第六章 一次函数（1类知识拓展）

第六章一次函数（知识拓展）知识拓展函数图象分析①看清横纵坐标表示的具体含义②结合图象（画线段图），理解每段表示的含义③理解特殊点表示的含义典例1某县在A、B两村之间修建一条公路，甲、乙两个工程队分别从从A、B两村同时相向开始修筑，乙队修筑了840米后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．两队开工8天时，所修道路的长度都为560米，甲、乙两个工程队所修道路的长度y（米）与修筑时间x（天）之间的关系图像如图所示．下列结论：①乙工程队每天修路70米；②甲工程队后12天每天修路50米；③该公路全长1740米；④若乙工程队不提前离开，则两队只需要天就能完成任务．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个跟踪训练1某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为（，75）；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．以上4个结论正确的是______．典例2甲、乙两人相约元旦登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）t=______min．（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，①则甲登山的上升速度是______m/min；②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式．③当甲、乙两人距地面高度差为70m时，求x的值．跟踪训练2有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：(1)A，B两点之间的距离是_____米，A，C两点之间的距离是_____米，甲机器人前2分钟的速度为_____米/分；(2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；(3)若线段FGx轴，则此段时间，甲机器人的速度为_____米/分；(4)若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米______．典例3甲、乙两人先后从公园大门出发，沿绿道向码头步行，乙先到码头并在原地等甲到达．图1是他们行走的路程y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数图象．（1）求线段AC对应的函数表达式；（2）写出点B的坐标和它的实际意义；（3）设d（m）表示甲、乙之间的距离，在图2中画出d与x之间的函数图象（标注必要数据）．跟踪训练3一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm．当两车均到达各自终点时，运动停止．如图是y与x之间函数关系的部分图象．（1）由图象知，慢车的速度为______km/h，快车的速度为______km/h；（2）请在图中补全函数图象；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．过关训练1．已知一辆快车与一辆慢车同时由A地沿一条笔直的公路向B地匀速行驶，慢车的速度为80千米/时．两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间/小时之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)快车的速度为___千米/时，两地之间的距离____千米．(2)求当快车到达B地后，y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）．(3)若快车到达B地休息15分钟后，以原路原速返回A地．直接写出慢车在行驶过程中，与快车相距20千米时行驶的时间．2．小明家和他外婆家相距4500米，周末小明和妈妈约好先后从家里出发前往外婆家，小明骑自行车先走，一路都是匀速行驶；然后小明妈妈骑电瓶车前往，且途中速度只改变一次，如图表示的是小明和他妈妈两人之间的距离S关于时间t的函数图象（点D的实际意义是小明妈妈开电瓶车到外婆家），请根据图像解答下列问题(1)小明的速度_________________．(2)小明妈妈变速之前的速度_________，小明妈妈变速之后的速度________，点C的坐标________(3)当小明和妈妈两人相距300米时，求t的值．3．“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离（米）与小亮行走的时间（分）之间的函数图象，（1）小明的速度为______米/分，、两处的路程为______米；（2）点的坐标是______，点的坐标是______．（3）求小明与小亮相距时小亮行走的时间．4．我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．(1)【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度．②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度．(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）①a＝_____；②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．5．甲、乙两地间的直线公路长为400km．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1h后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（km）与轿车所用的时间x（h）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题：(1)货车的速度是______km/h；轿车的速度是______km/h，t值为______；(2)求轿车距其出发地的距离y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)货车出发多长时间两车相距155km？

第六章一次函数（函数图像分析）（知识拓展）答案全解全析知识拓展函数图象分析①看清横纵坐标表示的具体含义②结合图象（画线段图），理解每段表示的含义③理解特殊点表示的含义典例1某县在A、B两村之间修建一条公路，甲、乙两个工程队分别从从A、B两村同时相向开始修筑，乙队修筑了840米后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．两队开工8天时，所修道路的长度都为560米，甲、乙两个工程队所修道路的长度y（米）与修筑时间x（天）之间的关系图像如图所示．下列结论：①乙工程队每天修路70米；②甲工程队后12天每天修路50米；③该公路全长1740米；④若乙工程队不提前离开，则两队只需要天就能完成任务．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解析：由图象可得，乙工程队每天修路：米，①正确甲工程队后12天每天修路：米，②正确该公路全长：米，③错误若乙工程队不提前离开，则两队需要的时间为：天，④正确跟踪训练1某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为（，75）；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．以上4个结论正确的是______．【答案】①③④【解析】解析：①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则，解得，①正确；②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，②错误；③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，所以图中点B的横坐标为，纵坐标为，③正确；④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则返回时与货车共同行驶的时间为小时，此时两车还相距75千米，由题意，得，解得，④正确．综上，其中正确的是：①③④．

