2023年高考数学必背知识手册第四章 数列（公式、定理、结论图表）

2023年高考数学必背知识手册（新教材）第四章数列（公式、定

理、结论图表）

［、思维导图

概念

表格

数列Ji^一

图象

।表示

通项公式

递推公式

特殊化

1一次函数

I等差数列-概念

特殊数列类比表示通项公式

应用

等比数列前〃项和公式

指数函数

基本原理

数学归纳法

1—1

1:知识梳理

数列的概念：

1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的特殊函数,

数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2.数列是按一定顺序排列的一列数，记作6,%，%…凡，…，简记

3.数列｛%｝的第〃项应与项数〃的关系若用一个公式%=/(〃)给出，则这个公式叫做这个数

列的通项公式。

4.数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

5、数列的递推公式：表示任一项％与它的前一项(或前几项)间的关系的公式.

6、求数列中最大最小项的方法：最大/"2°，向最小卜用考虑数列的单调性

.a“—

二、等差数列

1、定义：(1)文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.

(2)符号表示：an-an_y=d(n>2)^an+1-an=d(n>V)

2、通项公式：若等差数列｛4｝的首项是q,公差是d,则a,,=«,+(〃-1)4.

通项公式的变形：①a”=4"+(〃—；②d=%~.

n-m

通项公式特点：an=dn+(%—d)

an=kn+m,(幺加为常数)是数列｛%｝成等差数列的充要条件。

3、等差中项

若三个数a,A,8组成等差数列，则A称为a与匕的等差中项.若b=匕，则称匕为。与c

2

的等差中项.即a、b、c成等差数歹!]<=>匕=色上

2

4、等差数列｛%｝的基本性质(其中加,凡p,qwN*)

(1)若〃z+〃=p+q,贝!la,”+a“=%,+%。

(2)an-am=(n-m)d

⑶2a„=a,U,

5、等差数列的前〃项和的公式

八j/n（n-\\,

公式：①S“=-----------;②=n％H--------d.

公式特征：S“=5+（a「gn,d#0时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式

等差数列的前〃项和的性质：

①若项数为2”（〃eN*）,则§2“=〃（a“+a“+i），且S（禺-5奇=〃"，—.

a

S偶n+\

②若项数为2〃一则之一]=（2〃-1）%,且S奇一S,禺=a“，^-――

S偶"T

（其中5奇=〃。“，S偶=（〃—l）a.）.

③S,,，S2“—S,,，5加一52“成等差数列•

6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：。,用-/=以常数）（〃eN*）n｛%｝是等差数列

②中项法：2an+]=an+an+2（〃eN*）n｛a“｝是等差数列

③通项公式法：a,,=kn+b（Z/为常数）n｛a,｝是等差数列

④前“项和公式法：S“=An2+Bn（AB为常数）n｛a,｝是等差数列

三、等比数列

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,

则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：4=夕（常数）

a.,

2、通项公式

（1）、若等比数列｛%｝的首项是4,公比是q,则4=401.

（2）、通项公式的变形:①例=《『；②

3、等比中项：在。与分中插入一个数G,使。，G,〃成等比数列，则G称为a与〃的等比中

项.若Grab,则称G为〃与人的等比中项.注意：a与力的等比中项可能是土G。

4、等比数列性质

若｛%｝是等比数列，且加+〃=〃+<7（加、n>p、（7eN*）,贝U•/=%q；

若｛a“｝是等比数列，且2〃=〃+q（〃、p、”N*）,则a；=a0q.

5、等比数列｛%｝的前〃项和的公式：

叫（4=1）

（1）公式：S“=<q（l一g"）a-anq（.■

Ii-q"q

（2）公式特点：s“=孑（1—/）=女（l—g"）=A—A/

v

（3）等比数列的前〃项和的性质：①若项数为2”（〃eN*）,则上=心

S奇

②S“+,“=S,+q"&.③S,，SL加邑,「与”成等比数列（S"0）.

