2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3.2圆与圆的位置关系课时作业含解析北师大版必修2

PAGE课时作业23圆与圆的位置关系|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是()A．相切B．内含C．相交D．相离解析：因为两圆的圆心距d＝eq\r(3＋32＋－6－22)＝10<12－1＝11，所以两圆内含．答案：B2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是()A．x＋y＋3＝0B．3x－y－9＝0C．x＋3y＝0D．4x－3y＋7＝0解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.答案：C3．圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：由题意，得两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4和(x＋2)2＋(y－2)2＝4，∴圆心距d＝eq\r(2＋22＋－1－22)＝5.∵5>2＋2，∴两圆相离，∴公切线有4条．答案：D4．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是()A．x2＋y2＋eq\f(3,2)x－eq\f(17,4)y＝0B．x2＋y2－eq\f(3,2)x＋eq\f(17,4)y＝0C．x2＋y2＋eq\f(26,5)x－eq\f(12,5)y＋eq\f(37,5)＝0D．x2＋y2＋eq\f(26,5)x＋eq\f(12,5)y＋eq\f(37,5)＝0解析：利用圆系方程来求．答案：C5．若M＝{(x，y)|x2＋y2≤4)}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A．(0，eq\r(2)－1]B．(0,1]C．(0,2－eq\r(2)]D．[0,2]解析：∵M∩N＝N，∴(x－1)2＋(y－1)2＝r2在x2＋y2＝4的内部．∴d≤2－r，即eq\r(2)≤2－r，∴0<r≤2－eq\r(2).答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝eq\r(0＋22＋0－a2)＝eq\r(a2＋4).∵两圆没有公共点，∴eq\r(a2＋4)<5－1或eq\r(a2＋4)>5＋1，解得－2eq\r(3)<a<2eq\r(3)或a<－4eq\r(2)或a>4eq\r(2).答案：(－∞，－4eq\r(2))∪(－2eq\r(3)，2eq\r(3))∪(4eq\r(2)，＋∞)7．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋C＝0上，则m＋C的值为________．解析：由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心的连线，可得eq\f(－1－3,m－1)＝－1，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋C＝0上，所以C＝－2.所以m＋C＝3.答案：38．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危急区，城市B在A地正东40km处，求城市B处于危急区内的时间为________h.解析：如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危急区，可求得|MN|＝20，∴时间为1h.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9．a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交．解析：将两圆方程写成标准方程．C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或(2)当1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相交，此时－5<a<－2或－1<10．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．解析：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标肯定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，故3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，∴圆心C1到直线AB的距离d＝eq\f(|－3－12＋6|,\r(25))＝eq\f(9,5)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq\f(24,5).∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为eq\f(24,5).|实力提升|(20分钟，40分)11．一辆货车宽2米，要经过一个半径为eq\r(10)米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过()A．2.4米B．3米C．3.6米D．2.0米解析：以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示坐标系．由半圆的半径为eq\r(10)可知，半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝10(y≥0)，由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高．此时x＝1或x＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3(负值舍去)．故选B.答案：B12．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满意的条件是________________．解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，eq\r(2)和(0，b)，1，因为两圆相离，所以eq\r(a2＋b2)>eq\r(2)＋1，即a2＋b2>3＋2eq\r(2).答案：a2＋b2>3＋2eq\r(2)13．求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解析：由题意，设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ))).由题意，得－eq\f(3,1＋λ)＋eq\f(3λ,1＋λ)－4＝0，∴λ＝－7.∴所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y－32＝0.14．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)，求圆O2的方程．解析：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，∵两圆相切，∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝eq\r(0－22＋－1－12)－2＝2(eq\r(2)－1)，∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(eq\r(2)－1)2.(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝req\o\al(2,3)，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋req\o\al(2,3)－8＝0.∴圆心O1(0，－1