典例2甲、乙两人相约元旦登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）t=______min．（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，①则甲登山的上升速度是______m/min；②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式．③当甲、乙两人距地面高度差为70m时，求x的值．【答案】（1）2（2）①10②函数关系式为③3，10，13．【解析】解析：（1）在OA段，乙每分钟走的路程为米/分∴（2）①以提速后的速度为：米/分∴甲的速度为：m/min②甲登山用的时间为：（分钟）设甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式，得∴函数关系式为③设乙在AB段对应的函数解析式为，，得∴∴当时，，解得或当时，，得由上可得，当x的值是3，10，13．跟踪训练2有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：(1)A，B两点之间的距离是_____米，A，C两点之间的距离是_____米，甲机器人前2分钟的速度为_____米/分；(2)若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；(3)若线段FGx轴，则此段时间，甲机器人的速度为_____米/分；(4)若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米_____．【答案】(1)70；490；95；(2)y=35x-70；(3)60；(4)1.2分或2.8分或4.6分【分析】（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度；（2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；（3）根据一次函数的图象和性质解答；（4）根据速度和时间的关系计算即可；（5）分前2分钟、2分钟-3分钟、4分钟-7分钟三个时间段解答．【详解】（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；故答案为：70；490；95；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b,∵1×（95-60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，，∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x-70；（3）∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；故答案为：60；（4）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距28米，由题意得，60x+70-95x=28，解得，x=1.2，前2分钟-3分钟，两机器人相距28米时，35x-70=28，解得，x=2.8．4分钟-7分钟，直线GH经过点（4，35）和点（7，0），则直线GH的方程为，当y=28时，解得x=4.6，∴两机器人出发1.2分或2.8分或4.6分相距28米．故答案为：1.2分或2.8分或4.6分典例3

甲、乙两人先后从公园大门出发，沿绿道向码头步行，乙先到码头并在原地等甲到达．图1是他们行走的路程y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数图象．（1）求线段AC对应的函数表达式；（2）写出点B的坐标和它的实际意义；（3）设d（m）表示甲、乙之间的距离，在图2中画出d与x之间的函数图象（标注必要数据）．【答案】见解析【解析】解析：（1）设线段AC对应的函数表达式为将A（6，0）、C（21，1500）代入，得，解得∴线段AC对应的函数表达式为（2）设直线OD的解析式为将D（25，1500）代入，得，解得∴直线OD的解析式为．由，解得∴点B的坐标为（15，900），它的实际意义是当甲出发15分钟后被乙追上，此时他们距出发点900米（3）①当时，②当时，③当时，④当时，．d与x之间的函数图象如图所示：跟踪训练3一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm．当两车均到达各自终点时，运动停止．如图是y与x之间函数关系的部分图象．（1）由图象知，慢车的速度为___80___km/h，快车的速度为___120___km/h；（2）请在图中补全函数图象；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．【答案】（1）80120（2）见解析（3）x=1.2

h或4.2

h【解析】解析：（1）先出发的车的速度是（480﹣440）÷0.5=80km/h，两车的速度的和是440÷（2.7﹣0.5）=200km/h，则另一辆车的速度是120km/h．则慢车的速度是80km/h，快车120km/h．（2）如下图，注意端点值．（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km．即（80+120）×（x﹣0.5）=440﹣300，解得x=1.2（h）；或（80+120）×（x﹣2.7）=300，解得x=4.2（h）．故x=1.2

