3.1 勾股定理 同步练习

第3章勾股定理3.1勾股定理基础过关全练知识点1勾股定理1.(2023江苏苏州姑苏期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按如图2所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出() 图1 图2A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和2.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=24，AB=25，则△ABC的面积为.

3.如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10.点E是CD的中点，求AE的长.知识点2勾股定理的验证4.(2023江苏苏州月考)如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD.求证：AB2=BE2+AE2.能力提升全练5.(2022山东济宁中考)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是()A.136 B.56 C.766.(2021广西贵港中考)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD=∠BCE时，线段AE的长的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.67.(2022四川内江中考)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3=. 图① 图②8.(2023江苏南京秦淮月考)如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5则b的面积为.

9.(2023江苏泰州姜堰月考)如图，将一个长为8，宽为4的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合.(1)求证：AE=AF；(2)求AE的长.10.(2021江苏连云港期末)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，AB=c，请你利用这个图形说明a2+b2=c2.素养探究全练11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为ts.(1)当△ABP为直角三角形时，求t的值；(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值.

第3章勾股定理3.1勾股定理答案全解全析基础过关全练1.C设直角三角形的斜边长为c，较长直角边的长为b，较短直角边的长为a，由勾股定理得c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)，长=a，则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.2.答案84解析在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=24，∴BC2=AB2-AC2=252-242=49，∴BC=7，∴△ABC的面积为12AC·BC=13.解析如图，延长AE交BC于F.∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，∵点E是CD的中点，∴DE=CE.在△AED与△FEC中，∠D=∠C,∴△AED≌△FEC(AAS)，∴AE=FE，AD=FC.∵AD=5，BC=10，∴BF=5.在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=122+52=169，∴AF=13，∴AE=124.证明如图，连接AC.∵AE⊥BD，CD⊥BD，∴AE∥CD.∵△ABE≌△BCD，∴AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD.∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠ABC=90°，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=12BD·AE+1=12AE·AE+12BD·BE=又∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AB·BC+1=12AB·AB+12BE·DE=1∴12AE2+∴AB2=AE2+BD·BE-BE·DE，∴AB2=AE2+(BD-DE)·BE，即AB2=BE2+AE2.能力提升全练5.A∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB.∵折叠纸片，点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE.∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2.设AE=x，则CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2.解得x=136∴AE=1366.B如图，取BC的中点T，连接AT，ET.∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°.∵∠ABD=∠BCE，∴∠CBD+∠BCE=90°，∴∠CEB=90°.∵CT=TB=6，∴ET=12BC=6，AT2=AB2+BT2=82+62=100∴AT=10.∵AE≥AT-ET，∴AE≥4，∴AE的长的最小值为4.故选B.7.答案48解析设八个全等的直角三角形较长的直角边的长为a，较短的直角边的长为b，则S1=(a+b)2，S3=(a-b)2，a2+b2=EF2=16，∵S2=42=16，∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2)+16=2×16+16=48.8.答案16解析如图，∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC.在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DEC,∠ABC=∠CDE,∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴BC=DE.∵AB2+BC2=AB2+DE2=AC2，∴b的面积=a的面积+c的面积=5+11=16.9.解析(1)证明：由折叠可知，AE=CE，∠AEF=∠CEF.又∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF.(2)由折叠可知，AE=CE，∴BE=BC-CE=BC-AE=8-AE，∵∠B=90°，∴AB2+BE2=AE2，即42+(8-AE)2=AE2，∴AE=5.10.解析∵大正方形的面积为c2，一个直角三角形的面积为12ab，小正方形的面积为(b-a)2∴c2=4×12ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2即a2+b2=c2.素养探究全练11.解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC2=102-62=64，∴BC=8cm.(1)①当∠APB=90°时，点P与点C重合，∴t=8÷1=8.②当∠BAP=90°时，∵BP=tcm，∴CP=(t-8)cm，在Rt△ACP中，AP2=AC2+PC2=62+(t-8)2，在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴102+[62+(t-8)2]=t2，解得t=252综上所述，t的值为8或252(2)当AB=A