流场的计算(流体力学)

流场的计算第十讲流体仿真与应用流场的计算◆分析前面反映流场运动规律的控制方程，将会发现如下问题

①运动方程中的对流项包含非线性量对于第一个问题，解决的办法是迭代法。迭代法是处理非线性问题经常采用的方法，它是从一个估计的速度场开始，通过迭代逐步逼近速度的收敛值。对于第二个问题，如果压力已知，求解速度不会特别困难，只需用第5章介绍的方法，导出运动方程所对应的速度分量的离散方程，求解速度。

②每个速度分量既出现在运动方程中，又出现在连续方程中，方程错综复杂地耦合在一起。更为复杂的是压力项的处理，它现在运动方程中，但却没有可用以直接求解压力的方程。

压力也是待求的未知量，在求解速度场之前，压力场是未知的

流场的计算◆解决因压力所带来的流场求解难题的方法▼非原始变量法和原始变量法。

●非原始变量法是从控制方程中消去压力的方法。非原始变量法存在明显的问题，如有些壁面上的边界条件很难给定，计算量及存储空间很大，因而，其应用不普遍。●原始变量法是直接以原始变量u，v，w，p作为因变量进行流场求解，该类方法也称基本变量法。目前，广泛使用的是这类方法中的SIMPLE算法，以及在SIMPLE算法基础上改进的SIMPLER算法、SIMPLEC算法和PIOS算法等。流场的计算◆交错网格▼运动方程中压力梯度离散所遇到的困难

运动方程对这样一个波形压力场的“感受”竟然与均匀的压力场的“感受”一样，因为相间压力值处处相等，显然，这是不能接受的结果。

流场的计算◆交错网格▼连续方程离散所遇到的困难这就意味着离散化的连续方程将包含2个相间节点的速度差，而不是相邻节点的速度差；同样，锯齿波形的速度场完全不合乎实际的速度场，却满足离散化的连续性方程，对于二维和三维问题的数值计算，即使满足连续方程，也同样可能存在不合理的解。压力和速度出现的问题主要来源于压力或速度的一阶导数项；相反，二阶导数则一般不出现此问题。解决这一离散困难的方法是采用交错网格。交错网格（StaggeredGrid）又称为移动网格（DisplacedGrid），是F.H.Harlow等人在提出著名的MAC法时首先使用的。

流场的计算◆交错网格交错网格是将标量型变量（如压强、温度、浓度）的网格与矢量型变量—速度的网格系统错开。

流场的计算◆交错网格标量型变量的控制容积称为主控制容积，相应的网格节点称为主节点。

流场的计算◆交错网格由于交错网格，也避免了连续性方程所遇到的困难。另外，在主控制容积中，速度节点的位置正好是在标量输运计算时所需要的位置。因此，不需要任何插值就可得到主控制容积界面上的速度。

在计算过程中，所有存储于主节点的物性值在求解u，v，w方程时，必须通过插值才能得到所需位置上的值。其次，由于u，v，w，p及其它变量的网格系统不同，在求解离散方程时，往往需要一些相应的插值。由于三套网格系统，节点编号必须仔细处理方可协调一致。

流场的计算◆运动方程的离散●对u，v，w方向上的运动方程积分所用的控制容积不是主控制容积，而是各自的控制容积。流场的计算◆运动方程的离散●运动方程中的压力梯度项从源项中分离出来。SIMPLE算法◆压力与速度的修正对于离散的运动的方程，只有压力场已知，或是按照某种方法估计出来才能求解。除非采用正确的压力场；否则，所得的速度场将不会满足连续性方程。SIMPLE算法◆压力与速度的修正任一点上速度修正由两部分组成：一部分是与该速度在同一方向上的相邻两节点压力修正之差，这是产生速度修正的直接动力；另一部分由相邻点速度修正所引起，这又可以视为四周压力修正位置上对速度修正的间接或隐含影响。SIMPLE算法◆压力与速度的修正(略去）SIMPLE算法◆压力修正方程SIMPLE算法◆压力修正方程SIMPLE算法◆SIMPLE算法的基本思路SIMPLE（Semi-ImplicitMethodforPressure-LinkedEquations）算法是求解压力耦合方程的半隐式法。在得到速度修正方程式的过程中，略去了项，去掉这一项就称为“半隐”，而保留这一部分时，方程就成为一个“全隐”的代数方程。SIMPLE算法◆SIMPLE算法的流程图SIMPLE算法◆SIMPLE算法的讨论①在速度修正方程中，略去邻点速度修正值的影响，这一个做法并不影响最后收敛的值，但加重了修正压力的负担。