6、等比数列判定方法：

①定义法：驮q（常数）=｛4｝为等比数列;

%

2

②中项法：an+l=an-all+2(a“h0)=>{a.}为等比数列;

③通项公式法：a“=hq"（幺4为常数）=>｛4｝为等比数歹1」；

④前〃项和法：S“=k（l-q"）（左,4为常数）=｛4｝为等比数歹！I。

四'等差数列与等比数列性质的比较

等差数列等比数列

定义aad%―q（q手0,且为常数,〃22）

n+y-n=(4为常数，«>2)

递推

凡=%+da,.=4-口

公式

或

通项an=%+(〃-l)d

Q“=aq?1(4w0)或Q〃=

公式

a„-am+(n-m)d

a,b,c成等差数列的充要条件：

中项a,b,c•成等比数列的充要条件：b2=ac

2h=a+c

①

前

nat(q=l)

ncn(n-l)，

、y)y)

s“=叫+2'dS"=<

项

和

①%=6“+(〃-"?)[

②等和性：若m+n=p+q(m.〃、p、

①

夕£N*),

重

②等积性：若加+力=p+q（加、n>p、q6N*）,

则〃

要Q,+Q“=Qp+Og

贝i」a〃「a”=ap・aq

性③若2n=p+q(〃、p、qwN*),则

质③若2〃=p+q（〃、p、9£N"）,则a；=〃p

2a„=ap+a(l.

④S&,S2A-5如53左-52公i构成的数列是等比数列,

®<?,<?——<?构成等

QkQ2kQk03k02k

差数列.

卜或也，。｛斯｝递增数列:

设d为等差数列｛&“｝的公差，则

[q>1[0<<7<1

单

d>0o｛a“｝是递增数列；

｛%/咪盘句温递减数列:

调

d<o<x>｛a“｝是递减数列；

性：q=l=｛a”｝是常数数列；

d=0=｛a“｝是常数数列.

q〈0O｛aj是摆动数列

证明一个数列为等比数列的方法：

证明一个数列为等差数列的方法：

证

1.定义法也=q（常数）

1.定义法«„+|-an=d（常数）

明4

方2.中项法%+4+1=2%(〃N2)

2.中项法a“T•%+|=(〃22)

法

3.通项公式法：a“=p〃+q（p,q为常数）

3.通项公式法：a“=Aq"（A,q为不为0的常数）

4.前n项和公式法：(A,B为4.前n项和公式法：§,]=Bqn_B（q于G,q于1BwO）

常数)

三数等比:巴，a,aq或a,aq,aq2

设元二数等差:a-d,a,a+cl

q

技巧四数等差：a-3d,a-d,a+d,a+3d

四数等比：a.aq,aq2,aq3

〈解题方法与技巧》

1.解决等差、等比数列有关问题的几点注意

(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；

(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；

(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式

和性质解题；

(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间

的内在联系.

2.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根

据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.，一般常见的求和方法有:

(-)公式法

①等差数列的前"项和公式：S“=逊抖=〃m+必/d.

②等比数列的前〃项和公式：

naifq=l,

ai-a〃qmQ-

(l—q=l~q，户

③数列前〃项和重要公式：

⑴力=1+2+3+.+〃=皿@

k=\2

(2)>^(2--1)=1+3+5+….+(2/?-1)=〃“

k=\

厂->2

(3)£^=l3+23+---+n3=-«(n+l)

k=l2

(4)/2=肚+22+32H---F〃2=—n(n+1)(2〃+1)

k=\6

(5)等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；

（6）等比数列中，&

S+q-S=SqmS-

m+nnmm+rl

（一）分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

（三）裂项（相消）法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项

再求和.

