2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练四十七利用空间向量证明空间中的位置关系课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练四十七利用空间向量证明空间中的位置关系一、选择题(每小题5分,共20分)1.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则 ()A.l∥α或l⊂α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交【解析】选A.由条件知a·u=2×1+5×1+7×(-1)=0,所以a⊥u,故l∥α或l⊂α.2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α⊥β,则k等于 ()A.2 B.-4 C.-5 【解析】选C.因为α⊥β,所以1×(-2)+2×(-4)+(-2)×k=0,所以k=-5.3.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是 ()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直【解析】选B.由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),所以=-3,所以与共线,又因为AB与CD没有公共点,所以AB∥CD.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=QUOTEA1D,AF=QUOTEAC,则 ()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),EQUOTE,0,QUOTE,FQUOTE,QUOTE,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=QUOTE,QUOTE,-QUOTE,=(-1,-1,1),=-QUOTE,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.二、填空题(每小题5分,共15分)5.在空间直角坐标系中,点P(1,QUOTE,QUOTE),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为.

【解析】由题意知,点Q即为点P在平面yOz内的射影,所以垂足Q的坐标为(0,QUOTE,QUOTE).答案:(0,QUOTE,QUOTE)6.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是.

【解析】设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),由m·=0,得x·0+y-z=0⇒y=z,由m·=0,得x-z=0⇒x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β.答案:α∥β7.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE.则VA与平面PMN的位置关系是.

【解析】如图,设=a,=b,=c,则=a+c-b,由题意知=QUOTEb-QUOTEc,=QUOTE-QUOTE=QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc.因此=QUOTE+QUOTE,所以,,共面.又因为VA⊄平面PMN,所以VA∥平面PMN.答案:平行三、解答题(每小题10分,共20分)8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点(1)证明AC⊥BC1;(2)证明AC1∥平面CDB1.【证明】因为直三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长分别为AC=3,BC=4,AB=5,所以△ABC为直角三角形,AC⊥BC.所以AC,BC,C1如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),DQUOTE,2,0.(1)因为=(-3,0,0),=(0,-4,4),所以·=0,所以AC⊥BC1.(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,则E(0,2,2),=-QUOTE,0,2,=(-3,0,4),所以=QUOTE,DE∥AC1.因为DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.【解析】如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1),EQUOTE,1,0,B1(a,0,1),所以=(0,1,1),=-QUOTE,1,-1,=(a,0,1),=QUOTE,1,0.(1)因为·=-QUOTE×0+1×1+(-1)×1=0,所以⊥,所以B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t)(0≤t≤1),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,t).设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).由,得QUOTE.取x=1,可得平面B1AE的一个法向量为n=(1,-QUOTE,-a).要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即n·=0,即QUOTE-at=0,解得t=QUOTE.又DP⊄平面B1AE,所以存在点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=QUOTE.1.(5分)如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=QUOTEEB D.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则QUOTE=(0,1,-2),QUOTE=(2,2,z),因为QUOTE·QUOTE=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.2.(5分)A,B,C,D是空间不共面的四点,且满意·=0,·=0,·=0,M为BC中点,则△AMD是 ()A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定【解析】选C.因为M为BC中点,所以=QUOTE(+).所以·=QUOTE(+)·=QUOTE·+QUOTE·=0.所以AM⊥AD,△AMD为直角三角形.3.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=QUOTE,则MN与平面BB1C1C的位置关系是.

【解析】因为正方体棱长为a,A1M=AN=QUOTE,所以=QUOTE,=QUOTE,所以=++=QUOTE++QUOTE=QUOTE(+)++QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE.又因为是平面B1BCC1的法向量,所以·=QUOTE+QUOTE·=0,所以⊥.又因为MN⊄平面B1BCC1,所以MN∥平面B1BCC1.答案:平行4.(10分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB,CD,CP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.因为PC⊥平面ABCD,所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2QUOTE,PB=4,所以D(0,1,0),B(2QUOTE,0,0),A(2QUOTE,4,0),P(0,0,2),MQUOTE,0,QUOTE,所以=(0,-1,2),=(2QUOTE,3,0),=QUOTE,0,QUOTE.(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,由得QUOTE令y=2,得n=(-QUOTE,2,1).因为n·=-QUOTE×QUOTE+2×0+1×QUOTE=0,所以n⊥.又因为CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.(2)如图,取AP的中点E,连接BE,则E(QUOTE,2,1),=(-QUOTE,2,1).因为PB=AB,所以BE⊥PA.又因为·=(-QUOTE,2,1)·(2QUOTE,3,0)=0,所以⊥,所以BE⊥DA.又因为PA∩DA=A,所以BE⊥平面PAD.又因为BE⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.5.(10分)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,QUOTE,0,P(0,0,a),FQUOTE,QUOTE,QUOTE,=-QUOTE,0,QUOTE,=(0,a,0).因为·=0,所以⊥,即EF⊥CD.(2)存在点G为AD的中点满意题意.假设存在满意条件的点G,设G(x,0,z)则=x-QUOTE,-QUOTE,z-QUOTE,若使GF⊥平面PCB则由·=x-QUOTE,-QUOTE,z-QUOTE·(a,0,0)=ax-QUOTE=0,得x=QUOTE;由·=x-QUOTE,-QUOTE,z-QUOTE·(0,-a,a)=QUOTE+az-QUOTE=0得z=0.所以点G的坐标为QUOTE,0,0,即存在满意条件的点G,且点G为AD的中点.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求QUOTE的值.【证明】(1)因为AA1C所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,AA1⊂平面AA1C1C(2)由(1)知AA1⊥AB,AA1⊥AC.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以