h或4.2

h，两车之间的距离为300km．过关训练1．已知一辆快车与一辆慢车同时由A地沿一条笔直的公路向B地匀速行驶，慢车的速度为80千米/时．两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间/小时之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)快车的速度为___千米/时，两地之间的距离____千米．(2)求当快车到达B地后，y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）．(3)若快车到达B地休息15分钟后，以原路原速返回A地．直接写出慢车在行驶过程中，与快车相距20千米时行驶的时间．【答案】(1)120，240；(2)y＝﹣80x+240；(3)小时或小时或小时．【分析】（1）由图象可得出发2小时后两车之间的距离是80千米，即得快车的速度为（2×80+80）÷2＝120（千米/小时）及A、B两地之间的距离是120×2＝240（千米）；（2）由已知得慢车到达B所需时间为240÷80＝3（小时）得m＝3，用待定系数法即可得当快车到达B地后，y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+240；（3）分三种情况：当快车由A地出发去B地时，120x﹣80x＝20，当快车返回与慢车未相遇时，80x+120（x﹣2﹣）＝240﹣20，当快车返回与慢车相遇后，80x+120（x﹣2﹣）＝240+20，分别解方程即得答案．【详解】（1）解：由图象知，出发2小时后两车之间的距离是80千米，∴快车的速度为（2×80+80）÷2＝120（千米/小时），A、B两地之间的距离是120×2＝240（千米），故答案为：120，240；（2）解：由已知得慢车到达B所需时间为240÷80＝3（小时），∴m＝3，设当快车到达B地后，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（2，80），（3，0）代入得：，解得，∴当快车到达B地后，y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+240；（3）当快车由A地出发去B地时，120x﹣80x＝20，解得x＝，当快车返回与慢车未相遇时，80x+120（x﹣2﹣）＝240﹣20，解得x＝，当快车返回与慢车相遇后，80x+120（x﹣2﹣）＝240+20，解得x＝，综上所述，慢车在行驶过程中，与快车相距20千米时行驶的时间为小时或小时或小时．2．小明家和他外婆家相距4500米，周末小明和妈妈约好先后从家里出发前往外婆家，小明骑自行车先走，一路都是匀速行驶；然后小明妈妈骑电瓶车前往，且途中速度只改变一次，如图表示的是小明和他妈妈两人之间的距离S关于时间t的函数图象（点D的实际意义是小明妈妈开电瓶车到外婆家），请根据图像解答下列问题(1)小明的速度_________________．(2)小明妈妈变速之前的速度_________，小明妈妈变速之后的速度________，点C的坐标________(3)当小明和妈妈两人相距300米时，求t的值．【答案】(1)180米/分钟(2)480米/分钟、330米/分钟、(3)、、或【分析】（1）由可得小明的速度；（2）由列方程求解妈妈的速度即可由再列方程求解妈妈变速后的速度即可，由C的坐标含义可得：设从相距1050米到相遇所花时间为分钟，再列方程可得C的坐标；（3）如图，当时，两个函数有四个交点，（图象中有一段没画出来）再分四种情况讨论：当时，当时，当时，设从相遇到相距300米所花的时间为m分钟，因为小明到外婆家所花时间为（分钟），当时，再分别列一元一次方程，再解方程，从而可得答案.【详解】（1）解：由图象可得：所以小明的速度为：（米/分钟）故答案为：180米/分钟（3）解：如图，当时，两个函数有四个交点，（图象中有一段没画出来）当时，解得：3．“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离（米）与小亮行走的时间（分）之间的函数图象，（1）小明的速度为______米/分，、两处的路程为______米；（2）点的坐标是______，点的坐标是______．（3）求小明与小亮相距时小亮行走的时间．【答案】（1）80，1040；（2），；（3）相距时小亮行走的时间4分钟或分钟．【分析】（1）先算出共行的路程，即可算出小明的速度，再根据小明走了13分钟走到N处，根据路程的计算公式计算即可；（2）根据从A到N走了2.6分钟计算即可；（3）根据小明未到点N前和到点N后计算即可；【详解】解：（1）由图可知，从O到A是小明与小亮沿相同方向匀速前行，则（米），∴米/分，由题可知：当小明走了13分钟时走到N点，∴米，∴小明的速度为80米/分，、两处的路程为1040米；（2）由题知，在2.6分钟内：小亮行走了（米），∴（米），∴，∴，设小明返回后t分钟两人相遇，∴，∴，∴；∴点的坐标是，点的坐标是；（3）小明未到达点N前：分，小明到达点N后：，解得，∴相距时小亮行走的时间4分钟或分钟．4．我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．(1)【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_个单位长度．②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_个单位长度．(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）①a＝_；②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．【答案】(1)①90；②105(2)①50；②；图像见解析【分析】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；（2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结果．【详解】（1）解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120，设机器人的甲的速度为v，∴机器人乙的速度为，∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，，解得m=90，∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度；②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115，设机器人的甲的速度为v，∴机器人乙的速度为，∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，而，∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