常见的裂项技巧

①等差型

(1)-L

n(n+1)nn+\

1

(2)--•)

+Qknn+k

111

(3))

4n2-l-22n-l2n+\

(4)

〃(〃+1)(〃+2)2n(n+l)5+1)(〃+2)

11111

(5)-------=------------=一(•)

n{rT-1)+2(n-l)n〃(〃+1)

(6)-4-=i

1+

4疗-14Qn+1)(2〃-1)

3〃+14(〃+1)-(〃+3)

(7)=4(------------)"(------------)

(/7+l)(n+2)(〃+3)(〃+1)(〃+2)(〃+3)n+2〃+3H+ln+2

(8)"(〃+D=纲〃+D(〃+2)T…心+2

(9)〃(〃+1)(〃+2)=z[〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)—(〃-1)〃(〃+1)(〃+2)]

(10)

〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)3n(n+1)(H+2)(〃+l)(n+2)(〃+3)

②根式型

(1)1----j==J〃+l-4n

n+n

(2)/1---=—(\[tv+k-\fn)

-

(3)-/，--------/=—(v2/7+1—x/2z?1)

y/2n-i+y/2n+l2

11心+1)+111

(4)J1+-Z-+-----7=—--------=1+-------

yn(〃+1)n(n+1)nn+\

1_(H+1)X/H—n\jn+\_(7?+\)4n—nVn+1_11

(〃+l)M+〃J〃+l+-("夜+1)2n(n+1)4nJ〃+l

③指数型

,、、2"(2"+l-l)-(2,,-l)11

(1)=----------------------=-------------------

(2,,+1-1)(2"-1)(2/,+,-1)(2“一1)2”—12M+I-1

(2)--------3-”---------11=-(—.:1—)

(3n-l)(3,,+,-1)23〃—13rt+,-1

(3)〃+22(〃+1)-〃/21]1_I_________1__

n(n+1)-2"n(n+1)•2"[〃〃+U2"n-2M-1(〃+1)-2"

(小(4〃-1).3小1F91

(4)---------------=---------------

n(n4-2)2(〃+2)n

(2n+l)-(-ir(T)〃(一1严

\3)------------=-------------

n(n4-1)nn+\

(6)an=〃-3"T,设/=(“〃+6)3"—[a(〃-l)+何，小，易得a=g,b=—；,

于是q=；(2〃-1)3"-；(2〃-3)-3"T

2n22

(7)(~l)"(n+4n+2)2(-1)"(n+4n+2)(-^[w+n+2(n+l)+n]

w-2"■(/?+!)2n+l-—"•(n+1)2-—―n-(n+l)2"+,

+n+i=（_r

空+（一炉_rF（n+i）.2.2l+居向

④对数型

logw—=10g^'-10gaan

an

⑤募型

(1)2〃+l___L^

〃2(〃+1)2n2(〃+1)2

/八77+11F11

n2(n+2)24n~(n+2)2

H+l_1]_____________]

〃2(〃+l)2(〃+2)24+(〃+l)2(〃+2)2

⑥三角型

(1)=---------(tana-tan/?)

cosacos尸sin(a一万)

(2)-------=—^―[tan(/j+1)°-tann°]

cosn°cos(〃+1)°sin1°LJ

(3)tanatan0=---^----(tana-tan/?)-1

/,、/八(「/八itanu-iciiivn-i)

(4)a,=tan-tan(/i-1);tan1=tan«-(«-1)=---------------

1+tann-tan(n-1)

mitann-tan(n-l)tann-tan(n-1)

贝"tann•tan(n—1)=---------------1,an=----------------1

⑦常见放缩公式:

(1)—<------=-------(n>2)；

n~(〃-n-\n

1111

(2)—>-------———；

tr+n〃+1

_L=J_<^_=2p______O.

(3)

“24n24〃2-l12/7-12n+\)'

-U=广<~--j==2(-V»-l+4n\(n>2)；

(4)

122

(5)=21册+,〃+l)；

4n\[n+\[n\[n++1

（八1222>/2

忑一耳而〈I_fI~y/2n-i+y/2n+\

n-+J〃+—

2V2

1ii

(10)—<----=----=---------—(n>2).

