第21讲 重难点09全等三角形中“平行线中点”模型（教师版）-七升八数学暑假衔接（人教版）

重难点09全等三角形中“平行线中点”模型【知识梳理】【考点剖析】一．选择题（共1小题）1．（2021秋•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．【解答】解：∵FC∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，在△DAE与△FCE中，，∴△DAE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF，∵CF＝3，∴AD＝CF＝3，又∵AB＝5，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明△DAE≌△FCE是解题的关键．二．填空题（共1小题）2．（2021秋•泌阳县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为30．【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D，在△BAF和△EDF中，，∴△BAF≌△EDF（AAS），∴S△BAF＝S△EDF，∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD＝•AC•AD＝×6×10＝30．故答案为：30．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．三．解答题（共11小题）3．（2022秋•盐都区月考）已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AB＝DE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AC∥DF．【分析】由平行线的性质得出∠ABC＝∠E．证明△ABC≌△DEF（SAS），由全等三角形的性质可得出结论．【解答】证明：（1）∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠E．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠FDE，∴AC∥DF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的性质．根据条件证明出△ABC≌△DEF是解题的关键．4．（2021秋•无锡期末）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．【分析】如图，延长AE交BC于F，构造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），则对应边AE＝FE，AD＝FC．在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求得线段AF的长度．【解答】解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中，，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AE＝FE，AD＝FC．∵AD＝5，BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中，，∴AE＝AF＝6.5．【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．注意，本题辅助线的作法．5．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用等角的余角相等证明∠D＝∠AFD即可解答；（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点A作AG⊥DE，垂足为G，先在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明△AGF≌△BEF即可解答．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠BFE＝∠AFD，∴∠D＝∠AFD，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形；（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，∵AB＝AC，AC＝10，∴AB＝10，∵F为AB中点，∴AF＝BF＝AB＝5，在Rt△BFE中，BE＝3，∴EF＝＝＝4，∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，∴△AFG≌△BFE（AAS），∴GF＝EF＝4，∵AD＝AF，AG⊥DF，∴DF＝2GF＝8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2022•珙县校级模拟）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AC＝FD，AC∥FD，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10，FC＝4，求CE的长度．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，根据ASA证明全等即可得出结论；（2）由全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC与△DEF中，．∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）由（1）△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝FC+CE，∴CE＝BF，∴BE＝FC+2CE，即10＝4+2CE，∴CE＝3．答：CE的长度为3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．7．（2022秋•海淀区期末）如图，已知线段AB与直线平行．（1）作∠CAB的角平分线AE交直线CD于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AE的中点为F，连接BF并延长交直线CD于点G，请用等式表示线段AB，AC，CG之间的数量关系：CG+AC＝AB．【分析】（1）利用尺规作图作出角的平分线；（2）利用等腰三角形的判定和性质先说明AC＝CE，再利用“ASA”说明△GFE≌△BFA，最后利用线段的和差及全等三角形的性质得结论．【解答】解：（1）AE就是∠CAB的角平分线；（2）∵AE是∠CAB的角平分线，∴∠CAE＝∠EAB．∵AB∥CD，∴∠CEA＝∠EAB．∴∠CAE＝∠CEA．∴AC＝CE．∵AE的中点为F，∴AF＝FE．在△GFE和△BFA中，，∴△GFE≌△BFA（ASA）．∴GE＝AB．∴CG+CE＝CG+AC＝AB．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定是解决本题的关键．8．（2022春•绥德县期末）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【分析】首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得ME＝MF．【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M为BC中点，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．9．（2021秋•滨湖区期末）已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：（1）△ADE≌△BCF；（2）AC＝BD．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADE＝∠BCF＝90°根据平行线的性质得到∠A＝∠B，进而利用全等三角形的判定解答即可；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE与△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（AAS）；（2）∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC，∴AC＝BD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．10．（2021秋•思明区校级期末）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AB＝DE．求证：AC∥DF．【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，由平行线的判定可得出结论．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定．解题的关键是证明△ABC≌△DEF．11．（2021秋•云梦县校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，理由为：连接EG，∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，∴GE垂直DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．12．（2022秋•东港区校级月考）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA⊥OC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AB+CD＝AC．【分析】（1）延长AO交CD的延长线于点E，可得△AOB≌△EOD，进而可得AC＝CE，由三线合一可得CO平分∠ACD，（2）由△AOB≌△EOD，可得AB＝DE，AB+CD＝CD+DE＝CE，由于AC＝CE，所以AB+CD＝AC【解答】解：（1）如图，延长AO交CD的延长线于点E，∵O为BD的中点，∴BO＝DO，在△AOB与△EOD中，∴△AOB≌△EOD，（ASA）∴AO＝AE，又∵OA⊥OC，∴AC＝CE∴CO平分∠ACD；（三线合一）（2）由△AOB≌△EOD可得AB＝DE∴AB+CD＝CD+DE＝CE∵AC＝CE∴AB+CD＝AC【点评】本题主要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一等知识点，运用O是BD的中点，延长AO交CD的延长线于点E，可得△AOB≌△EOD，由全等转化边角关系，熟练运用等腰三角形三线合一性质是解题关键．13．（2021秋•临高县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE．（2）求证：EM垂直平分DF．【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠A＝∠EBF，∠ADE＝∠F，由E是AB的中点，可得AB＝BE，从而可以证明△ADE≌△BFE；（2）由△ADE≌△BFE，可得DE与EF相等，点E为DF的中点，再根据∠MDF＝∠ADF，AD∥BC，FM＝CM，可以得到M