲观察无人机的仰角为

45°，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度尸C，则这两个角可以是.(写出所有符

合要求的编号)

①44c和NABC；②44c和NR4B;

③和NPA4；④NR4B和NABC

【答案】①③④

【解析】

【分析】①：根据已知先解AABC得AC,然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解APAB得

PA,然后可得；④：先由最小角定理的N54C,解AABC可得AC,然后可得.

【详解】①：当已知的C和NA3C时，在AABC利用内角和定理和正弦定理可得AC,然后在

■△R4c中，由三角函数定义可得PC,故①正确；

②：当已知NBAC和NR43时，在AABC已知一角一边，在△PAB中已知一角一边，显然无法求解，故

②错误；

③：当已知和NPA4时，在中已知两角一边，可解出B4,然后在Rt^R4c中，由三角函

数定义可得PC,故③正确；

®：当已知NR45和NA5C时，可先由最小角定理求得㈤C,然后解AABC可得AC,最后在

入△PAC中，由三角函数定义可得PC,故④正确.

故答案为：①③④

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题:共60分.

17.设等差数列｛%｝的前几项和为5“，已知&=1,§5=15.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

1b+3，、

(2)若外2。=字厂，求数列也｝的前九项和小

a”乙

【答案】(1)4=2〃—3

(2)7；=(2n-5)x2"+1+10

【解析】

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和前"项和公式列方程组直接求解可得;

(2)由错位相减法可得.

【小问1详解】

,、fa,+d=1,[a,=—1

设数列｛4｝的公差为d，由题设可得L，八，《解得C

tn)[5%+10d=15[d=2,

所以%=-1+(71-1)x2=2M-3.

【小问2详解】

b”b

由⑴知log2=n,所以一^二2〃

2n-32〃一3

可得么=(2〃—3)x2〃,

所以7；=—1x2+1x22+3x23+.••+（2〃-5）x2"T+（2〃一3）x2”①

27；,=-lx22+lx23+3x24+---+（2n-5）x2"+（277-3）x2,,+1@

②减①可得：

7；,=1X2-23-24-----2,,+1+（2n-3）x2,,+1

8X（1—2,T）

1-2

=（2］一5）x2""+10

18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各

随机抽取了100件，它们的质量指标值加统计如下：

质量指标值掰[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

甲车间（件）152025319

乙车间（件）510153931

（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值加的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙

两个车间的生产水平有差异.

m<60m>60合计

甲车间

乙车间

合计

附:K'=--------'-)----------，其中"=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

P(K2>k)0.050.010.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)58；(2)列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.

【解析】

【分析】(1)根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.

(2)完善2x2列联表，计算长2的观测值，再与临界值比对作答.

【小问1详解】

由所给数据，各组的频率分别为01，0.15,0.2,0.35,0.2,

所以该工厂生产这种零件的质量指标值加的平均数的估计值为：

10x0.1+30x0.15+50x0.2+70x0.35+90x0.2=58.

【小问2详解】

2x2列联表如下：

m<60mN60合计

甲车间6040100

乙车间3070100

合计90110200

所以K?=200x(60x70-40x30)2

»18.182

-100x100x90x110

因为18.182大于6.635,所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.

19.如图，在直三棱柱A3C-44G中，/ACB=90°,A41=24。=8。=4,/为棱441上靠近4的三

等分点，N为棱AC的中点，点P在棱3C上，且直线PN〃平面BMC.

(1)求PC的长;

（2）求二面角P—BM—£的余弦值.

2

【答案】（1）PC=—

3

⑵叵

110

【解析】

【分析】（1）在CG上取一点Q,使得CP=CQ,根据面面平行判定定理证明平面尸QN〃平面

再根据面面平行性质定理确定CQ长即可，（2）建立空间直角坐标系，求出平面平面的法

向量，根据二面角向量公式求二面角P--G的余弦值.

【小问1详解】

在CG上取一点Q，使得CP=CQ，连接PQ,NQ.

…CQCP

由已知得CQ=AAl=CB,所以=

所以PQ〃5C-

因为PQZ平面BMC],BQu平面BMG，

所以PQ〃平面

又因为PN〃平面BMC[,PNcPQ=P,PN,NQu平面PQN,

所以平面PQNH平面BMCX.

平面ACCjAjPl平面PQN=QN,平面ACQA；Pl平面BCXM=MCX,

根据面面平行的性质可知MCJ/QN.