2n-l(72Z,_,-1)(2"-1)?2”|-1T-\v)

(11)2(+1—4n)=/2——<J<—=_2=2(册—4n-1)•

+l+\/n\]n+\ln-\

(四)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(1)适用条件：若｛斯｝是公差为d(dW0)的等差数列，｛儿｝是公比为q(g¥l)的等比数列，求数列｛〃/”｝的

前〃项和5„；

(2)基本步骤

第一步展开S“=a「仇％+…+*•6”i+a“-6”①)

第二步乘公比gS'=aryaz-4+…+*•b“+a1t.3②)

业

第二步f错位相减①-@得(1-95“=%.4+4(62+63+…+

b”“

：1仆；

“_mca,-b,+d(62+63+—+6„)-a„.b„tl

第四步一求和S/----------------:----------------------

1-g

(3)注意事项：①在写出S,与qS,的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出

S”qSn；

②作差后，等式右边有第一项、中间〃一1项的和式、最后一项三部分组成；

③运算时，经常把历+历+…+仇这〃一1项和看成〃项和，把一。,力”+1写成+a油"+i导致错误.

(五)倒序相加法

如果一个数列｛斯｝,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式

相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前"项和公式的推导便使用了此

法.用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.

典例1：等比数列｛〃”｝中,已知ai=2,04=16.

⑴求数列｛〃｝的通项公式；

(2)若“3,公分别为等差数列｛加｝的第3项和第5项，试求数列｛氏｝的通项公式及前〃项和

Sn.

【解析】⑴设｛斯｝的公比为g,

由已知得16=2炉，解得<7=2,.•.z=2X2"-i=2".

(2)由(1)得G=8,。5=32,

则加=8,儿=32.

必i+2d=8,

设｛①｝的公差为d,则有，

力i+4d=32,

ZJI=-16,

解得，一c

d—12,

所以a=-16+12(〃-1)=12〃-28.

所以数列｛d｝的前〃项和

»(-16+12/?-28)

bn—2—6〃-22〃.

典例2：数列｛&｝的前〃项和为S〃，ai=l,S”+i=4a“+2(〃GN*).

⑴设求证：｛儿｝是等比数列；

⑵设c“=券，求证：｛，”｝是等差数列.

【证明】(l)a〃+2=S〃+2—S〃+i=4z+i+2—一2

=4a〃+i—4。］.

皿=斯+2—2。,,+1=4所+1—4即一2。”+1=2。”+1—4斯=2.

bnan+i~2a,ian+\—2anan+i~2an

因为S2=ai+a2=4ai+2,所以磁=5.

所以bi=42—2ai=3.

所以数列｛包｝是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知儿=3,2"1=<2«+1—2a”,

所以2厂|_2"-2_3・

所以c”+i-。；=3,且ci=2-1=2,

所以数列｛金｝是等差数列，公差为3,首项为2.

典例3已知数列｛&”｝是递增的等差数列，42=3,且0,42,。5成等比数列.

⑴求数列｛小｝的通项公式；

⑵设加=①+2",求数列｛加｝的前〃项和Sn；

224

⑶若Cn设数列｛。，｝的前〃项和为力“求满足〃>含的〃的最小值•

【解析】（1）设等差数列｛知｝的公差为或d>0）.

42=3,a\+d=3,ai=l,

由'2_得,,,解得<

。2—Xa\+d)-=a\(a\-\-4d),d=2.

an—a\-\-(n—l)J=2n—1.

(2)由(1)得：儿=而+2"=2〃-1+2”,

(1+2n—l)n

则为=历+切+…+况=

4+1+3+5+…+(21)+2+22+23+…+2”=2

9——,〃+]

Yr=〃2+2"1—2,

：.Sn=n2+2n+l~2.

22_1_1_

(3)由(1)得：Cn

ClnUn+1(2〃一1)(2〃+1)=2〃-1-2〃+「

11_1…112»

3352〃-12〃+12〃+「

2/724,"

由2〃+1>为仔〃>2・

又二"的最小值为13.