但把引起速度修正的原因完全归于其相邻点的压力的修正值，势必夸大了压力修正。在速度修正式中略去了项，所求得的速度修正，，并不满足运动方程，这有可能导致迭代过程的发散，速度也应加以亚松驰。SIMPLE算法◆SIMPLE算法的讨论②SIMPLE算法适用于变化不大的情况。在推导压力修正方程的过程中，认为密度是已知的，并且没有考虑压力对密度的影响。SIMPLE算法◆SIMPLE算法压力修正方程的边界条件一般情况下，在流动的边界上或压力已知，或法向速度已知。当压力已知时，有：，。当速度已知时，有：，则不必引入，或者说在压力修正方程中，。由此可见，无论是边界压力已知还是法向速度已知，都没有必要引入关于边界上压力修正值的信息。在计算中，可令与边界相邻的主控制容积的压力修正方程相应的系数为0。SIMPLER算法在推导压力修正方程的过程中所引入的近似（忽略掉项），导致了过于夸大压力修正，因此亚松驰成为迭代过程中的基本做法。对压力修正方程采用亚松驰处理，也未必能恰到好处。其原因在于，亚松驰技术用来修正速度是相当好的，而用来修正压力时则相当差。此外，在SIMPLE算法中，为了确定运动方程的离散系数，一开始就假定了一个速度分布；同时，又独立地假定了一个压力分布，这一速度分布与压力分布一般不相协调，从而影响了迭代的速度。事实上，当在速度场假定以后，压力场即可由压力方程计算而得，不必再单独假定一个压力场。Patankar把上述2种思想结合起来，构成了改进后的SIMPLE算法—SIMPLER（SIMPLERevised）算法。SIMPLER算法定义x方向的假速度为：SIMPLER算法在推导压力方程时，没有作任何的近似假设。于是，如果用一个正确的速度场来计算假速度，压力方程将立即得出正确的压力。

SIMPLER算法SIMPLER算法在SIMPLER算法中，初始的压力场与速度场是协调的，不必采用亚松驰处理，迭代计算时容易收敛。但相对于SIMPLE算法，要多解一个压力方程，单个迭代步内计算量大。然而，由于SIMPLER只需较少的迭代次数就可以达到收敛，SIMPLER算法的计算效率总体优于SIMPLE算法。SIMPLEC算法SIMPLEC是另一种改进的SIMPLE算法。在SIMPLE算法中，忽略掉项，即忽略了对速度修正的间接或隐含的影响，将速度的修正完全归结于压力，虽然不影响收敛的值，但使得收敛的速度降低，同时压力与速度的修正不相协调。为了即能忽略项，又能使方程基本协调，VanDoormal

和Raithby提出了SIMPLEC（SIMPLEConsistent）算法，意为协调一致的SIMPLE算法。SIMPLEC算法SIMPLEC算法SIMPLEC算法与SIMPLE算法步骤相同，只是由于初始忽略的对象不同，速度修正方程中的系数的计算公式不同。该算法得到的压力修正值一般比较适合。因此，SIMPEC算法中可不采用亚松驰处理。PISO算法1986年Issa提出了PISO（PressureImplicitwithSplittingofOperators）算法，即压力的隐式算子分割算法，它源于非稳态可压缩流体的无迭代计算所建立的一种压力速度计算程序，后来在稳态流动中也较广采用。SIMPLE，SIMPLER，SIMPLEC算法为一步预测，一步修正；PISO算法则是一步预测，二步修正。PISO算法的预测步与SIMPLE算法相同；第一步修正也与SIMPLE法相同，采用压力修正方程，在完成第一步修正后，再寻求第二步的修正，以便更好地同时满足运动方程和连续性方程，并加快每