在矩形ACG4中，可得ACQNS,

CQA.M222

所以而=="所以PC=CQ=§CN=]

【小问2详解】

以c为坐标原点，分别以C4C5CG所在直线为％y，z轴建立空间直角坐标系.

则C(0,0,0),q(0,0,4),B(0,4,0),M12,0,|

qs=(0,4,-4),C,M=f2,0,-41LW=f2,-4,|W=fo,-1y0,oL

33

设平面的法向量为克=（%，x，zj,

4%_4Z]=0,

CB-m=0,

则—}，所以4，取马=3得沅=(2,3,3).

GM•沅=0,2%-§4=0,

设平面的法向量为O=（X2，%，Z2），

8

2%-4y2+-2=0,

BM-n=0,2

则—所以《取Z2=—3,得为=(4,0,—3).

BP-n=0,

亍2=。，

2x4+0+3x(-3)

所以cos（成㈤=m-nV22

阿,同拉+32+32x^2+(—3)2110

结合图可知二面角P-5"-G的余弦值为叵.

110

20.过椭圆C:—+^=l上任意一点P作直线l:y=kx+p

43

(1)证明:p2„3+4左2;

（2）若为坐标原点，线段。尸的中点为V,过M作/的平行线与C交于两点，求

AAB尸面积的最大值.

【答案】（1）证明见解析

(2)2

2

【解析】

【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等

于零，可得答案.

（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立

椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整

理函数，根据（1）,可得答案.

【小问1详解】

f22

土乙日

联立彳43一'，消去,整理得：（3+4左2）/+83％+4。2—12=0,

y=kx-\-p,

因为点尸在C上，所以八=64左2P2—4（4p2—12）（3+41）..0,

化简得"2,,3+4左2.

【小问2详解】

设/:y=fcc+冽，点尸伍，人），则方

由已知得及)=何)+p,所以/

满足方程y=6+噂，所以冽=々.

即点M2'2J

[22

土匕=]

由<43-'得（3+4左2）f+8近+4加2-12=0,

y-kx+m.

W-12

设A（玉,%）,5（%,%），则%+々=一;/衣，/%=

JI/1/v3+4/

所以上-%21=J（%1+赴）2-招马=4国4k2+3-/

3+4/

26J（4左2+3—疗）.

3+4公

3+4H„..

令占“因为疗=g，-------,所以te

4

3

=J—产+t»2^/3

所以S△

Aiff2

3

所以人钻尸面积最大值为一.

2

21.设函数/(x)=/nx-e"-机(m^R).

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)若/(%)有两个零点X1和万2,设毛=三三，证明：/(%0)>0(/'(X)为/(%)的导函数).

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)分切<0、%>0两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数/(%)的增区间和

减区间;

mx-e%1-m=0eX1-e巧

(2)由函数零点的定义可得出《'}，可得出相=-------，将所证不等式等价变形为

2

mx2-e-m=0x1-x2

e型_e亨〉芭_々，令f=^『〉0,即证e'—e-'>2t，构造函数g0)=e'一e"—2/,其中

t>0,利用导数分析函数g(。的单调性，即可证得结论成立.

【小问1详解】

解：因为=则/'(x)=7"-e'

若〃2<0,对任意的尤GR,贝='(％)<0,函数的单调递减区间为(9,+»)；

若机>0,令/'(X)=〃z-e*=0,得x=lnm,

当xvln/Tz时，当x>lnm时，/'(尤)<0.

所以了(%)的增区间为(一℃,Inm),减区间为(inm,+oo).

综上所述，当相〈0时，函数了(九)的单调递减区间为(—,+»)；

当〃2>0时，函数了(%)的增区间为(一8/11771),减区间为(1117%+8).

【小问2详解】

mx、一e国-m=0

证明：不妨令石〉々，由题设可得<r

mx2一e2一〃=0,

e%1-e^2

两式相减整理可得m=-------.

2国+巧

所以/(%)=/1］「］=me=—厂，

12J芯一马

e*i_e巧—+无f-xx一西

222

要证/(%)>0,即证---------e>0,即诃二e2一«2>再一12，

占一马

令/=%二三>0,即证e，—eT>2t，其中/>0

2

构造函数g«)=e'-eT-其中/〉0,

则g'«)=e'+eT—2>2，e'-eT—2=0,所以，函数g(。在(0,+8)上单调递增,

所以，当/〉0时，g(r)>g(o)=o,即e'—-'>2/，故原不等式得证.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式〃x)>g(x)(或/(*)<8(龙))转化为证明/(X)—g(九)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数九(%)=/(x)