第四章指数函数与对数函数（公式、定理、结论图

表）

[I思维导图

厂（整数指数史及根式）

-®®--C分数指数塞）

T运算性质）

-指数与指

指、数函数，

数p（定义）

函

互工图象与性质打

数

为

与

反

对

函

数

数

函函数零点与

数、方程的解

Y图象与性质瓶

L对数与对-函数模型

数函数__/、的应用,

-ds-<__________>

-（运算性质）

]、知识梳理

一.根式及相关概念

（Da的〃次方根定义

如果x〃=a,那么x叫做a的〃次方根，其中力1,且"GN*.

（2）a的〃次方根的表示

n的奇偶性a的〃次方根的表示符号a的取值范围

〃为奇数缶R

〃为偶数士3[0,+°0)

（3）根式

式子的叫做根式，这里〃叫做根指数,a叫做被开方数.

根式的性质（">1,且〃6N*）

(1)，为奇数时，置"=旦.

n,—a,Q20，

(2)〃为偶数时，胃=囿=-

一a,水0.

(3)^6=0.

(4)负数没有偶次方根.

思考：(笛)"中实数a的取值范围是任意实数吗?

提示：不一定，当〃为大于1的奇数时，a£R；

当〃为大于1的偶数时，a》0.

三.分数指数事的意义

m

正分数指数基规定：an=年&a〉0,m,〃£N*,且〃〉1)

,,"11

规n定：3n—勿一

分数指数

负分数指数幕

事

(a>0,m,〃£N*,且〃>1)

0的正分数指数嘉等于。，

0的分数指数幕

0的负分数指数幕没有意义

m

思考：在分数指数基与根式的互化公式髭中，为什么必须规定a>0?

提示：①若a=0,0的正分数指数幕恒等于0,即g]=a"=0,无研究价值.

m3p

②若水0,不一定成立，如(-2)5=与无意义，故为了避免上述情况规

定了a>0.

四.有理数指数基的运算性质

⑴a'a'=a,T"(a>0,r,sGQ).

(2)(a'T=式(a>0,r,sGQ).

(3)(aZ>)'—ab'\a>Q,b>0,rGQ).

五.无理数指数累

一般地，无理数指数基a"(a>0,a是无理数)是一个确定的实数.有理数指数事的运

算性质同样适用于无理数指数幕.

六.指数函数的概念

一般地，函数0(a>O,且aWl)叫做指数函数，其中王是自变量，函数的定义域是

R.

七.指数函数的图象和性质

a的范围a>\0<a<l

.%…r=i

图象)©)尸

X

0|~X

定义域R

值域(0,+8)

性过定点(0,1),即当x=0时，y=l

质单调性在R上是增函数在R上是减函数

奇偶性非奇三E偶函数

对称性函数y=a*与y=a-'的图象关于y轴对称

思考1：指数函数了=印（力0且a#l）的图象“升”“降”主要取决于什么？

提示：指数函数尸a'（a>0且ari）的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>l

时，图象具有上升趋势；当0<a〈l时，图象具有下降趋势.

思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？

提示：指数函数值随自变量的变化规律.

八.对数

（1）指数式与对数式的互化及有关概念:

a*=N告,10gliN=x

I--------------------1

（2）底数a的范围是a〉0,且a#L

九.常用对数与自然对数

®------（以迫为一

里里八（自然对数）——CEE）----（以上为底）

十.对数的基本性质

⑴负数和零没有对数.

(2)logfl1=0(a>0,且a#l).

(3)log依=!(a〉0,且aWl).

思考：为什么零和负数没有对数？

提示：由对数的定义：H=M90且a#l),则总有加0,所以转化为对数式x=log/

时，不存在,性0的情况.

十一.对数的运算性质

如果如0,且&WL粉0,A>0,那么：

(1)logX.W=logJH~log；W；

M

(2)1Og.,y=logj/—log,A；

(3)1nlogMn£R).

思考：当粉0,A>0时，log&(〃+M=log/+logW,loga(助\)=log/・logW是否成

立？

提示：不一定.

十二.对数的换底公式

若a>0且a#l；c〉0且cWl；力0,

则有log“6=詈2

log°a

十三.对数函数的概念

函数v=log“x(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中工是自变量，函数的定义域是(0,

+°°).

思考1：函数y=21og3X,y=log3(2x)是对数函数吗？

提示：不是，其不符合对数函数的形式.

十四.对数函数的图象及性质

a的范围0〈水1a>\

'IX=1

；r=loga%（Q>l）

图象火。），a。）^

1y=l0goX（O<Q<1）

定义域（0,+°°）

值域R

性定点（1,0），即x=j_时，7=0

质单调性在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数

思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？

提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降.

当a>l时，对数函数的图象“上升”；当O〈a〈l时，对数函数的图象“下降”.

十五.反函数

指数函数尸a"(a>0,且aWl)与对数函数尸log,x(a>0且aWl)互为反函数.

十六、三种函数模型的性质

y=ax(a>l)y=logax(a>l)y=kx(k>0)

在(0,+8)上的增

增函数增函数增函数

减性

随X增大逐渐近似与〃随X增大逐渐近似与江

图象的变化趋势保持固定增长速度

轴平行轴平行

①y=a*(a>l)：随着x的增大，/增长速度越来越快,会远远大于尸〃x(〃>0)

增长速度的增长速度，y=log“x(a>l)的增长速度越来越慢;

②存在一个刘，当*>刖时，有a*>7x>log”

十七.函数的零点

对于函数y=Ax),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？

提示：不是.函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐

标.

十八.方程、函数、函数图象之间的关系

方程A%)=0有实数根=函数y=f(x)的图象与x轴有交点o函数v=f(x)有零点.

十九.函数零点存在定理

如果函数在区间［a,61上的图象是一条连续不断的曲线,且有，果/•(〃<(),

那么，函数尸/l(%)在区间(a,6)内至少有一个零点，即存在cC(a,6),使得F(函=0,

这个c也就是方程f{x)=0的解.

思考2：该定理具备哪些条件？

提示：定理要求具备两条：①函数在区间［a,6］上的图象是连续不断的一条曲线；

②f(a)•f(6)<0.

二十.二分法的定义

对于在区间［a,6］上图象连续不断且f®•f(6)<0的函数尸Ax)，通过不断地把它

的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近雯在，进而得到零点近似值

的方法叫做二分法.

思考：若函数y=F(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零

点两侧同号的零点不能用二分法求解，如〃x)=(x—l)2的零点就不能用二分法求解.

二十一.二分法求函数零点近似值的步骤

(1)确定零点沏的初始区间［a,6］,验证/"(a)f(8)VO.

(2)求区间(a,6)的中点c.

(3)计算Ac).并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)=O(此时m=c),则c就是函数的零点；

②若/'(a)f(c)<0(此时刖e(a,c-)),则令6=c；

③若/'(c)f(8)<0(此时xoG(c,抗),则令a=c.

(4)判断是否达到精确度e：若|a一引Ve,则得到零点近似值a(或⑸；否则重复步

骤⑵〜⑷.

二十二.常用函数模型

(1)一次函数模型y=kx+b（k,。为常数，kWO）

(2)二次函数模型y=ax+bx+b,c为常数，aWO）

常用(3)指数函数模型y=ba+c（a,b,c为常数，6W0,a>0且aWl）

函数(4)对数函数模型尸^logd+〃(勿，a,〃为常数，%#0,a>0且

模型(5)鞋函数模型y=ax+b{a,。为常数，z?WO）

优水用，

(6)分段函数模型y=\

[cx+c^x^ni）

二十三.建立函数模型解决问题的基本过程

|收集数据|

|画敬点图|

I选择函数模型I

|求函数模型|

I用函数模型解释实际问题I

思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？

提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.

这些步骤用框图表示如图：

分析、联想、

实际问题《建立函数模型］

抽象、转化数

问

学

国

解

解

答

决

转译

实际问题结论|数学问题结论|

(解题方法与技巧》

1.带条件根式的化简

(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方

式进行化简.

(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时,

要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

典例i：⑴若x<o,则*+3+乎

(2)若一3<矛<3,求yj文—2x+1—F+6x+9